第四章-差異量數(shù)課件

第四章差異量數(shù)有如下三組數(shù)據(jù)：A:7,7,8,8,8,9,9M=8B:4,5,7,8,9,11,12M=8C:1,4,7,8,9,12,15M=8圖4-1平均數(shù)相同的三組數(shù)據(jù)分布圖這三組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是8，但它們的整齊程度顯然不一樣?？梢?jiàn)，對(duì)于一組數(shù)據(jù)只用集中量數(shù)來(lái)代表還不能全面反映情況，還須有反映其變異性（整齊程度，或離中趨勢(shì)）的度量，變異性實(shí)質(zhì)上刻化了集中量數(shù)的代表性程度。要想描述一組數(shù)據(jù)的全貌，必須同時(shí)使用集中量數(shù)和差異量數(shù)。因?yàn)榧辛繑?shù)描述數(shù)據(jù)的典型性特點(diǎn)，差異量數(shù)描述數(shù)據(jù)的變異性特點(diǎn)。差異量數(shù)：離散量數(shù)，是指對(duì)一組數(shù)據(jù)的變異性，即離中趨勢(shì)特點(diǎn)進(jìn)行度量和描述的統(tǒng)計(jì)量。差異量數(shù)越大，表明數(shù)據(jù)分布越分散、越不集中；差異量數(shù)越小，表明數(shù)據(jù)分布越集中，變動(dòng)范圍越小。常用的差異量數(shù)主要有：全距、四分位差、百分位差、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差與方差等。第一節(jié)全距與百分位差一、全距全距(Range,R)：兩極差，一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差。R=Xmax－Xmin全距是說(shuō)明數(shù)據(jù)離散程度的最簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)量。如果兩極端值有偶然性或?qū)儆诋惓Ｖ禃r(shí)，全距不穩(wěn)定、不可靠、也不靈敏；受抽樣變動(dòng)影響。二、百分位差（百分位距）百分位數(shù)(Percentile)：百分位點(diǎn)，是指量尺上的一個(gè)點(diǎn)，在此點(diǎn)以下，包括數(shù)據(jù)分布中全部數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的一定百分比。百分位差是指兩個(gè)百分位數(shù)之差。常用的百分位距有兩種：P90－P10和P93－P7。用幾個(gè)百分位距能較好地反映一組數(shù)據(jù)的差異程度。（一）百分位數(shù)的計(jì)算公式Pp：所求的第P個(gè)百分位數(shù)；Lb：百分位數(shù)所在組的精確下限；f：百分位數(shù)所在組的次數(shù)；Fb：小于Lb的各組次數(shù)的和；N：總次數(shù)；i：組距。向上累加頻數(shù)分布表，求百分位數(shù)的步驟：1.找到P百分位數(shù)所對(duì)應(yīng)的名次，即nP%；2.從累加頻數(shù)中找到該名次所在的分組，以及該組的頻數(shù)f和組距i；3.找到該分組區(qū)間精確下限值Lb和此值以下的累加頻數(shù)Fb；4.代入公式即可算出Pp值。例4-1用下面的次數(shù)分布表計(jì)算該分布的百分位差P90－P10。組別f向上累加次數(shù)65～115760～415655～615250～814645～1613840～2412235～349830～216425～164320～112715～91610～77合計(jì)157解：157×10/100=15.70157×90/100=141.30P90－P10=51.56－19.33=32.23（二）百分位數(shù)與百分等級(jí)利用百分位數(shù)的計(jì)算公式可以計(jì)算出任意分?jǐn)?shù)在整個(gè)分?jǐn)?shù)分布中所處的百分位置，稱(chēng)為該分?jǐn)?shù)的百分等級(jí)(percentilerank,PR)。百分等級(jí)是一種相對(duì)位置量數(shù)，是百分位數(shù)的逆運(yùn)算。當(dāng)分?jǐn)?shù)按照大小順序排列后，用百分等級(jí)就可以表示任何一個(gè)分?jǐn)?shù)在該團(tuán)體中的相對(duì)位置。百分等級(jí)的計(jì)算公式PR：百分等級(jí)；X：給定的原始分?jǐn)?shù)；f：該分?jǐn)?shù)所在組的頻數(shù)；Lb：該分?jǐn)?shù)所在組的精確下限；Fb：小于Lb的各組次數(shù)的和；N：總次數(shù)；i：組距。三、四分位差四分位差(quartiledeviation,Q)：百分位差的一種，指在一個(gè)次數(shù)分布中，中間50%的次數(shù)的距離的一半。四分位差反映了數(shù)據(jù)分布中中間50%數(shù)據(jù)的散布情況。P25、P75與中位數(shù)一起把整個(gè)數(shù)據(jù)的次數(shù)等分為四部分，因此稱(chēng)它們?yōu)樗姆种?，或四分位?shù)(quartile)。四分位距是第三個(gè)四分位數(shù)與第一個(gè)四分位數(shù)之差的一半，計(jì)算公式為四分位差通常與中位數(shù)聯(lián)系起來(lái)共同應(yīng)用。第二節(jié)平均差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差一、動(dòng)差體系中心動(dòng)差：以平均數(shù)為原點(diǎn)的動(dòng)差。常見(jiàn)的中心動(dòng)差：一級(jí)動(dòng)差二級(jí)動(dòng)差三級(jí)動(dòng)差四級(jí)動(dòng)差平均差(averagedeviation,A.D.;meandeviation,M.D.)：次數(shù)分布中所有原始數(shù)據(jù)與平均數(shù)絕對(duì)離差的平均值。例4-2有5名受試的錯(cuò)覺(jué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下，求其平均差。被試12345錯(cuò)覺(jué)量(ms)1618202217解：已知N=5，=18.6原始數(shù)據(jù)計(jì)算公式次數(shù)分布表計(jì)算公式三、方差與標(biāo)準(zhǔn)差（一）定義公式方差與標(biāo)準(zhǔn)差是最常用的描述次數(shù)分布離散程度的差異量數(shù)。例4-3計(jì)算6，5，7，4，6，8這一組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。解：平均數(shù)：方差標(biāo)準(zhǔn)差（二）原始分?jǐn)?shù)計(jì)算公式例4-3計(jì)算6，5，7，4，6，8這一組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。解：（三）計(jì)算分組數(shù)據(jù)的方差與標(biāo)準(zhǔn)差組距離差計(jì)算法分組區(qū)間XCfdfdfd296～9726127293～9435157590～9144166487～8883247284～85112224481～82171171778～791900075～7614﹣1﹣141472～7310﹣2﹣204069～707﹣3﹣216366～673﹣4﹣124863～641﹣5﹣52560～611﹣6﹣636合計(jì)10028570分組數(shù)據(jù)求方差與標(biāo)準(zhǔn)差的步驟標(biāo)準(zhǔn)差（三）總標(biāo)準(zhǔn)差的合成方差具有可加性。需要注意的是，只有在應(yīng)用同一種觀(guān)測(cè)手段，測(cè)量的是同一種特質(zhì)，只是樣本不同的數(shù)據(jù)時(shí)，才能計(jì)算合成方差或標(biāo)準(zhǔn)差。例4-4在三個(gè)班級(jí)進(jìn)行某項(xiàng)能力研究，三個(gè)班測(cè)查結(jié)果的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別如下，求三個(gè)班的總標(biāo)準(zhǔn)差。班級(jí)ns14210316236110123509817解：①∑Ni=42+36+50=128②標(biāo)準(zhǔn)差（四）方差與標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)和意義1.性質(zhì)方差具有可加性和可分解性。標(biāo)準(zhǔn)差：（1）每一個(gè)觀(guān)測(cè)值都加上一個(gè)相同常數(shù)C之后，計(jì)算得到的標(biāo)準(zhǔn)差等于原標(biāo)準(zhǔn)差。（2）每一個(gè)觀(guān)測(cè)值都乘以一個(gè)相同的常數(shù)C（C≠0），則所得的標(biāo)準(zhǔn)差等于原標(biāo)準(zhǔn)差乘以常數(shù)C。（3）每一個(gè)觀(guān)測(cè)值都乘以同一個(gè)常數(shù)C（C≠0），再加一個(gè)常數(shù)d，則所得的標(biāo)準(zhǔn)差等于原標(biāo)準(zhǔn)差乘以常數(shù)C。2.方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義方差與標(biāo)準(zhǔn)差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最好指標(biāo)，是統(tǒng)計(jì)分析中最常用的差異量數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差具備一個(gè)良好的差異量數(shù)應(yīng)具備的條件：反應(yīng)靈敏、計(jì)算公式嚴(yán)密確定、容易計(jì)算、適合代數(shù)運(yùn)算、受抽樣變動(dòng)影響小、簡(jiǎn)單明了。切比雪夫定理隨機(jī)變量落在平均值附近的概率與標(biāo)準(zhǔn)差有一定的數(shù)量關(guān)系。對(duì)于任何一個(gè)數(shù)據(jù)集合，至少有的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)的h（h為大于1的實(shí)數(shù)）個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。如果數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布，則落在平均數(shù)上下一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)的占68.26%，落在平均數(shù)上下兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)的占95.45%，落在平均數(shù)上下三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)的占99.73%。第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用一、差異系數(shù)差異系數(shù)(coefficientofvariation,CV)：變異系數(shù)、相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差，是一種相對(duì)差異量，指標(biāo)準(zhǔn)差與其算術(shù)平均數(shù)的百分比。差異系數(shù)在心理與教育研究中常用于：①同一團(tuán)體不同觀(guān)測(cè)值離散程度的比較；②對(duì)于水平相差較大，但進(jìn)行的是同一種觀(guān)測(cè)的各種團(tuán)體，進(jìn)行觀(guān)測(cè)值離散程度的比較。例4-5已知某小學(xué)一年級(jí)學(xué)生的平均體重為25千克，體重的標(biāo)準(zhǔn)差是3.7千克，平均身高110厘米，標(biāo)準(zhǔn)差為6.2厘米，問(wèn)體重與身高的離散程度哪個(gè)大？解：差異系數(shù)的應(yīng)用條件：測(cè)量的數(shù)據(jù)要保證具有等距尺度；觀(guān)測(cè)工具應(yīng)具備絕對(duì)零；差異系數(shù)只能用于一般的相對(duì)差異量的描述。二、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（standardscore），又稱(chēng)為基分?jǐn)?shù)或Ｚ分?jǐn)?shù)（Z-score），是以標(biāo)準(zhǔn)差為單位表示一個(gè)原始分?jǐn)?shù)在團(tuán)體中所處位置的相對(duì)位置量數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)從分?jǐn)?shù)對(duì)平均數(shù)的相對(duì)地位、該組分?jǐn)?shù)的離中趨勢(shì)兩個(gè)方面來(lái)表示原始分?jǐn)?shù)的地位。（一）計(jì)算公式例4-7某班平均成績(jī)?yōu)?0分，標(biāo)準(zhǔn)差為3分，甲生得94.2分，乙生得89.1分，求甲乙二學(xué)生的Z分?jǐn)?shù)各是多少？解：（二）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)1.Ｚ分?jǐn)?shù)無(wú)實(shí)際單位，是以平均數(shù)為參照點(diǎn)、以標(biāo)準(zhǔn)差為單位的一個(gè)相對(duì)量。2.一組原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換得到的Ｚ分?jǐn)?shù)既有正值，也有負(fù)值，所有原始分?jǐn)?shù)的Ｚ分?jǐn)?shù)之和為零，即∑Z=0，。3.一組原始數(shù)據(jù)中，各個(gè)Ｚ分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為１，即sZ=1。4.若原始分?jǐn)?shù)呈正態(tài)分布，則轉(zhuǎn)換得到的所有Z分?jǐn)?shù)值呈均值為０，標(biāo)準(zhǔn)差為１的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。（三）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的優(yōu)點(diǎn)可比性可加性明確性穩(wěn)定性（四）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的應(yīng)用1.用于比較幾個(gè)分屬性質(zhì)不同的觀(guān)測(cè)值在各自數(shù)據(jù)分布中相對(duì)位置的高低。例4-8某年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)平均成績(jī)65分，標(biāo)準(zhǔn)差是12.5分?？忌鶤、B、C三人的數(shù)學(xué)原始分?jǐn)?shù)是50分、65分、85分。求他們的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)是多少？2.計(jì)算不同質(zhì)的觀(guān)測(cè)值的總和或平均值，以表示在團(tuán)體中的相對(duì)位置。例4-9A、B兩個(gè)學(xué)生在三種考試中的分?jǐn)?shù)見(jiàn)下表，試比較二人的分?jǐn)?shù)是否有差別。

考試sXAXBxAxBZAZB1708709002002.5255457512－40.5－1342545403－20.6－0.4∑1721811.11.1例4-10下表是高等學(xué)校入學(xué)考試中兩名考生甲與乙的成績(jī)分?jǐn)?shù)。試問(wèn)根據(jù)考試成績(jī)應(yīng)優(yōu)先錄取哪名考生？考試科目原始分?jǐn)?shù)全體考生Z分?jǐn)?shù)甲乙平均分標(biāo)準(zhǔn)差甲乙語(yǔ)文858970101.51.9政治706265510.6外語(yǔ)68726980.1250.375數(shù)學(xué)53405060.51.67理化72877580.3751.5∑3483502.51.5053.表示標(biāo)準(zhǔn)測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化的心理和教育測(cè)驗(yàn)，常常用標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)表示測(cè)驗(yàn)結(jié)果。如果其常模分?jǐn)?shù)分布接近正態(tài)分布，為了克服標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)出現(xiàn)的小數(shù)、負(fù)數(shù)和不易為人們所接受等缺點(diǎn)，常常是將其轉(zhuǎn)換成正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。轉(zhuǎn)換公式為：三、異常值的取舍表4-2全距與標(biāo)準(zhǔn)差的比率隨N變化率N510152040501002004005007001000R/s2.33.13.53.74.34.55.05.55.96.16.36.5第四節(jié)差異量數(shù)的選用一、優(yōu)良差異量數(shù)具備的標(biāo)準(zhǔn)1.應(yīng)該是根據(jù)客觀(guān)數(shù)據(jù)資料獲得的，而不是人為的主觀(guān)估計(jì)決定的；2.應(yīng)該是根據(jù)全部觀(guān)測(cè)值計(jì)算得出來(lái)的，而不是個(gè)別數(shù)據(jù)計(jì)算的結(jié)果，否則就不能代表全部數(shù)據(jù)的分布特征；3.應(yīng)當(dāng)簡(jiǎn)明，容易理解，不應(yīng)過(guò)于帶有數(shù)學(xué)抽象性質(zhì)；4.計(jì)算應(yīng)該方便、容易、迅速；5.應(yīng)該最少受到抽樣變動(dòng)的影響（樣本的穩(wěn)定性），在反復(fù)取樣過(guò)程中具有相對(duì)恒常性；6.應(yīng)當(dāng)能夠采用代數(shù)方法計(jì)算。二、各種差異量數(shù)優(yōu)缺點(diǎn)比較標(biāo)準(zhǔn)差方差全距平均差百分位差四分位差三、各種差異量數(shù)之間的關(guān)系當(dāng)次數(shù)分布的N值相當(dāng)大，分布形式呈正態(tài)分布時(shí)，各種差異量數(shù)之間存在著固定的數(shù)量關(guān)系：s=1.2533AD=1.4826QAD=0.7979s=1.1829QQ=0.6745s=0.8453AD四、如何選用差異量數(shù)1.當(dāng)樣本是隨機(jī)取樣時(shí)，s、Q、R三個(gè)差異