誤差不確定度及其相關(guān)數(shù)學(xué)知識

誤差不確定度及其相關(guān)數(shù)學(xué)知識第1頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月誤差絕對誤差相對誤差粗大誤差系統(tǒng)誤差隨機誤差表示形式性質(zhì)特點引用誤差第2頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月絕對誤差（AbsoluteError）

絕對誤差

被測量的真值，常用約定真值代替

測得值特點：1)絕對誤差是一個具有確定的大小、符號及單位的量。2)給出了被測量的量綱，其單位與測得值相同。

L＝L－L0絕對誤差測得值真值＝－第3頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月修正值(Correction)

:為了消除固定的系統(tǒng)誤差用代數(shù)法而加到測量結(jié)果上的值。

修正值真值測得值－特點：1)與誤差大小近似相等，但符號相反。2)修正值本身還有誤差。故修正后只能得到較測得值更為準(zhǔn)確的結(jié)果。誤差－第4頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月定義

被測量的真值，常用約定真值代替，也可以近似用測量值L

來代替

L0相對誤差特點：1）相對誤差有大小和符號。2）無量綱，一般用百分?jǐn)?shù)來表示。絕對誤差相對誤差（RelativeError）：

絕對誤差與被測量真值之比

第5頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月絕對誤差和相對誤差的比較用一個測長儀測量0.01m長的工件，其絕對誤差Δ=0.0006mm,但用來測量1m長的工件,其絕對誤差為Δ=

0.0105mm。前者的相對誤差為

后者的相對誤差為用絕對誤差不便于比較不同量值、不同單位、不同物理量等的準(zhǔn)確度。第6頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月定義

該標(biāo)稱范圍（或量程）上限

引用誤差

儀器某刻度點的示值誤差或量程內(nèi)的最大絕對誤差

引用誤差是一種簡化實用的儀器儀表示值的相對誤差，而且該相對誤差是引用了特定值，即標(biāo)稱范圍上限（或量程）得到的，故該誤差又稱為引用相對誤差、滿度誤差。

引用誤差（FiducialErrorofaMeasuringInstrument）

我國電工儀表、壓力表的準(zhǔn)確度等級（AccuracyClass）就是按照引用誤差進(jìn)行分級的。如本例中電壓表為2.5級，即是其引用誤差為2.5%.

第7頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月主要來源

測量裝置誤差

測量環(huán)境誤差

測量方法誤差測量人員誤差

標(biāo)準(zhǔn)器件誤差儀器誤差附件誤差第8頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)誤差（SystematicError）

在重復(fù)性條件下，對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差。定義特征

在相同條件下，多次測量同一量值時，該誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，按某一確定規(guī)律變化的誤差。按特點與性質(zhì)分：系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差第9頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機誤差（RandomError）

測得值與在重復(fù)性條件下對同一被測量進(jìn)行無限多次測量結(jié)果的平均值之差。又稱為偶然誤差。定義特征

在相同測量條件下，多次測量同一量值時，絕對值和符號以不可預(yù)定方式變化的誤差。產(chǎn)生原因?qū)嶒灄l件的偶然性微小變化，如溫度波動、噪聲干擾、電磁場微變、電源電壓的隨機起伏、地面振動等。第10頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

隨機誤差的大小、方向均隨機不定，不可預(yù)見，不可修正。

雖然一次測量的隨機誤差沒有規(guī)律，不可預(yù)定，也不能用實驗的方法加以消除。但是，經(jīng)過大量的重復(fù)測量可以發(fā)現(xiàn)，它是遵循某種統(tǒng)計規(guī)律的。因此，可以用概率統(tǒng)計的方法處理含有隨機誤差的數(shù)據(jù)，對隨機誤差的總體大小及分布做出估計，并采取適當(dāng)措施減小隨機誤差對測量結(jié)果的影響。隨機誤差的性質(zhì)第11頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月粗大誤差（GrossError）

指明顯超出統(tǒng)計規(guī)律預(yù)期值的誤差。又稱為疏忽誤差、過失誤差或簡稱粗差。定義產(chǎn)生原因某些偶爾突發(fā)性的異常因素或疏忽所致。

測量方法不當(dāng)或錯誤，測量操作疏忽和失誤（如未按規(guī)程操作、讀錯讀數(shù)或單位、記錄或計算錯誤等）

測量條件的突然變化（如電源電壓突然增高或降低、雷電干擾、機械沖擊和振動等）。

由于該誤差很大，明顯歪曲了測量結(jié)果。故應(yīng)按照一定的準(zhǔn)則進(jìn)行判別，將含有粗大誤差的測量數(shù)據(jù)（稱為壞值或異常值）予以剔除。第12頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機(偶然)誤差來自于不可知的原因，誤差的出現(xiàn)完全隨機，難以估計每個因素對測量結(jié)果的影響。遵循一定的統(tǒng)計規(guī)律，可以用數(shù)理統(tǒng)計方法來處理測量結(jié)果。對隨機誤差所作的概率統(tǒng)計處理，是在完全排除了系統(tǒng)誤差的前提下進(jìn)行的。第13頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機變量：

如果某一量（如測量結(jié)果）在一定的條件下，取某一值或者在某一定的范圍內(nèi)取值是一個隨機事件，這樣的量叫隨機變量。隨機變量的特點：它以一定的概率，在一定的區(qū)間上取值或者取某一固定的值。第14頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月概率：表征隨機事件發(fā)生可能性的大小的量，是事件本身所固有的不隨人的主觀意愿而改變的一種屬性。概率分布函數(shù)：隨機變量X的分布函數(shù)F(x)=P{X<=x}(-∝<x<+∝)

第15頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機變量的數(shù)字特征

數(shù)學(xué)期望:反映其平均特性。其定義如下：X為離散型隨機變量：

X為連續(xù)型隨機變量：

方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差方差是用來描述隨機變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度。設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)，則X的方差定義為：

D(X)=E(X－E(X))2

標(biāo)準(zhǔn)偏差定義為：

第16頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和統(tǒng)計特性隨機誤差的概率密度函數(shù)為：測量數(shù)據(jù)X的概率密度函數(shù)為：

隨機誤差的數(shù)學(xué)期望和方差為：同樣測量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望E(X)＝，方差D(X)＝第17頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

隨機誤差和測量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因為它們的標(biāo)準(zhǔn)偏差相同，只是橫坐標(biāo)相差隨機誤差具有：①對稱性②單峰性③有界性④抵償性

第18頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第19頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月標(biāo)準(zhǔn)偏差是代表測量數(shù)據(jù)和測量誤差分布離散程度的特征數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說明數(shù)據(jù)越集中；標(biāo)準(zhǔn)偏差越大，則曲線形狀越平坦，說明數(shù)據(jù)越分散。第20頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

求被測量的數(shù)字特征，理論上需無窮多次測量，但在實際測量中只能進(jìn)行有限次測量，怎么辦？有限次測量的數(shù)學(xué)期望的估計值——算術(shù)平均值算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差比總體或單次測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差小倍。原因是隨機誤差的抵償性。第21頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月有限次測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計值算術(shù)平均值：殘差：實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計值），貝塞爾公式：算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計值：第22頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月置信概率與置信區(qū)間：置信區(qū)間內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率。置信限：

k——置信系數(shù)（或置信因子）置信概率是圖中陰影部分面積置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997第23頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月標(biāo)準(zhǔn)差期望值

均值

某次測得值

奇異值

第24頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

非正態(tài)分布Φp(x)0x圖2.10均勻分布ab其特點是在誤差范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相同。如儀器中的度盤回差所導(dǎo)致的誤差；數(shù)字儀器中的量化誤差（在±1單位以內(nèi)不能分辨的誤差）；數(shù)據(jù)計算中的舍入誤差（舍掉的或進(jìn)位的低位數(shù)字的概率是相同的）等，均為均勻分布誤差。x+e0-eΦp(x)圖2.12反正弦分布反正弦均勻三角2~3正態(tài)包含因子k分布p(x)0x圖2.11三角分布-ee第25頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

在實際測量過程中，由于客觀條件的限制，測量條件是變動的，得到了不等精度測量。

對于精密科學(xué)實驗而言，為了得到極其準(zhǔn)確的測量結(jié)果，需要在不同的實驗室，用不同的測量方法和測量儀器，由不同的人進(jìn)行測量。如果這些測量結(jié)果是相互一致的。那么測量結(jié)果就是真正可以信賴的。這是人為地改變測量條件而進(jìn)行的不等精度測量。

對于某一個未知量，歷史上或近年來有許多人進(jìn)行精心研究和精密測量，得到了不同的測量結(jié)果。我們就需要將這些測量結(jié)果進(jìn)行分析研究和綜合，以便得到一個最為滿意的準(zhǔn)確的測量結(jié)果。這也是不等精度測量。

第26頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月（一）權(quán)的概念在等精度測量中，各個測量值認(rèn)為同樣可靠，并取所有測得值的算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果。在不等精度測量中，各個測量結(jié)果的可靠程度不一樣，因而不能簡單地取各測量結(jié)果地算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果，應(yīng)讓可靠程度大的測量結(jié)果在最后測量結(jié)果中占有的比重大些，可靠程度小的占比重小些。各測量結(jié)果的可靠程度可用一數(shù)值來表示，這數(shù)值即稱為該測量結(jié)果的“權(quán)”，記為，可以理解為當(dāng)它與另一些測量結(jié)果比較時，對該測量結(jié)果所給予信賴程度。（二）權(quán)的確定方法測量結(jié)果的權(quán)說明了測量的可靠程度，因此可根據(jù)這一原則來確定權(quán)的大小。最簡單的方法可按測量的次數(shù)來確定權(quán)，即測量條件和測量者水平皆相同，則重復(fù)測量次數(shù)愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由測量的次數(shù)來確定權(quán)的大小，即。第27頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)誤差的特征：在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規(guī)律變化。

多次測量求平均不能減少系差。第28頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法

（1）從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差根源上采取措施減小系統(tǒng)誤差①

要從測量原理和測量方法盡力做到正確、嚴(yán)格。②

測量儀器定期檢定和校準(zhǔn)，正確使用儀器。③注意周圍環(huán)境對測量的影響，特別是溫度對電子測量的影響較大。④

盡量減少或消除測量人員主觀原因造成的系統(tǒng)誤差。應(yīng)提高測量人員業(yè)務(wù)技術(shù)水平和工作責(zé)任心，改進(jìn)設(shè)備。（2）用修正方法減少系統(tǒng)誤差

修正值＝－誤差=－（測量值－真值） 實際值＝測量值＋修正值第29頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月①替代法②交換法③對稱測量法④減小周期性系統(tǒng)誤差的半周期法第30頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月大誤差出現(xiàn)的概率很小，列出可疑數(shù)據(jù)，分析是否是粗大誤差，若是，則應(yīng)將對應(yīng)的測量值剔除。1.粗大誤差產(chǎn)生原因以及防止與消除的方法

粗大誤差的產(chǎn)生原因

①測量人員的主觀原因：操作失誤或錯誤記錄；②客觀外界條件的原因：測量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測量儀器偶然失效等。防止和消除粗大誤差的方法重要的是采取各種措施，防止產(chǎn)生粗大誤差。第31頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月粗大誤差的判別準(zhǔn)則統(tǒng)計學(xué)的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應(yīng)的置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤差就認(rèn)為是粗大誤差，并予以剔除。萊特檢驗法格拉布斯檢驗法式中，G值按重復(fù)測量次數(shù)n及置信概率Pc確定第32頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月測量不確定度：測量不確定度：指測量結(jié)果變化的不肯定，即測量結(jié)果含有的一個參數(shù)，表征被測量值的分散性。測量結(jié)果＝被測量的估計值＋不確定度完整的測量結(jié)果有兩個基本量：被測量Y的最佳估計量y,多用測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值；描述測量結(jié)果分散性的量，即測量不確定度。

不確定度是定量說明測量結(jié)果質(zhì)量的參數(shù)，本身沒有正負(fù)號，但用y±U的形式表示測量結(jié)果時，±U代表被測量值的可能分散區(qū)間。第33頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月不確定度的相關(guān)概念：標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用標(biāo)準(zhǔn)差表示的測量結(jié)果的不確定度。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：在一個測量模型中各輸入量的不確定度獲得的輸出量的標(biāo)準(zhǔn)測量不確定度。相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度：標(biāo)準(zhǔn)不確定度除以測得值的絕對值。擴展不確定度：合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度與一個大于1的數(shù)字因子的乘積。包含區(qū)間：基于可獲信息確定的包含被測量一組值的區(qū)間，被測量值以一定的概率落在該區(qū)間內(nèi)。包含概率：在規(guī)定的包含區(qū)間內(nèi)包含被測量一組值的概率。包含因子：為獲得擴展不確定度，對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度所乘大于1的數(shù)。(k)第34頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月不確定度表達(dá)的注意事項：2）有效數(shù)字一般不超過兩位；1）不確定度數(shù)值與被測量估計值末位對齊，單位相同；3）“三分之一準(zhǔn)則”修約(根據(jù)微小誤差取舍原則)。先令測量估計值最末位的一個單位作為測量不確定度的基本單位，再將不確定度取至基本單位的整數(shù)位，其余位數(shù)若小于基本單位的1/3則舍去，若大于或等于基本單位的1/3，舍去后將最末整數(shù)位加1。被測量估計值為20.0005mm,若擴展不確定度U=0.00124mm，修約為0.0013;若擴展不確定度U=0.00123mm，修約為0.0012.第35頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月聯(lián)系：

測量結(jié)果的精度評定參數(shù)；

所有的不確定度分量都用標(biāo)準(zhǔn)差表征，由隨機誤差或系統(tǒng)誤差引起；誤差是不確定度的基礎(chǔ)。區(qū)別：

誤差以真值或約定真值為中心，不確定度以被測量的估計值為中心；

誤差一般難以定值，不確定度可以定量評定；

誤差有三類，界限模糊，難以嚴(yán)格區(qū)分；測量不確定度分兩類，界限分明，分析方法簡單。誤差與不確定度的區(qū)別：第36頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月兩類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評定：A類評定：通過對一系列觀測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析來評定即對某被測量值進(jìn)行等精度的獨立的多次重復(fù)測量，得出一系列測得值xi，通常以測量列的算術(shù)平均值作為被測量值的估計值，以的標(biāo)準(zhǔn)差作為測量結(jié)果的A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度，即。B類評定：用非統(tǒng)計分析的方法，基于經(jīng)驗或其他信息所認(rèn)定的概率分布來評定。第37頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第38頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月區(qū)間半寬度a的確定：

以前的測量數(shù)據(jù)、經(jīng)驗和資料；有關(guān)儀器和裝置的一般知識、制造說明書和檢定證書或其他報告所提供的數(shù)據(jù)；由手冊提供的參考數(shù)據(jù)等。K值的確定：

正態(tài)分布：第39頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月非正態(tài)分布：第40頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月測量不確定度的合成：直接測量：

1.測量值重復(fù)性引起的不確定度2.標(biāo)準(zhǔn)源的準(zhǔn)確度引起的不確定度3.讀數(shù)分辨率引起的不確定度第41頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月間接測量：

若：，則由xi引起的被測量y的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量為而測量結(jié)果y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc可用下式表征：其中，ρij為任意兩個直接測量值xi，xj不確定度的相關(guān)系數(shù)。第42頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第43頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月導(dǎo)數(shù)的概念第44