《回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用》獲獎(jiǎng)

回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用要點(diǎn)二線性回歸分析例2為研究重量x(單位：克)對(duì)彈簧長度y(單位：厘米)的影響，對(duì)不同重量的6個(gè)物體進(jìn)行測(cè)量，數(shù)據(jù)如下表所示：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散點(diǎn)圖并求線性回歸方程；解散點(diǎn)圖如圖

(2)求出R2;

解列表如下：

回歸模型的擬合效果較好.(3)進(jìn)行殘差分析.解由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這個(gè)數(shù)據(jù)的時(shí)候是否有人為的錯(cuò)誤，如果有的話，需要糾正數(shù)據(jù)，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點(diǎn)比較均勻地落在不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與拉力成線性關(guān)系.規(guī)律方法在研究兩個(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù).然后，通過殘差

1，

2，…，

n來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù).若殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程預(yù)報(bào)精度越高.跟蹤演練2關(guān)于x與y有如下數(shù)據(jù)：x24568y3040605070∴甲模型的擬合效果比乙模型的擬合效果好.要點(diǎn)三非線性回歸分析例3下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：x21232527293235y711212466115325(1)作出x與y的散點(diǎn)圖，并猜測(cè)x與y之間的關(guān)系；解作出散點(diǎn)圖如下圖，從散點(diǎn)圖可以看出x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)已有知識(shí)可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y＝c1e

的周圍，其中c1，c2為待定的參數(shù).(2)建立x與y的關(guān)系，預(yù)報(bào)回歸模型并計(jì)算殘差；解對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，令z＝lny，則有變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)分布在直線z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2)的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來建立y與x之間的非線性回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784殘差(3)利用所得模型，預(yù)報(bào)x＝40時(shí)y的值.解當(dāng)x＝40時(shí)，y＝e0.272×40－3.849≈1131.規(guī)律方法解決非線性回歸問題的方法及步驟(1)確定變量：確定解釋變量為x，預(yù)報(bào)變量為y；(2)畫散點(diǎn)圖：通過觀察散點(diǎn)圖并與學(xué)過的函數(shù)(冪、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù))作比較，選取擬合效果好的函數(shù)模型；(3)變量置換：通過變量置換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題；(4)分析擬合效果：通過計(jì)算相關(guān)指數(shù)等來判斷擬合效果；(5)寫出非線性回歸方程.跟蹤演練3在試驗(yàn)中得到變量y與x的數(shù)據(jù)如下表：試求y與x之間的回歸方程，并預(yù)測(cè)x＝40時(shí)，y的值.x1923273135y41124109325解作散點(diǎn)圖如圖所示，從散點(diǎn)圖可以看出，兩個(gè)變量x，y不呈線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)學(xué)過的函數(shù)知識(shí)，樣本點(diǎn)分布的曲線符合指數(shù)型函數(shù)y＝c1e

，通過對(duì)數(shù)變化把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，令z＝lny，則z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2).列表：x1923273135z1.3862.3983.1784.6915.784作散點(diǎn)圖如圖所示，從散點(diǎn)圖可以看出，兩個(gè)變量x，z呈很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.由表中的數(shù)據(jù)得到線性回歸方程為：＝0.277x－3.998.所以y關(guān)于x的指數(shù)回歸方程為：＝e0.277x－3.998.所以，當(dāng)x＝40時(shí)，y＝e0.277×40－3.998≈1190.347.1.下列各組變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系的是()A.出租車費(fèi)與行駛的里程B.學(xué)習(xí)成績與學(xué)生身高C.身高與體重D.鐵的體積與質(zhì)量C2.若勞動(dòng)生產(chǎn)率x(千元)與月工資y(元)之間的線性回歸方程為＝50＋80x，則下列判斷正確的是()A.勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，月工資為130元B.勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，月工資平均提高80元C.勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，月工資平均提高130元D.月工資為210元時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率為2000元B解析由于銷售量y與銷售價(jià)格x成負(fù)相關(guān)，故排除B、D.又當(dāng)x＝10時(shí)，A中y＝100，而C中y＝－300，C不符合題意，故選A.答案

A4.對(duì)兩個(gè)變量x，y取得4組數(shù)據(jù)(1,1)(2,1.2)，(3,1.3)，(4,1.37)，甲、乙、丙三人分別求得數(shù)學(xué)模型如下：甲：y＝0.1x＋1，乙：y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，丙：y＝－0.8·0.5x＋1.4，試判斷三人誰的數(shù)學(xué)模型更接近于客觀實(shí)際.解對(duì)甲模型：y＝0.1x＋1，對(duì)丙模型：y＝－0.8·0.5x＋1.4，顯然丙的殘差平方和最小，故丙模型更接近于客觀實(shí)際.課堂小結(jié)回歸分析的基本思路(1)確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量；(2)畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)；(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型(如果呈線