2021屆高三第一次(4月)模擬考試數學考試題(帶答案)詳解+解析點睛

2021屆高三第一次（4月）模擬考試數學考試題（帶答案）詳解+解析點睛

姓名:年級:學號：

題型選擇題填空題簡答題XX題XX題XX題總分

得分

評卷入得分

第1題

設集合/=卜"“2r"閭,4=｛工皿40,則ACB=（）

A.B.C.D.

【答案解析】

C

【分析】

j<=^xO<x<—>j?=fx|O<x<l)

計算2J,I?再計算交集得到答案

〃=｛中42*4閭=

Hx0x

--2'7J=(r|lnr<O)=(x|O<r<l}

［詳解］L”,9J

故如八閶

故選：C

【點睛】本題考查了交集計算，意在考查學生的計算能力.

第2題

已知復數z滿足2（1+之）=4+3/（i為虛數單位），則復數W在復平面內對應的點在第（）象限.

A.一B.二C.三D.四

【答案解析】

A

【分析】

化簡得到z=2-i,故z=2+i,得到答案.

74.3i（4+支）。一石）_10一517—

【詳解】，則2=下石=0+第0-20=丁=一〔故,

對應的點在第一象限.

故選：人

【點睛】本題考查了復數的化簡，共聊復數，復數對應象限，意在考查學生的計算能力.

第3題

設命題P：任意常數數列都是等比數歹|J.則子是（）

A.所有常數數列都不是等比數列B.有的常數數列不是等比數列

C.有的等比數列不是常數數列D.不是常數數列的數列不是等比數列

【答案解析】

B

【分析】

直接根據命題的否定的定義得到答案.

【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，

命題：任意常數數列都是等比數列，則：有的常數數列不是等比數列.

故選：B.

【點睛】本題考查了命題的否定，意在考查學生的推斷能力.

第4題

AP=AD^xAB^yAA則實數x+y的值

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P是C1D1的中點，且l

為（）

3113

A.2B,2c,2D,2

【答案解析】

D

【分析】

布=萬土石萬x=-1

化簡得到2,得到2,y=i,得到答案.

+函+審=近+%*」方=而+斯+y％

【詳解】

3

x+y=2

故，，

故選：D

【點睛】本題考查了空間向量的運算，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.

第5題

3c

〃%）=產I

函數村在區(qū)間［一3,。）“。,3］上大致圖象為（）

【答案解析】

C

【分析】

判斷函數為奇函數排除血，計算，（3）＞0排除，得到答案.

—snx

〃一）=x

ln|2^-2x|=-/（）

【詳解】，,故函數為奇函數，排除;

〃力號＞。

排除.

故選：.

【點睛】本題考查了函數圖像的識別，確定函數為奇函數是解題的關鍵.

第6題

某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分用莖葉圖表示，莖葉圖中甲得分的部分數據丟失（如圖），

但甲得分的折線圖完好，則下列結論正確的是（）

B.乙得分的中位數是18.5

C.甲運動員得分有一半在區(qū)間［20,30］上

D.甲運動員得分的平均值比乙運動員得分的平均值高

【答案解析】

D

【分析】

根據莖葉圖和折線圖依次判斷每個選項得到答案.

【詳解】A.甲得分的極差是28-9=19,錯誤；

=^-^=16J5

B.乙得分的中位數是2,錯誤；

C.甲運動員得分在區(qū)間I"1?。］上有3個，錯誤；

9+12+13+13*15+20+26+28口

D.甲運動員得分的平均值為：81

9+14+15+16+17+18+19+20?

-------------------------------------------=16

乙運動員得分的平均值為：8,故正確.

故選：.

【點睛】本題考查了莖葉圖和折線圖，意在考查學生的計算能力和理解能力.

第7題

已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球。的球面上，￡4J■平面ABC,￡1=2,AB=1,AC=2

ZBAC=-

3,則球0的體積為（）

16昌獻%

A.3B,3c.4點atD.3

【答案解析】

B

【分析】

*=/+隹［=2

計算=根據正弦定理得到r=l,121,得到答案.

222

【詳解】根據余弦定理：BC=AC+AB-2ABACcos/LRAC=3t故，

根據正弦定理：snZBAC,故，r為三角形Z8C外接圓半徑,

設A為三棱錐S-0綸外接球的半徑

,故於二也,,故

故選：.

【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.

第8題

普田。)

x-1

Inx,

x>0

—(),若關于的方程一廂）（）麗二°有且只有兩個不同實

已知函數Xx/“—

數根，則府的取值范圍是（）

（川,0）噂2）

A.

(川,-1)U(T0)UG，2|D(-⑼UG」［U(L2)

C.

【答案解析】

C

【分析】

確定工>0函數的單調區(qū)間，畫出函數圖像，變換（f㈤F）（〃X）+1）=°,得到〃x）=T和

根據函數圖像得到答案.

_Inx,1-lnx,、1

Z(zx)x=--f9(/x)v=--2-/(^)=-

【詳解】當時，'‘"，則''J,一。

函數在（0，。）上單調遞增，在【電也）上單調遞減，畫出函數圖像，如圖所示:

,即，

當時，根據圖像知有1個解,

故有1個解，根據圖像知1=>

故選：.

【點睛】本題考查了函數的零點問題，畫出函數圖像，變換是解題的關鍵.

第9題

（多選題）某市教體局對全市高三年級的學生身高進行抽樣調查，隨機抽取了100名學生，他們的身

高都處在A、B、C、D、E五個層次內，根據抽樣結果得到統(tǒng)計圖表，則下面敘述正確的是（）

男生身高情況扇形圖

女生身離情況良方圖

A.樣本中女生人數多于男生人數

B.樣本中B層人數最多

C.樣本中E層次男生人數為6人

D.樣本中D層次男生人數多于女生人數

【答案解析】

ABC

【分析】

根據直方圖和餅圖依次判斷每個選項的正誤得到答案.

【詳解】樣本中女生人數為：9+24+15+9+3=60,男生數為100—60=40,正確;

樣本中層人數為：9+40x10%=13.樣本中層人數為：24+40x30%=36；

樣本中層人數為：15+40x25%=25.樣本中層人數為：9*40x20%=17；

樣本中底層人數為：3+40x15%=9.故正確；

樣本中層次男生人數為：40x15%=6,正確;

樣本中層次男生人數為：40x20%=8,女生人數為9,錯誤.

故選：.

【點睛】本題考查了統(tǒng)計圖表，意在考查學生的計算能力和應用能力.

第10題

（多選題）1970年4月24日，我國發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號"，從此我國開始

了人造衛(wèi)星的新篇章.人造地球衛(wèi)星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律：衛(wèi)星在以地球為焦點的橢圓軌道

上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連

線）在相同的時間內掃過的面積相等.設橢圓的長軸長、焦距分別為2c,下列結論正確的是（）

A.衛(wèi)星向徑的取值范圍是［”一小“十目

B.衛(wèi)星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間

C.衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁

D.衛(wèi)星運行速度在近地點時最大，在遠地點時最小

【答案解析】

ABD

【分析】

根據橢圓的定義和性質和面積守恒規(guī)律，依次判斷每個選項得到答案.

【詳解】根據橢圓定義知衛(wèi)星向徑的取值范圍是，正確；

當衛(wèi)星在左半橢圓弧的運行時，對應的面積更大，面積守恒規(guī)律，速度更慢，正確;

a+c1+w1+e,當比值越大，則。越小，橢圓軌道越圓，錯誤.

根據面積守恒規(guī)律，衛(wèi)星在近地點時向徑最小，故速度最大，在遠地點時向徑最大，故速度最小，正

確.

故選：ABD

【點睛】本題考查了橢圓的定義和性質，意在考查學生的理解能力和應用能力.

第11題

（多選題）已知函數00sxI,下列命題正確的為（）

A.該函數為偶函數B.該函數最小正周期為加

C.該函數圖象關于對稱D.該函數值域為［一L點］

【答案解析】

BCD

【分析】

XH

化簡函數，得到函數圖像，計算〃x+2A)=〃x),/(?r-x)=/(x)j討論巴2^2

XG

計算得到答案.

n

x+—

【詳解】當COSK'O時,

=smx—cosx=-^sin|x——I

當cos"<0時，【4),

畫出函數圖像，如圖所示：

根據圖像知：函數不是偶函數，錯誤；

〃日2")=皿日2可+皿任+叫卜一叫皿中〃耳，該函數最小正周期為，正確;

〃用-力皿”-小皿伊-到=■叫8sxi寸㈤，故該函數圖象關于對稱，正確;

f在）=逝sin卜+彳[e[-L

根據周期性，不妨取,

〃jc）=后dn（無-；＞[-L/]

,故值域為.

故選：BCD-

【點睛】本題考查了三角函數的奇偶性，周期，對稱性，值域，意在考查學生對于三角函數知識的綜

合應用能力.

第12題

（多選題）如圖，已知點E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點，口1/為邊BC上的一列點，連

接題交應）于Ga,點Ga（“eN）滿足=--44-2（2，+3〉。后，其中數列由｝是首項為1

的正項數列，Sn是數列｛an｝的前n項和，則下列結論正確的是（）

A“3=13B.數列｛,+3｝是等比數列

Pa=4n—3耳=2川—森―2

u.?un.n

【答案解析】

AB

【分析】

化簡得到砂=（。一么一3卜G5-（況+31G/,根據共線得到01Hl-況-3=0,即

,H1

。+3=2（/+3）,HS^,=2-3I依次判斷每個選項得到答案.

麗=~甲-2（"+3）一；用+同

k1豐用牛J，,

故，G〃G/共線，故，

即，/T,故％*3=4x2：故

.=24—3=13,正確；數列是等比數列，正確；

[—2HL

5^=4—--3H=2,W2-3H-4

,錯誤；1-2,故錯誤.

故選：

【點睛】本題考查了向量運算，數列的通項公式，數列求和，意在考查學生的計算能力，轉化能力和

綜合應用能力.

第13題

某校三個興趣小組的學生人數分布如下表（每名學生只參加一個小組，單位：人）.

籃球組

書畫組

樂器組

高一

45

30

局二

15

10

20

學校要對這三個小組的活動效果進行抽樣調查，用分層抽樣的方法，從參加這三個興趣小組的學生中

抽取30人，結果籃球組被抽出12人，求a的值.

【答案解析】

a=30

【分析】

根據三個小組抽取的總人數為30人表示出抽樣比，該抽樣比就等于籃球組被抽取的人數除以籃球組總

人數，由此計算出a的值.

________30________

【詳解】因為抽樣比為：45+15+30+10+a+20,

________30________12

所以結合題意可得：45+15+30+10+a+2045+15,

解得.

【點睛】本題考查分層抽樣的簡單應用，難度較易.分層抽樣的抽樣比等于每一層抽取的比例.

第14題

如圖，在棱長為1的正方體46中，點E、F是棱BC、CC1的中點，P是底面ABCD上（含邊界）一動點,

滿足4"匹，貝I］線段4P長度的最小值為.

【答案解析】

【分析】

如圖所示：連接4。，皿，故"PJ■平面3cs1,故尸在線段CD上，計算得到答案.

【詳解】如圖所示:

連接，，易知研/皿，4g皿，故數

,故即J■平面4。尸，故即_LOP,y即,

故平面，故在線段上，故線段長度的最小值為4。=@.

故答案為：.

【點睛】本題考查了立體幾何中線段的最值問題，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.

第15題

/V2

C：F-4=l(a>0,b>0)

已知雙曲線&b、的左、右焦點分別為F1、F2.

(1)若F2到漸近線的距離是3,則b為

(2)若P為雙曲線C右支上一點，N"居=.且工酩4的角平分線與軸的交點為Q,滿足

旌=20^,則雙曲線C的離心率為

【答案解析】

3；B

【分析】

直接利用點到直線的距離公式計算得到答案；，則咫=27罵，故理=.，朋=3，再利用余

弦定理計算得到答案.

上X/一二一3

【詳解】取漸近線方程為a",即加一郎=°,K（Q°）到直線的距離為—1,

故占=3；

,則，歐一9=巴故，，

根據余弦定理：4c2=4a2+16O2-2x4a2acos60°,整理得到：cJ=3a2,故。=道.

故答案為：3；.

【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線問題，離心率問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力.

第16題

/(x)=sin

若函數存在唯一極值點，且在上單調，則。的取值范

圍為.

【答案解析】

【分析】

K(X5KXY5JC6

—el—,——fi>+—IK—<——<———<e><

616186人故21862,根據周期得到5

得答案.

司碟)乙在

【詳解】I18人則，故，解得55,

工〉冗―巴—三

2~^~2=2,故冗，?<2,即，

(xx(xnxx(23Jr7”]

xe—,xfi>x+—e—0+—,J8?+——o+—e-----,—I

【2J,則6U66),故26【306J

則，解得3；

綜上所述：.

故答案為：.

【點睛】本題考查了根據三角函數的極值點和單調性求參數范圍，意在考查學生的計算能力和綜合應

用能力.

第17題

在條件①2c0szeca,(g)Can2~aan

③(smA-siiiC)=sin2d113shic中任選一個，補充到下面問題中，并給出問題解答.

已知aABC的內角A、B、C的對邊分別是a、b、c,且。=行，b-c=2,.求BC邊上的高

【答案解析】

3?

14

【分析】

依次計算選擇①②③的情況，根據正弦定理和余弦定理，三角恒等變換計算得到可，，再利用等

面積法計算得到答案.

【詳解】若選①因為，

由正弦定理得?2cos題由iBcosC+sinCcosB)=sind

即2cos'in(3+C)=sin',015"—2,因為0＜幺＜冗，所以

02-|-c2—be=7

由余弦定理得：,=b2+c2_2&C8sd,所以，一C=2,

化簡得：，+&-3=0,所以c=-3(舍去)或者c=l,從而.

1,..1,,3萬

—bcsmA=-ahh=-----

設BC邊上的高是入，所以22,所以14.

=smisinC

若選②由題設及正弦定理，2,

B+C./

sn--------=smA

因為sin。#。，所以2,

B+CAAAA

sin--------=cos—cos—=Zan——cos——

由=可得22,故222,

cos——0sin-=—

因為2，故22,因此，下同選①；

若選③由已知得故由正弦定理得廿*'-公=加.

b'+c'-fl31

CDSA=------------=—

由余弦定理得次2.因為，所以，下同選①.

故答案為：.

【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理，三角恒等變換，意在考查學生的計算能力和應用能力.

第18題

已知數列｛an｝的前n項和為名=W+C+W+…+或，數列｛bn｝滿足，=1嗎，，

（1）求數列｛an｝、｛bn｝的通項公式;

（2）求.=裙_曲*"_砂+―+（T）1Ml.

【答案解析】

2

學,就珊

2

【分析】

（1）Sa=2Q—1,,=s「Sc=B代入計算得到，得到答案.

（2）討論”=21和”=21-1兩種情況，計算得到答案.

4

【詳解】（1）5B=C2+C*+C；+--+C*=2*-1

當”N2時，，

當”=1時，也滿足，所以，

又數列｛"J滿足，所以.

（2）當，“N?時，＜=（片-用）*閡-靖+…

=一（4地+.?+%）=-［（1+2+-+（2i-l））］=一/+k

當時產=付一用）*（及一彳）+…+（心一*Lz）+曝T

=-［（1+2+…+（2t-=2ta_致+1

n—n2

，朗瞰

2

-2*2+t(H=2i；)q=

H2-n

，就奇數

q=242-3t+l,(n=2*-l)即

所以2

【點睛】本題考查了等差數列，等比數列通項公式，意在考查學生對于數列I(1)證明3,

￡4/27”得到答案

(2)以與垂直的直線為軸，所在直線為丁軸，〃所在直線為z軸建立空間直角坐標系，面pm的

"*一[“，工),面幺6的法向量為(°，」)，根據夾角得到入=2,平面PCE的法向量

法向量記為

”=(221),計算得到答案.

BC=-AD

【詳解】(1)因為點為的中點，2,ADIIBC,

所以四邊形神CE為平行四邊形，即.

因為、M分別為棱、ED的中點，.

EM[\EC^E^所以平面平面

(2)如圖所示

因為衛(wèi)4_1_疑，PAX.CD,與為相交直線，所以"JL平面期CD,不妨設加=2,則

BC=CD=-AD=1

2

以與垂直的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，設〃=力，4(0,0,0),

O(QZO)C(—LZ0)P(0,0,fc)

，，，

從而而=(0,2叫麗=(L0.0)

Jm-PD=Oj2j^-Jtel=0

面的法向量記為吁國M，4),貝/崩-CD=。，可得h=0

2

令M=l,則。=%，，

又面的法向量為，二面角尸—CD一幺的大小為45°.

h_3

2,解得，所以/O,"),司010),,

所以由=(—LLO)詼=(O,L—2)萬=(0,0,2)

方詼=0［必-24=0

設平面的法向量為”=(巧仍乃)，則I才-初=°,可得：1一巧+及=°

令的=2,則/="Z2=l所以

P^~"|_2_1

sm^=|cos{>lP;,nj=

回?「岳2F

設直線與平面所成角為8,則

【點睛】本題考查了面面平行，二面角，線面夾角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.

第20題

已知拋物線B："=2即(p>o)的焦點為F,圓M的方程為：Y+,一衛(wèi)y=O,若直線無=4與X軸

例=*儂I

交于點R,與拋物線交于點Q,且41

(1)求出拋物線E和圓M的方程.

(2)過焦點F的直線F與拋物線E交于A、B兩點，與圓M交于C、D兩點(A,C在y軸同側)，求證:

囤卜網是定值.

【答案解析】

(1)拋物線氏圓—(2)證明見解析

【分析】

(1)設),則產。=2p,代入方程計算得到答案.

⑵設直線的方程是：尸=機+1,'（&，乂），典巧必），聯立方程得到區(qū)4■巧=4*,不-巧=—,

㈤1fLi婀=%+1,計算得到答案.

p5

Jb+7T=jJb

【詳解】（1）設，由得24,所以，

將點（4*）代入拋物線方程得P=2,所以拋物線，圓.

（2）拋物線的焦點尸（RD,

7=4產

設直線的方程是：，，，l/=h+l

有3*4=。,則-1限*1）>0且

由條件可知圓Y+TT'T的圓心為M°J）,半徑為1,圓心就是焦點，

由拋物線的定義有，，

則圖卜⑷1-1=也網=網-1=匕

233

卜陽）|=乂>^=（ta14-l）（ta2+l）=tj^x24-i（jq+x^）4-l=-4t+4Jt+l=l

即國H砌為定值，定值為1.

【點睛】本題考查了拋物線方程，圓方程，定值問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.

第21題

醫(yī)院為篩查某種疾病，需要血檢，現有"（“'N）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：

方式一：逐份檢驗，需要檢驗n次；

方式二：混合檢驗，把每個人的血樣分成兩份，取*（**2）個人的血樣各一份混在一起進行檢驗，如

果結果是陰性，那么對這人個人只作一次檢驗就夠了；如果結果是陽性，那么再對這個人的另一份血樣逐

份檢驗，此時這份血液的檢驗次數總共為上+1次.

（1）假設有6份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗的方式，求恰好經過3次檢驗

就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；

（2）假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是相互獨立的，且每份樣

本是陽性結果的概率為P（°<P<1）.現取其中（上WN?且土之2）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣

本需要檢驗的總次數為4,采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為名.

①運用概率統(tǒng)計的知識，若％=%,試求P關于的函數關系式P=/（*）;

②若P=1-?5,且采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數

期望值更少，求的最大值.

參考數據：hll?23978,tal2?Z4S49,tal3?25649

【答案解析】

I

2P=l-f-Y（ieN\t>2）

（1）15⑵①W②的最大值為12.

【分析】

（1）記恰好經過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來為事件，計算概率得到答案.

⑵①計算即=±以=*+