2023年黑龍江省哈爾濱四十七中中考數(shù)學(xué)四模試卷（含解析）

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一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.水位升高米時(shí)水位變化記作米，那么水位下降米時(shí)水位變化記作()

A.米B.米C.米D.米

2.下列運(yùn)算正確的是()

A.B.

C.D.

3.下列圖形中既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是()

A.B.C.D.

4.已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則該函數(shù)的圖象位于()

A.第一、三象限B.第二、四象限C.第三、四象限D(zhuǎn).第二、三象限

5.如圖是幾個(gè)小正方體組成的一個(gè)幾何體，這個(gè)幾何體的俯視圖是()

A.

B.

C.

D.

6.如圖，坡角為的斜坡上兩樹間的水平距離為，則兩樹間的坡面距離為()

A.

B.

C.

D.

7.將拋物線向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位后所得到的拋物線的解析式為()

A.B.

C.D.

8.方程的解為()

A.B.C.D.

9.一個(gè)扇形的半徑是，圓心角是，則此扇形的弧長是()

A.B.C.D.

10.如圖，在四邊形中，，，，，則線段的長為()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共10小題，共30.0分）

11.將用科學(xué)記數(shù)法表示為______．

12.在函數(shù)中，自變量的取值范圍是______．

13.計(jì)算：______．

14.分解因式：．

15.不等式組的解集是______．

16.如圖，在中，，以上一點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與相切于點(diǎn)，若，則半徑為______．

17.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______．

18.袋中裝有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)綠球．先從袋中摸出個(gè)球后放回，混合均勻后再摸出個(gè)球，則兩次摸到的球中有個(gè)綠球和個(gè)紅球的概率是______．

19.在平行四邊形中，，點(diǎn)在平行四邊形的邊上，連接、若是直角三角形，則的度數(shù)為______．

20.如圖，在中，，平分交于，是的中點(diǎn)，連接，，若，，則線段的長為______．

三、計(jì)算題（本大題共1小題，共7.0分）

21.先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．

四、解答題（本大題共6小題，共53.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

22.本小題分

如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為，有線段，點(diǎn)、、均在小正方形的頂點(diǎn)上．

將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、請(qǐng)畫出線段；

在的條件下，連接，以為對(duì)角線作平行四邊形，畫出平行四邊形，并直接寫出平行四邊形的面積．

23.本小題分

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組對(duì)學(xué)生會(huì)倡導(dǎo)的“我為綠化獻(xiàn)愛心”捐款活動(dòng)進(jìn)行抽樣調(diào)查，得到一組學(xué)生捐款情況的數(shù)據(jù)，并繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖圖中從左到右各矩形高度比為：：：：又知此次調(diào)查中捐款元和元的學(xué)生一共人．

本次調(diào)查一共調(diào)查了多少人？

這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是______，中位數(shù)是______．

該校共有名學(xué)生，估計(jì)全校學(xué)生共捐款多少元？

24.本小題分

如圖，在矩形中，點(diǎn)在上，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，．

如圖，求證：；

如圖，延長交于點(diǎn)，連接，若，請(qǐng)直接寫出圖中等于線段長的倍所有線段．

25.本小題分

某班級(jí)為學(xué)習(xí)成績進(jìn)步的學(xué)生購買獎(jiǎng)品，計(jì)劃購買同一品牌的鋼筆和自動(dòng)鉛筆，到文教店查看定價(jià)后發(fā)現(xiàn)，購買支鋼筆和支自動(dòng)鉛筆共需元，購買支鋼筆和支自動(dòng)鉛筆共需元．

求該品牌的鋼筆、自動(dòng)鉛筆每支的定價(jià)分別是多少元；

如果該班級(jí)需要自動(dòng)鉛筆的數(shù)量是鋼筆的數(shù)量的倍還多個(gè)，且班級(jí)購買鋼筆和自動(dòng)鉛筆的總費(fèi)用不超過元，那么該班級(jí)最多可購買多少支該品牌的鋼筆？

26.本小題分

已知：如圖，在中，、為弦，，連接、交于，．

如圖，求證：；

如圖，為的直徑，過作交于，交于，求證：；

在的條件下，如圖，連接、，若：：．，求線段的長．

27.本小題分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，．

求直線的解析式；

如圖，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，連接、，設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式不要求寫出自變量的取值范圍；

如圖，在的條件下，，點(diǎn)在線段上，連接，，點(diǎn)在線段上，連接、，將沿著直線折疊得到，交線段于點(diǎn)，若的面積等于的面積的，為銳角，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：水位下降米時(shí)水位變化記作，

故選：．

根據(jù)正數(shù)與負(fù)數(shù)的意義即可求出答案．

本題考查正數(shù)與負(fù)數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用正數(shù)與負(fù)數(shù)的意義，本題屬于基礎(chǔ)題型．

2.【答案】

【解析】解：、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、，正確．

故選：．

直接利用同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算法則以及乘法公式計(jì)算得出答案．

此題主要考查了整式的混合運(yùn)算，正確運(yùn)用乘法公式是解題關(guān)鍵．

3.【答案】

【解析】解：、原圖既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

B、原圖是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

C、原圖是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意原意；

D、原圖是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意原意；

故選：．

根據(jù)中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．

本題考查的是中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與自身重合．

4.【答案】

【解析】解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，

，

該函數(shù)的圖象位于二、四象限；

故選：．

根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積是定值，即，求出的值，再根據(jù)，判斷所經(jīng)過象限．

本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積是定值是解題關(guān)鍵．

5.【答案】

【解析】解：這個(gè)幾何體的俯視圖從左到右小正方形的個(gè)數(shù)是：，，，

故選：．

俯視圖是從上面看到的圖形，共分三列，從左到右小正方形的個(gè)數(shù)是：，，．

此題主要考查了簡單幾何體的三視圖，關(guān)鍵是掌握俯視圖所看的方向：從上面看所得到的圖形．

6.【答案】

【解析】解：在中，，

則，

故選：．

根據(jù)余弦的定義計(jì)算，得到答案．

本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．

7.【答案】

【解析】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

拋物線向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

平移后拋物線的解析式為．

故選：．

先根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，然后再根據(jù)頂點(diǎn)式即可得到平移后拋物線的解析式．

此題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律：上加下減，左加右減．

8.【答案】

【解析】解：，

方程兩邊同乘得：，

移項(xiàng)解得：．

將代入，

是原分式方程的解．

故選：．

將分式方程兩邊同乘轉(zhuǎn)化為一元一次方程即可得出結(jié)論．

本題考查了分式方程的解法，其中確定最簡公分母是解題關(guān)鍵．

9.【答案】

【解析】解：由題意得，扇形的半徑為，圓心角為，

故此扇形的弧長為，

故選：．

根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．

此題考查了扇形弧長的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長計(jì)算公式，難度一般．

10.【答案】

【解析】解：，

，

，，，

，

，

．

故選：．

根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可，三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．

本題考查了平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是掌握三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，并靈活進(jìn)行運(yùn)用．

11.【答案】

【解析】解：．

故答案為：．

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)整數(shù)．

此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，正確確定的值以及的值是解決問題的關(guān)鍵．

12.【答案】

【解析】解：由題意，得

，

解得，

故答案為：．

根據(jù)分母不為零分式有意義，可得答案．

本題考查了函數(shù)自變量有意義的范圍，利用分母不等于零得出不等式是解題關(guān)鍵．

13.【答案】

【解析】解：原式．

故答案為：．

直接化簡二次根式，進(jìn)而合并求出答案．

此題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．

14.【答案】

【解析】解：原式．

故答案為：．

所求代數(shù)式中含有公因數(shù)，可先提取公因數(shù)，然后運(yùn)用平方差公式分解因式．

本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進(jìn)行分解，注意要分解徹底．

15.【答案】

【解析】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

則不等式組的解集為，

故答案為：．

分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．

16.【答案】

【解析】解：連接，

為半徑的圓與相切于點(diǎn)

，

，

，

，

，

，

，

，

，

設(shè)，則，

故，

解得：，

則的半徑為：．

故答案為：．

直接利用切線的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出的半徑．

此題主要考查了切線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，正確得出的度數(shù)是解題關(guān)鍵．

17.【答案】

【解析】解：是拋物線的頂點(diǎn)式，

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，

故答案為．

利用拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法是解題的關(guān)鍵．

18.【答案】

【解析】解：畫樹狀圖得：

共有種等可能的結(jié)果，兩次摸到的球中有個(gè)綠球和個(gè)紅球的有種情況，

兩次摸到的球中有個(gè)綠球和個(gè)紅球的概率是：．

故答案為：．

首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次摸到的球中有個(gè)綠球和個(gè)紅球的情況，再利用概率公式即可求得答案．

此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．注意用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

19.【答案】或

【解析】解：當(dāng)時(shí)，

，

，

是平行四邊形，，

，

，

，

當(dāng)時(shí)，

，

，

，

故答案為：或．

分情況討論，當(dāng)時(shí)，計(jì)算的度數(shù)，當(dāng)時(shí)，計(jì)算的度數(shù)即可．

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

20.【答案】

【解析】解：在上截取，連接，過點(diǎn)作于，則，

平分，

，

在和中，

，

≌，

，，

，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，

為的中點(diǎn)，

是的中位線，

，

，

．

故答案為：．

在上截取，連接，過點(diǎn)作于，則，證明≌、≌可得，利用三角形的中位線定理求解的長，再利用勾股定理可求解．

本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的中位線，勾股定理，證明是解題的關(guān)鍵．

21.【答案】解：當(dāng)時(shí)，

原式

．

【解析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求出答案．

本題考查學(xué)生的運(yùn)算能力，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．

22.【答案】解：如圖，線段為所作；

如圖，平行四邊形為所作，平行四邊形的面積．

【解析】利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可；

把點(diǎn)向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)，則四邊形滿足條件，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式計(jì)算它的面積．

本題考查了作圖旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．

23.【答案】

【解析】解：根據(jù)圖文所提供的信息，不妨設(shè)捐款元的有人，元的有人．

依題得方程：，

解得：，

所以捐款人數(shù)共有人；

答：本次調(diào)查一共調(diào)查了人；

由可得：捐款元的有人，捐款元的有人，捐款元的有人，捐款元的有人，捐款元的有人，

所以眾數(shù)為，中位數(shù)為；

故答案為：，；

元，

答：估計(jì)全校學(xué)生共捐款元．

根據(jù)題意不妨設(shè)捐款元的有人，元的有人，根據(jù)此次調(diào)查中捐款元和元的學(xué)生一共人，即可列方程求解；

眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，把捐款金額從小到大排列，利用中位數(shù)的定義解答；

利用加權(quán)平均數(shù)公式即可求的平均數(shù)，然后乘以總?cè)藬?shù)即可．

本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖．讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；除此之外，本題也考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的認(rèn)識(shí)．

24.【答案】證明：四邊形是矩形，

，，

，

，

，，

在和中，

，

≌，

，

．

解：作于點(diǎn)，

由得，

，

，

是等邊三角形，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

等于線段長的倍的線段有線段，線段，線段，線段．

【解析】由矩形的性質(zhì)得，，因?yàn)?，所以，，而，即可證明≌，得，所以；

作于點(diǎn)，由得，而，所以，則，所以，由，得，則，所以，，則，于是得，則，所以等于線段長的倍的線段有線段，線段，線段，線段．

此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)，證明≌是解題的關(guān)鍵．

25.【答案】解：設(shè)該品牌的鋼筆每支的定價(jià)為元，自動(dòng)鉛筆每支的定價(jià)為元，

依題意，得：，

解得：．

答：該品牌的鋼筆每支的定價(jià)為元，自動(dòng)鉛筆每支的定價(jià)為元．

設(shè)該班級(jí)購買支該品牌的鋼筆，則購買支該品牌的自動(dòng)鉛筆，

依題意，得：，

解得：，

又為正整數(shù)，

的最大值為．

答：該班級(jí)最多可購買支該品牌的鋼筆．

【解析】設(shè)該品牌的鋼筆每支的定價(jià)為元，自動(dòng)鉛筆每支的定價(jià)為元，根據(jù)“購買支鋼筆和支自動(dòng)鉛筆共需元，購買支鋼筆和支自動(dòng)鉛筆共需元”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

設(shè)該班級(jí)購買支該品牌的鋼筆，則購買支該品牌的自動(dòng)鉛筆，根據(jù)總價(jià)單價(jià)數(shù)量結(jié)合班級(jí)購買鋼筆和自動(dòng)鉛筆的總費(fèi)用少于元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最大整數(shù)值即可得出結(jié)論．

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．

26.【答案】證明：，

，

，

，

，

，

，

設(shè)，

，

，，

，

為直角三角形，

，

；

證明：在中，，，

，

，

，

為直徑，

，

，

，

，，

≌，

，

連接，

為直徑，

，

，

四邊形為矩形，

，

，，

≌，

，

；

解：：：，

設(shè)，則，

由知≌，

，

，

，

，

，

連接，

由知四邊形為矩形，

，

，

，

由知，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

連接，

，，，

≌，

，

，

，

過作于，

，，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

解得，

．

【解析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，求得，設(shè)，根據(jù)勾股定理的逆定理得到為直角三角形，求得；

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

設(shè)，則，由知≌，得到求