2023年高考數(shù)學(xué)高分解題技巧方法總結(jié)

2023%高考核考高今斛條弒巧方注總轄

例題與題組

一、數(shù)形結(jié)合

畫出圖形或者圖象能夠使問題提供的信息更直觀地呈現(xiàn)，從而大大降低思

維難度，是解決數(shù)學(xué)問題的有力策略，這種方法使用得非常之多。

【例題】、(07江蘇6)設(shè)函數(shù)/(x)定義在實(shí)數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線x=l

對稱，且當(dāng)xNl時，/(x)=3v-l,則有()0

A、/(1)-/(|)-/(|)B、/(|)-/(|)-/(1)

C、/(|)-/(1)-/(|)D./(|).y(|)./(I)

【解析】、當(dāng)xNl時,f(x)=3x-l,F(x)的y,M,

圖象關(guān)于直線x=l對稱，則圖象如下圖。:論H

-----------------------------Ax

這個圖象是個示意圖，事實(shí)上，就算畫出J】

/(%)言》-1|的圖象代替它也可以。由圖知，

符合要求的選項(xiàng)是B,

【練習(xí)11若P(2,-1)為圓(1)2+丁=25的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB

的方程是()

A、%—y—3=0B、2x+y-3=0C>x+y-1=0D>2x-y-5=0

(提示：畫出圓和過點(diǎn)P的直線，再看四條直線的斜率，即可知選A)

x-y+2?0

【練習(xí)2】、(07遼寧)已知變量x、y滿足約束條件xNl,則上的

X

x+y-7<0

取值范圍是()

n/9

A、—,6B、\—oo,—[,[6,+00）C、（一oo,3]_[6,+<x>）D、[3,6]

（提示：把）看作可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)所在直線的斜率，不難求得答案，選

X

Ao）

【練習(xí)3】、曲線y=l+"-x2（xe［-2,2］）

與直線y=2）+4有兩個公共點(diǎn)時，

女的取值范圍是（）

A、（。，2）B、（：,；）

C、（―,+0°）D、（―,^-）

12124

（提示：事實(shí)上不難看出，曲線方程丁=1+”7正（無?-2,2］）的圖象為

X2+（J；-1）2=4（-2＜X＜2,1＜）；＜3）,表示以（1,0）為圓心，2為半徑的上半圓,

如圖。直線廣依-2）+4過定點(diǎn)（2,4）,那么斜率的范圍就清楚了，選D）］

【練習(xí)4】、函數(shù)y=|x|（l-幻在區(qū)間

A上是增函數(shù)，則區(qū)間A是（

A、（―oo,o］B、0,—

C、［0,+oo）D、f^+oo'j

（提示：作出該函數(shù)的圖象如右，知應(yīng)該選B）

【練習(xí)5】、曲線乎卒】與直線尸…

有兩個交點(diǎn)，則比的取值范圍是（）

A、加＞4或wyTB、一4yey4

C>或機(jī)Y-3D、-3YH?Y3

(提示：作出曲線的圖象如右，因?yàn)橹本€

y=2%+加與其有兩個交點(diǎn)，則相>4或機(jī)yT,選A)

【練習(xí)6】、(06湖南理8)設(shè)函數(shù)〃x)=F，集合"={尢"(幻0},

P={x\f(x)0),若MqP,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A、(9,1)B、(0,1)C、(1,4w)D、［l,+oo)

(提示：數(shù)形結(jié)合，先畫出了⑴的圖象。.(x)=T=l+~=1+工當(dāng)

x-\x-1x-1

al時，圖象如左;當(dāng)aJ時圖象如右。

由圖象知，當(dāng)a1時函數(shù)/(x)在(l,”o)上遞增，/(X)0,同時/(x)0的

解集為(1,y)的真子集，選C)

【練習(xí)7】、(06湖南理10)若圓/+/-4》-分-10=0上至少有三個不同的點(diǎn)

到直線/:6+力=0的距離為2正，則直線/的傾斜角。的取值范圍是()

7171口715萬7171

A、D、吟

1241212

(提示：數(shù)形結(jié)合，先畫出圓的圖形。圓方程化為

(x-2了+(y-2)2=(30)2,由題意知,圓心到直線_

X

的距離”應(yīng)該滿足OKd4垃，在已知圓中畫一個半

徑為行的同心圓，則過原點(diǎn)的直線/：6+力=0與小圓有公共點(diǎn)，.?.選B。）

【練習(xí)8】、（07浙江文10）若非零向量a,b滿足)

A、12bl>|a-2bB、|2b|<|a-2b

C、|2a>|2a-bD、|2a|<|2a-b

（提示：關(guān)鍵是要畫出向量a,b的關(guān)系圖，為此

先把條件進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換。|a-b|=|b|o|a-b12=

b2<=>a2+b2-2a,b=b?oa,(a-2b)=0=

a_L(a-2b),又a-(a-2b)=2b,所以|a|,|a-2b

12bl為邊長構(gòu)成直角三角形，12bl為斜邊，如上圖,

12b>|a-2b|,選A。

另外也可以這樣解：先構(gòu)造等腰AOAB,使0B=AB,

再構(gòu)造Rz\0AC,如以下圖，因?yàn)?C>AC,所以選A。）

【練習(xí)9】、方程cosx=lgx的實(shí)根的個數(shù)是（）

A、1B、2C、3D、4

（提示：在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)cosx與Igx的圖象，如圖,

▲y

由兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個數(shù)為3,知應(yīng)選C）

【練習(xí)10］、（06江蘇7）若A、B、C為三個集合，AB=BC,則一定有（）

A、A^CB、C^AC、A^CD、A=<D

(提示：若A=B=Cw①，則AB^A,BC=5=A

成立，排除C、D選項(xiàng)，作出Venn圖，可知A成立）

【練習(xí)11］、（07天津理7）在R上定義的函數(shù)/（x）是偶函數(shù)，且

f(x)=f(2-x)o若/(x)在區(qū)間［1,2］上是減函數(shù),則/(x)()

A、在區(qū)間［-2,-1］上是增函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是增函數(shù)

B、在區(qū)間［-2,-1］上是增函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是減函數(shù)

C、在區(qū)間［-2,T］上是減函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是增函數(shù)

D、在區(qū)間［-2,-1］上是減函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是減函數(shù)

（提示：數(shù)形結(jié)合法，/（x）是抽象函數(shù)，因此畫出其簡單圖象即可得出結(jié)

論，如下左圖知選B）

【練習(xí)12］、（07山東文11改編）方程丁=（；廣2的解%的取值區(qū)間是（）

A、（0,1）B、（1,2）C、（2,3）D、（3,4）

（提示：數(shù)形結(jié)合，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=Vy=g產(chǎn)的圖象，則立

刻知選B,如上右圖）

二、特值代驗(yàn)

包括選取符合題意的特殊數(shù)值、特殊位置和特殊圖形，代入或者比照選項(xiàng)

來確定答案。這種方法叫做特值代驗(yàn)法，是一種使用頻率很高的方法。

【例題】、（93年全國高考）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，若為4=9,

則log?4+log3a2++log3ai0=（）

A、12B、10C、8D、2+log35

【解析】、思路一（小題大做）：由條件有9=%4=利'從而

%嗎嗎。.卬。=+9=（q；q9）5=31。，

所以原式=log3（a0…4o）=log33i°=1。，選B。

思路二（小題小做）：由9=a5a6=%%=。2a9=4%（）知原式

510

=log3（6r5?6）=log33=3,選B。

思路三（小題巧做）：因?yàn)榇鸢肝ㄒ?，故取一個滿足條件的特殊數(shù)列

%=4=3,4=1即可，選Bo

【練習(xí)1】、（07江西文8）若0”工，則以下命題中正確的選項(xiàng)是（）

2

2233

A、sinx—xB、sinx*-xC>sinx<—xD、sinxx

7171717t

（提示：取X=32驗(yàn)證即可，選B）

63

【練習(xí)2】、（06北京理7）f（n）=2+24+27+210+...+23n+,0（neN）,則/（〃）=

799?

A、—(8"-l)B、-(8,,+l-l)C、-(8n+3-l)D、-(H/,+4-1)

7777

(提示：思路一：f(n)是以2為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列的前〃+4項(xiàng)

的和，

所以/(〃)=2(1-8"+4)=”+4_1),選D。這屬于直接法。

1-87

思路2：令〃=0,貝！J/(0)=2+2"+27+21°=2口］；)］=—1),對照選項(xiàng)，

只有D成立。)

【練習(xí)3】、(06全國1理9)設(shè)平面向量a八a2xas的和a"2+a3=0,如果

平面向量b、bz、b3滿足|bi|=21ai|,且ai順時針旋轉(zhuǎn)30以后與b同向，

其中i=l、2、3則()

A、-bi+b2+b3=0B、bi-b2+b3=0C、bi+b2-b3=0D、bi+b2+b3=0

(提示：因?yàn)閍1+a2+a3=0,所以a】、a2xa?構(gòu)成封閉三角形，不妨設(shè)其為正

三角形，則bi實(shí)際上是將三角形順時針旋轉(zhuǎn)30后再將其各邊延長2倍，仍為

封閉三角形，應(yīng)選D。)

【練習(xí)4】、若f(x)=a，(a一⑵0,則尸(x+1)的圖象是()

A、B、C、D、

(提示：抓住特殊點(diǎn)2,尸(2)0,所以對數(shù)函數(shù)尸⑴是減函數(shù)，圖象往

左移動一個單位得廣匕+1),必過原點(diǎn)，選A)

【練習(xí)5］、若函數(shù)y=/(x+l)是偶函數(shù)，貝ljy=7(2x)的對稱軸是()

A、x=0B、x=1C、%=—D、x-2

2

(提示：因?yàn)槿艉瘮?shù)y=/(x+l)是偶函數(shù)，作一個特殊函數(shù)y=(x-l)2,則

y=/(2x)變?yōu)閥=(2x-iy,即矢口y=/(2x)的對稱軸是x,選C)

【練習(xí)6】、已知數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為aWj其前n和為S“，那么

2n

&S+CnS2+-+CnSn=()

A、2n-3nB、3n-2nC、5n-2nD、3n一4"

(提示：愚蠢的解法是：先根據(jù)通項(xiàng)公式秩尸2自求得和的公式出，再代

入式子CnS+C：S2+…+Cn5,,再利用二項(xiàng)式展開式的逆用裂項(xiàng)求和得解，有些

書上就是這么做的！其實(shí)這既然是小題，就應(yīng)該按照小題的解思路來求做：令

n=2,代入式子，再對照選項(xiàng)，選B)

【練習(xí)7】、(06遼寧理10)直線y=2左與曲線9Z2f+y2=i8公區(qū)(keR,k*l)

的公共點(diǎn)的個數(shù)是()

A、1B、2C、3D、4

2

(提示：取攵=1,原方程變?yōu)?國-1)2+5=1,這是兩個橢圓，與直線y=2有4

個公共點(diǎn)，選D)

【練習(xí)8】、如圖左，若D、E、F分別是

三棱錐S-ABC的側(cè)棱SA、SB、SC上的點(diǎn))

且SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1,那

面DEF截三棱錐S-ABC所得的上下兩局部

的體積之比為()

A、4：31B、6：23

C、4：23D、2：25

（提示：特殊化處理，不妨設(shè)三棱錐S-ABC是棱長為3的正三棱錐，K是

FC的中點(diǎn)，分別表示上下兩局部的體積

84

則Vs-D￡F=SsDEF2h=（2）2.2=-YL=~=A,選C）

匕ABCs,"「3萬3327V,27-8+423

【練習(xí)9】、AABC的外接圓的圓心為0,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,

OH=m（OA+OB+OC）,貝Um的取值是（）

A、-1B、1C、-2D、2

（提示：特殊化處理，不妨設(shè)aABC為直角三角形，則圓心。在斜邊中點(diǎn)處,

此時有OH=OA+OB+OC,/”=1,選B。）

22

【練習(xí)10］、雙曲線方程為4+工=1，則k的取值范圍是（）

\k\-25-k

A、%5B、2%5C.-2.k2D、-2女-2或攵5

（提示：在選項(xiàng)中選一些特殊值例如k=6,0代入驗(yàn)證即可，選D）

三、篩選判斷

包括逐一驗(yàn)證法——將選項(xiàng)逐一代入條件中進(jìn)行驗(yàn)證，或者邏輯排除法，

即通過對四個選項(xiàng)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系進(jìn)行排除與確定。

【例題】、設(shè)集合A和B都屬于正整數(shù)集，映射f：A-8把集合A中的元

素n映射到集合B中的元素，則在映射f下，像20的原像是（）

A、2B、3C、4D、5

【解析】、經(jīng)逐一驗(yàn)證，在2、3、4、5中，只有4符合方程2"+〃=20,選C。

【練習(xí)1】、（06安徽理6）將函數(shù)y=sinox30）

的圖象按向量a=（-￡,0）平移以后的圖象如下圖，則

6

平移以后的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式是（

7%

A、y=sin(x+—)B、y=sin(x-￡)

6612

U>y—sin(2x+D、y-sin(2x-y)

（提示：若選A或B,則周期為2萬,與圖象所示周期不符；若選D,則與“按

向量a=（-々0）平移〃不符，選C。此題屬于容易題）

6

【練習(xí)2】、（06重慶理9）如圖，單位圓中A3的

長度為x,/（幻表示與弦AB所圍成的弓形的面的o

2倍，則函數(shù)y=/（x）的圖象是)

yyyy

2萬222

TC

71

H171X二?2〃X2〃

mxnx

A、B、D、

（提示：解法1設(shè)NAO8=e,則x=e,

貝IS弓形=S扇形一SAAOB=-xxl-2x—sin—cos—

2222

=—(x-sin^)=—(x-sinx)，當(dāng)xe(0,4)時，

22

sinx-0,則x-sinx-x,其圖象位于y=x下方；當(dāng)xe（凡2萬）時，sin尤一0,

x-sinx-x,其圖象位于y=x上方。所以只有選D。這種方法屬于小題大作。

解法2結(jié)合直覺法逐一驗(yàn)證。顯然，面積/（X）不是弧長X的一次函數(shù),

排除A；當(dāng)X從很小的值逐漸增大時，/（X）的增長不會太快，排除B；只要XA不

則必然有面積排除c,選D。事實(shí)上，直覺好的學(xué)生完全可以直接選

D)

【練習(xí)3】、(06天津文8)若橢圓的中心點(diǎn)為E(T,0),它的一個焦點(diǎn)為

FV,0),相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程是x=j則這個橢圓的方程是()

以等+約B、駕吟經(jīng)C、D、

55-

(提示：橢圓中心為(-1,0),排除A、C,橢圓相當(dāng)于向左平移了1個單

位長度，故c=2,—《―1=_工，?2=5,選D)

c2

【練習(xí)4】、不等式x+32的解集是()

A、(―1,0)「(1收)B、y,—i)|j(O,l)

C、(-1,0),..(0,1)D、y,—1)-(1,”)

(提示：如果直接解，差不多相當(dāng)于一道大題！取x=2,代入原不等式,

成立，排除B、C；取x=-2,排除D,選A)

【練習(xí)5】、(06江西理12)某地一年內(nèi)的氣溫

Q(t)(℃)與時間t(月份)之間的關(guān)系如右圖，

已知該年的平均氣溫為10℃。令C(t)表示時間

段［0,t］的平均氣溫，C(t)與t之間的函數(shù)關(guān)系

如以下圖，則正確的應(yīng)該是()

A、B、C、

D、

(提示：由圖可以發(fā)現(xiàn)，t=6時，C(t)=0,排除C；t=12時，C(t)=10,

排除D；t>6時的某一段氣溫超過10℃,排除B,選A。)

【練習(xí)6】、集合M={(2〃+1)劃〃wZ}與集合N={(4Z±l)%|ZeZ}之間的關(guān)系是

()

A、MuNB、MnNC>M=ND、M豐N

(提示：C、D是矛盾對立關(guān)系，必有一真，所以A、B均假；2〃+1表示全

體奇數(shù)，4%±1也表示奇數(shù)，故M江N且B假，只有C真，選C。此法扣住了概

念之間矛盾對立的邏輯關(guān)系。

當(dāng)然，此題用現(xiàn)場操作法來解也是可以的，即令k=0,±1,±2,±3,然

后觀察兩個集合的關(guān)系就知道答案了。)

【練習(xí)7】、當(dāng)時，-4%4+1恒成立，則。的一個可能的

值是()

A、5B>-C、--D、-5

33

(提示：若選項(xiàng)A正確，則B、C、D也正確；若選項(xiàng)B正確，則C、D也正

確；若選項(xiàng)C正確，則D也正確。選D)

【練習(xí)8】、(01廣東河南10)對于拋物線y2=4x上任意一點(diǎn)Q,點(diǎn)P(a,

0)都滿足同，則a的取值范圍是()

A、(-oo,0)B、(-oo,2]C、[0,2]D、(0,2)

(提示：用邏輯排除法。畫出草圖，知a<0符合條件，則排除C、D；

又取a=l,則P是焦點(diǎn)，記點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離為d,則由拋物線定義知道，此

時a〈d<|PQ],即說明a=l符合條件，排除A,選B。另外，很多資料上解此題

是用的直接法，照錄如下，供“不放心”的讀者比擬一一

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為序,%）,由|P梨同，得弁+生心",整理得

）；（）'；+16-8”）20,

,Zyj>0,AyJ+16-8?>0,即“42+迎恒成立，而2+起的最小值是2,

88

67<2,選B）

【練習(xí)9】、（07全國卷I理12）函數(shù)/（x）=cos2x-cos25的一個單調(diào)增區(qū)間是

（）

A、你2B、信與C、（闖D、1旌）

（提示：“標(biāo)準(zhǔn)〃答案是用直接法通過求導(dǎo)數(shù)解不等式組，再結(jié)合圖象解得的，

選A。建議你用代入驗(yàn)證法進(jìn)行篩選：因?yàn)楹瘮?shù)是連續(xù)的，選項(xiàng)里面的各個端

點(diǎn)值其實(shí)是可以取到的，由令，顯然直接排除D,在A、B、C中只

要計(jì)算兩個即可，因?yàn)锽中代入工會出現(xiàn)土，所以最好只算A、C、現(xiàn)在就驗(yàn)

612

算A,有嗎）一/（爭，符合，選A）

四'等價轉(zhuǎn)化

解題的本質(zhì)就是轉(zhuǎn)化，能夠轉(zhuǎn)化下去就能夠解下去。至于怎樣轉(zhuǎn)化，要

通過必要的訓(xùn)練，到達(dá)見識足、技能熟的境界。在解有關(guān)排列組合的應(yīng)用問題

中這一點(diǎn)顯得尤其重要。

【例題】、（05遼寧12）一給定函數(shù)y=/（元）的圖象在以下圖中，并且對任

意由關(guān)系式%=/（%）得到的數(shù)列滿足%-a“（〃eN+）,則該函數(shù)的圖

象是（）

A、B>C、D>

【解析】問題等價于對函數(shù)y=/(x)圖象上任一點(diǎn)(羽y)都滿足y：x,只能選A。

【練習(xí)1】、設(shè)r=sina+cosa,且sin%+cos，YO,貝h的取值范圍是()

A、[-V2,0)B、[-V2,V2]

C、(-1,0)U(1,V2]D、(-V3,0)U(V3,+<?)

(提示：因?yàn)閟in'a+cos，=(sina+cosa)(sin%-sinacosa+cos，),

而sin，-sinacosa+cos'a>0恒成立，故sin'a+cos'aYO<=>t<0,選A。

另解：由sir?a+cos，YO知a非銳角，而我們知道只有a為銳角或者直角時

/=sina+cosa<V2,所以排除B、C、D,選A)

【練習(xí)2】、「心是橢圓：+y2=l的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動，貝|)|尸耳中勾的

最大值是()

A、4B、5C、1D、2

(提不：設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2cosa,sina),由耳，尸?是橢圓的左、右焦點(diǎn)得

^(-A/3,0),6(6,0),則

|p耳?PF^-|(2cosa+G,sin?).(2cosa-y/3,sina)|=|4cos2a-3+sin2a

H3cos26r-2|<2,選D。這里利用橢圓的參數(shù)方程把問題等價轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求

最值的問題。特別提醒：以下“簡捷〃解法是掉進(jìn)了命題人的“陷阱”的

\PFt-Pf；|<=片=4）

【練習(xí)3】、若log“210gz,20,則（）0

A、0x<7b1B、0-ba-IC、a~b\D、b-a、1

（提示：利用換底公式等價轉(zhuǎn)化。

log“2log%2.0=0o1g/?1ga-00ba1,選B)

Igalg6

【練習(xí)4】、a,b,c,dGR,且d-c,a+b-c+d,a+db+c,貝lj（）

Ia?匕_____I

dbacbcda

i~H-------i

C、bdcaD、bdac

（提示：此題條件較多，又以符號語言出現(xiàn)，

令人眼花繚亂。對策之一是“符號語言圖形化”，

如圖，用線段代表a,"c,d,立馬知道選C。當(dāng)然

這也屬于數(shù)形結(jié)合方法。對策之二是“抽象語言具體化"，分別用數(shù)字1,4,

2,3代表a1,c,d,容易知道選Co也許你認(rèn)為對策一的轉(zhuǎn)化并不等價，是的，

但是作為選擇題，可以事先把條件“a,ac,deR”收嚴(yán)一些變?yōu)?c,dwR+〃。

【練習(xí)5］、已知/.0,若函數(shù)/（x）=sin絲sin讓”在工石』上單調(diào)遞增，

22L43_

則。的取值范圍是（）

A、（0,gB、（03C、（0,2］D、［2,-H）O）

（提水：化簡得/（x）=gsinox,,「sinx在上遞增，

,而/?（?在--上單調(diào)遞增

222。2a）43_

--71,—71ZD---71,-7-1n0?69W—3，y7CD0八,???、生Bn）、

[43」一]2@20」2

【練習(xí)6】、把10個相同的小球放入編號為1,2,3的三個不同盒子中，

使盒子里球的個數(shù)不小于它的編號數(shù)，則不同的放法種數(shù)是（）

A、C；B、c；C、ClD、

（提示：首先在編號為1,2,3的三個盒子中分別放入0,1,2個小球，

則余下的7個球只要用隔板法分成3堆即可，有c；種，選B；如果你認(rèn)為難以

想到在三個盒子中分別放入只0,1,2個小球，而更容易想到在三個盒子中分

別放入只1,2,3個小球，那也好辦：你將余下的4個球加上虛擬的（或曰借

來的）3個小球，在排成一列的7球6空中插入2塊隔板，也與本問題等價。）

【練習(xí)7】、方程玉+%+七+/=12的正整數(shù)解的組數(shù)是（）

A、24B、72C、144D、165

（提示：問題等價于把12個相同的小球分成4堆，故在排成一列的12球

11空中插入3塊隔板即可，答案為《=165,選D）

【練習(xí)8】、從1,2,3,…，10中每次取出3個互不相鄰的數(shù)，共有的取

法數(shù)是（）

A、35B、56C、84D、120

（提示：逆向思維，問題可以等價地看作是將取出的三個數(shù)再插入余下的

7個數(shù)的8個空中，那么問題轉(zhuǎn)化為求從8個空位中任意選3個的方法數(shù)，為

C；=56,選B）

【練習(xí)9】、（理科）已知1加絲也里=3,貝山=（）

uX-1

A、4B、-5C、-4D、5

(提示：逆向思維，分母(x-1)一定是存在于分子的一個因式，那么一

定有ax1+bx+l=(x-i)(ax-l)=ax2-(l+62)x+l，「?必然有/?=-(!+a)，且

lim""++1=lim(ax-1)，，axl—l=3=a=4,Z?=-5,選B)

Ix—lXTI

【練習(xí)10］、異面直線m,〃所成的角為60,/\/1

過空間一點(diǎn)o的直線/與〃〃所成的角等于經(jīng)?

則這樣的直線有()條二/一\

A、1B、2C、3D、4

(提示：把異面直線加，〃平移到過點(diǎn)0的位置，記他們所確定的平面為a,則

問題等價于過點(diǎn)0有多少條直線與加，〃所成的角等于60,如圖，恰有3條，選

C)

【練習(xí)11］、不等式加+法+c”的解集為何-x.2},那么不等式

a(x2+l)+Z>(x-l)+c2ax的解集為()

A、{x|0x-3}B、卜0,orx3}C、{x\-2x1}D、卜,-2,orx1}

(提?。喊巡坏仁絘S?+1)+伙x-l)+c2ax化為a。-1)?+b(x-l)+c-0,其結(jié)構(gòu)與

原不等式加+fev+c0相同，則只須令卜1一x-l一2,得0x.3,選A)

五'巧用定義

定義是知識的生長點(diǎn)，因此回歸定義是解決問題的一種重要策略。

【例題】、某銷售公司完善管理機(jī)制以后，其銷售額每季度平均比上季度增

長7%,那么經(jīng)過x季度增長到原來的y倍，則函數(shù)y=/(x)的圖象大致是()

A、B、C、D、

【解析】、由題設(shè)知，y=(l+0.07)，，???1+0.07.1,.?.這是一個遞增的指數(shù)函

數(shù)，其中XAO,所以選D。

【練習(xí)1】、已知對于任意都有/(x)+/(y)=2/(巖)/(寸)，且

/(0)0,則/(x)是()

A、奇函數(shù)B、偶函數(shù)C、奇函數(shù)且偶函數(shù)D、非奇且非偶函數(shù)

(提示：令y=0,則由/(O)wO得/(0)=1;又令y=-x,代入條件式可得

/(-x)=/(x),因此/(x)是偶函數(shù)，選B)

【練習(xí)2】、點(diǎn)M為圓P內(nèi)不同于圓心的定點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓Q與圓P相切，

則圓心Q的軌跡是()

A、圓B、橢圓C、圓或線段D、線段

(提示：設(shè)。P的半徑為R,P、M為兩定點(diǎn)，那

么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常數(shù)，，由橢圓定義知圓

心Q的軌跡是橢圓，選B)

22

【練習(xí)3】、若橢圓?+上1內(nèi)有一點(diǎn)P(1,-1),F為右焦點(diǎn)，橢圓上有

一點(diǎn)M,使|MP|+2|MF|最小,則點(diǎn)M為()

A、(馬?^-1)B、C、D、(±-^6^—1)

(提示：在橢圓中，a=2,b=43,則c=l,e，=L設(shè)點(diǎn)M到右準(zhǔn)線的距離

a2

為|MN|,則由橢圓的第二定義知，叫Yn|MN|=2|M/|,從而

\MN\2

\MP\+2\MF\=]MP\+\MN\,這樣，過點(diǎn)P作右準(zhǔn)線的垂直射線與橢圓的交點(diǎn)即

為所求M點(diǎn)，知易M(g瘋-1),應(yīng)選A)

22

【練習(xí)4】、設(shè)耳,工是雙曲線二—2=1“o,0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲

ab-b

\pp12

線右支上任意一點(diǎn)，若H■的最小值為8以，則該雙曲線的離心率e的取值范

附I

圍是()

A、[2,3]B、（1,3]C、[3,+oo）D、。,2]

(提示：篙=歿尚＞=號+附+2人當(dāng)且僅當(dāng)耳=|P￡|,即

1^111

閥|=%,|P&=4a時取等于號,又歸周+忸閭.6聞,得6a22c,1eW3,選

B）

【練習(xí)5】、已知P為拋物線V=4x上任一動點(diǎn)，記點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d,

對于給定點(diǎn)A(4,5),|PA|+d的最小值是()|[

A、4B、扃C、V17-1D、取-]].

(提示：d比P到準(zhǔn)線的距離(即|PF|)

1,|PA|+d=|PA|+|PF|-l,而A點(diǎn)在拋物線外，

|PA|+d的最小值為|AF|T=JM-1,選D)

【練習(xí)6】、函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)尸(x)=U,則y=/(x)的圖象()。

x+3

A、關(guān)于點(diǎn)(2,3)對稱B、關(guān)于點(diǎn)(-2,-3)對稱

C、關(guān)于直線y=3對稱D、關(guān)于直線X=-2對稱

(提示：注意到尸。)=匕②的圖象是雙曲線，其對稱中心的橫坐標(biāo)是-3,

x+3

由反函數(shù)的定義，知y=7(x)圖象的對稱中心的縱坐標(biāo)是-3,.,.只能選B)

【練習(xí)7】、已知函數(shù)y=/(x)是R上的增函數(shù)，那么a+60是

+?+/(-")的()條件。

A、充分不必要B、必要不充分C、充要D、不充分不必要

(提示：由條件以及函數(shù)單調(diào)性的定義，有

a+b-0=-"o坐+./j)+/(孫而這個過程并不

也—aof(a)-f(-b)

可逆，因此選A)

【練習(xí)8】、點(diǎn)P是以耳,K為焦點(diǎn)的橢圓上的一點(diǎn)，過焦點(diǎn)尸2作/耳PK的外

角平分線的垂線，垂足為M,則點(diǎn)M的軌跡是(

A、圓B、橢圓C、雙曲線D、拋物，

(提示：如圖，易知尸Q=”,M是工。的中點(diǎn)，

.?.0M是耳Q的中位線，MO=；￡Q=；(6P+PQ)=；(F；P+鳥尸)，由橢圓的定

義知，"+廳=定值，，MO=定值(橢圓的長半軸長a),.,.選A)

【練習(xí)91在平面直角坐標(biāo)系中，若方程m(x2+y2+2y+D=(x-2y+3)2

表示的是雙曲線，則m的取值范圍是()

A、(0,1)B、(1,+00)C、(0,5)D、(5,+00)

(提示：方程m(x2+y2+2y+l)=(x-2y+3)?可變形為機(jī)=占沁1L,即

x2+y2+2y+l

得-1=J丁+?+y，e=，這表示雙曲線上一點(diǎn)(》,>)到定點(diǎn)(o,

y/m|x—2y+3|\m|x-2y+3|

舊

-1）與定直線x-2y+3=0的距離之比為常數(shù)e=、R,又由e」，得到0一小5,

Vm

???選C。若用特值代驗(yàn)，右邊展開式含有孫項(xiàng)，你無法判斷）

六、直覺判斷

數(shù)學(xué)思維包括邏輯思維和直覺思維兩種形式，邏輯思維嚴(yán)格遵守概念和邏

輯規(guī)則，而直覺思維不受固定的邏輯規(guī)則約束，直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)，大大節(jié)約

思考時間。邏輯思維在數(shù)學(xué)思維中始終占據(jù)著主導(dǎo)地位，而直覺思維又是思維

中最活潑、最積極、最具有創(chuàng)造性的成分。兩者具有辨證互補(bǔ)的關(guān)系。因此，

作為選拔人才的高考命題人，很自然要考慮對直覺思維的考查。

【例題】、已知sinx+cosx=（,〃.，則tanx的值為（）

*44—3c3n4

A\—BD\——C\—D%一

33443

【解析】、由題目中出現(xiàn)的數(shù)字3、4、5是勾股數(shù)以及x的范圍，直接意識

到sinx=--^,cosx=;從而得到tanx=-j,選Co

【練習(xí)1】、如圖，已知一個正三角形內(nèi)接于一個邊長為哂?xùn)|端普中，

問x取什么值時，內(nèi)接正三角形的面積最?。ǎ?

A>-B>-C>-D、—a

2342

（提示：顯然小三角形的邊長等于大三角形的邊長之半時面積最小，選

Ao)

【練習(xí)2】、（課此題改編）測量某個零件直徑的尺寸，得到10個數(shù)據(jù):

內(nèi),々，七，/，如果用工作為該零件直徑的近似值，當(dāng)x取什么值時，

222

（x-x,）+（x-x2）+（x-x3）++（X-X|O）2最〃、？（）

A、X,,因?yàn)榈谝淮螠y量最可靠B、x10,因?yàn)樽詈笠淮螠y量最可靠

c、土生，因?yàn)檫@兩次測量最可靠D、-3++玉。

210

（提示：若直覺好，直接選D。若直覺欠好，可以用退化策略，取兩個數(shù)

嘗試便可以得到答案了。）

【練習(xí)3】、若（1-24=4+平+42》2++%/,則|%|+|q|+|%|++|%|=（）

A、-1B、1C、0D、37

（提示：直覺法，系數(shù)取絕對值以后，其和會相當(dāng)大，選Do或者退化判

斷法將7次改為1次；還有一個絕妙的主意：干脆把問題轉(zhuǎn)化為：已知

721

（1+2x）=aQ+axx+a2x++a1x,求4+《+4+?+%，這與原問題完全等價，此

時令x=l得解。）

【練習(xí)4】、已知a、b是不相等的兩個正數(shù)，如果設(shè)p=（a+L）（b+3,

ab

4=（而+3）2,r=（史心+三）2,那么數(shù)值最大的一個是（）

y/ab2a+b

A、pB>qC、rD、與a、b的值有關(guān)。

（提示：顯然P、q、r都趨向于正無窮大，無法比擬大小，選D。要注意,

這里似乎是考核均值不等式，其實(shí)根本不具備條件一一缺乏定值條件?。?/p>

【練習(xí)5】、（98高考）向高為H的水瓶中注水，注滿為止。如果注水量V

與水深h的函數(shù)關(guān)系如以下左圖，那么水瓶的形狀是（）。

ABCD

(提示：抓住特殊位置進(jìn)行直覺思維，可以取0H的中點(diǎn)，當(dāng)高H為一半時,

其體積過半，只有B符合，選B)

【練習(xí)6】、(07江西理7文11)四位好朋友在一次聚會上，他們按照各自

不同的愛好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖,

盛滿酒好他們約定：先各自飲杯中酒的一半。設(shè)剩余酒的高度從左到右依次為

4也焉也，則它們的大小關(guān)系正確的選項(xiàng)是()

As%：-4>也B\%?h2AhiC\網(wǎng)-hh4D、h2Ah4Ah

(提示：選A)

【練習(xí)7】、(01年高考)過點(diǎn)A(l,-1)、B(-L1)且圓心在直線x+y-2=0

上的圓的方程是()

A、(x-3)2+(y+l)2=4B、(x+3)2+(y-l)2=4

C、(x-l)2+(y-l)2=4D、(x+l)2+(y+l)2=4

(提示：顯然只有點(diǎn)(1,1)在直線x+y-2=0上，選C)

【練習(xí)8】、(97全國理科)函數(shù)y=sing-2x)+cos2x的最小正周期是()

A>—B>7tC、27rD、4〃

2

（提?。阂?yàn)榭傆蠶sins+〃coss=Asin（3x+e）,所以函數(shù)y的周期只與g

有關(guān)，這里口=2,所以選B）

x?0,

【練習(xí)9】、（97年高考）不等式組3-xJ2T的解集是（）

3+x|2+x|

A、{x|0x2}B、{x|0x-2.5}

C、1x|0xVbjD、（x|0-x3}

（提示：直接解肯定是錯誤的策略；四個選項(xiàng)左端都是0,只有右端的值

不同，在這四個值中會是哪一個呢？它必定是方程土W=|三。的根！，代入驗(yàn)

3+x3+尤

證：2不是，3不是，2.5也不是，所以選C）

【練習(xí)10]、^ABC中，cosAcosBcosC的最大值是（）

A、-V3B、工C、1D>-

882

（提示：此題選自某一著名的數(shù)學(xué)期刊，作者提供了以下“標(biāo)準(zhǔn)”解法,

特抄錄如下供讀者比擬：

設(shè)y=cosAcosBcosC,則2y=[cos（A+B）+cos（A-B）]cosC,

.\cos2C-cos（A-B）cosC+2y=0,構(gòu)造一,元二次方程x?-cos（A-B）x+2y=0,

則cosC是一元二次方程的根，由cosC是實(shí)數(shù)知：△=cos2（A-B）-8y20,

即8yWcos?（A-B）W1,：.y<~,故應(yīng)選B。

8

這就是“經(jīng)典”的小題大作！事實(shí)上，由于三個角A、B、C的地位完全平

等，直覺告訴我們：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令A(yù)=B=C=60°

即得答案B,這就是直覺法的威力，這也正是命題人的意圖所在。）

【練習(xí)111（07浙江文8）甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則為“3

局2勝〃，即以先贏2局者為勝，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每局比賽中甲獲勝的概率為

0.6,則本次比賽中甲獲勝的概率為（）

A、0.216B、0.36C、0.432D、0.648

（提示：先看“標(biāo)準(zhǔn)”解法一一甲獲勝分兩種情況：①甲：乙=2：0,其概

率為0.6X0.6=0.36,②甲：乙=2：1,其概率為［。；0.6乂0.心0.6=0.288,所以

甲獲勝的概率為0.36+0.288=0.648,選D。

現(xiàn)在再用直覺法來解：因?yàn)檫@種比賽沒有平局，2人獲勝的概率之和為1,

而甲獲勝的概率比乙大，應(yīng)該超過0.5,只有選D。）

【練習(xí)121sina+cosa-41,貝!!tana+cota=（）

A、1B、2C、-1D、-2

（提示：顯然a=工，選B）

4

七、趨勢判斷

趨勢判斷法，包括極限判斷法，連同估值法，大致可以歸于直覺判斷法一

類。具體來講，顧名思義，趨勢判斷法的要義是根據(jù)變化趨勢來發(fā)現(xiàn)結(jié)果，要

求化靜為動，在運(yùn)動中尋找規(guī)律，因此是一種較高層次的思維方法。

【例題】、（06年全國卷I,11）用長度分別為2、3、4、5、6（單位：cm）

的5根細(xì)木棍圍成一個三角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角

形的最大面積為多少？

A、875cm2B、6V10cm2C、3755cm2D、20cm2

【解析】、此三角形的周長是定值20,當(dāng)其高或底趨向于零時其形狀趨向

于一條直線，其面積趨向于零，可知，只有當(dāng)三角形的形狀趨向于最“飽滿〃

時也就是形狀接近于正三角形時面積最大，故三邊長應(yīng)該為7、7、6,因此易

知最大面積為6廂cm?,選B。）

【練習(xí)1］、在正n棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成二面角的平面角的取值范圍是

（）

A、（"2■乃，乃）B、（塵［乃，萬）C、（0,—）D、（匕2萬,上［乃）

nn2nn

（提示：進(jìn)行極限分析，當(dāng)頂點(diǎn)無限趨近于底面正多邊形的中心時，相鄰

兩側(cè)面所成二面角af乃，且￡不；當(dāng)錐體〃-400且底面正多邊形相對固定不

變時，正n棱錐形狀趨近于正n棱柱，土工肛且夕上2①選A）

nn

4

【練習(xí)2】、設(shè)四面體四個面的面積分別為它們的最大值為S,記4=看，

則2一定滿足（）

A、2.；LW4B、3X4C、2.5A4.5D、3.525.5

（提示：進(jìn)行極限分析，當(dāng)某一頂點(diǎn)A無限趨近于對面時，S=S對面，不妨

設(shè)$=51,則Sz+Ss+S-S挪么4=2,選項(xiàng)中只有A符合，選A。當(dāng)然，我們也

可以進(jìn)行特殊化處理：當(dāng)四面體四個面的面積相等時，2=4,憑直覺知道選A）

【練習(xí)3】、正四棱錐的相鄰兩側(cè)面所成二面角的平面角為a,側(cè)面與底面

所成角為。,則2cosa+cos2夕的值是（）

A、1B、1C、0D、-1

2

（提示：進(jìn)行極限分析，當(dāng)四棱錐的高無限增大時，90,那么

2cosa+cos2/7f2cos90+cos180=一1,選D）

【練習(xí)4】、在AABC中，角A、B、C所對邊長分別為a、b、c,若c-a等

于AC邊上的高，那么sinC心+cos1的值是（）

22

A、1B,-C、1D、-1

2