動量矩定理章

動量矩定理章第1頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月§12–1質點和質點系的動量矩一、質點的動量矩對點的動量矩OxzyAFBMO(F)rdα力對點O之矩：OxzyLO=MO(mv)rα質點的動量對點O之矩——質點的動量對O點的動量矩AmvBd——固定矢量指向：按右手法則確定大?。悍较颍簬缀伪硎荆骸攘抠|點繞某一點轉動運動強弱的運動特征量第2頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月對軸的動量矩類似于力對點之矩與力對軸之矩的關系：質點的動量mv對x軸之矩：質點的動量mv對x軸之矩——代數(shù)量。其正負由右手法則確定。動量矩單位（SI）：二、質點系的動量矩對點O的動量矩質點系各質點的動量對某點O之矩的矢量和——質點系對O點的動量矩第3頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月對軸的動量矩質點系各質點的動量對某軸之矩的代數(shù)和——質點系對某軸的動量矩三、定軸轉動剛體對轉軸的動量矩取質點Mi:質點Mi對轉軸z的動量矩:剛體

對轉軸z的動量矩:記:——稱為剛體對轉軸z的轉動慣量

定軸轉動剛體對轉軸z的動量矩等于其轉動慣量與角速度的乘積，轉向與角速度的轉向相同。第4頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月§12–2動量矩定理一、質點動量對固定點的動量矩定理——

質點動量對某固定點O的矩將上式兩邊對時間求導，有由于O點為固定點，r為絕對運動矢徑，有另一方面由質點的動量定理：將上述關系代入，有質點的動量對任一固定點的矩隨時間的變化率，等于質點所受的力對該固定點的矩。——質點對固定點的動量矩定理第5頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月二、對固定軸的動量矩定理xyz將上式兩邊同時向坐標軸投影，有質點的動量對任一固定軸的矩隨時間的變化率，等于質點所受的力對該固定軸的矩?！|點對固定軸

的動量矩定理三、動量矩守恒定理（1）若：質點的動量對該固定點的矩矢保持不變。第6頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）若：若作用于質點的力對某固定點（或軸）的矩恒等于零，則質點的動量對該固定點（或軸）的矩保持不變?！獎恿烤厥睾愣ɡ碛行牧Γ毫Φ淖饔镁€始終過某一固定點的力，該點稱為力心。有心力作用下的質點，對力心的動量矩矢始終保持不變（大小、方向）。第7頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月試用動量矩定理導出單擺(數(shù)學擺)的運動微分方程。OφvA例題第8頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月

把單擺看成一個在圓弧上運動的質點

A，設其質量為

m，擺線長

l。又設在任一瞬時質點

A具有速度

v

，擺線

OA與鉛垂線的夾角是

。

通過懸點

O而垂直于運動平面的固定軸

z作為矩軸，對此軸應用質點的動量矩定理由于動量矩和力矩分別是解：和例題OφvA第9頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月從而可得化簡即得單擺的運動微分方程例題OφvA第10頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月一、對固定點的動量矩定理二、對固定軸的動量矩定理三、動量矩守恒定理（1）若：（2）若：第11頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月質點系的動量矩定理一、對固定點的動量矩定理質點系：n個質點質點Mi：——外力——內力由質點對固定點的動量矩定理，有簡寫成：n個方程將上述方程組兩邊相加考慮到：有：（內力系的主矩恒等于零）第12頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月

質點系對任一固定點的動量矩隨時間的變化率，等于質點系所受外力對該固定點矩的矢量和（主矩）?！|點系對固定點的動量矩定理二、對固定軸的動量矩定理將式向固定坐標軸投影，得

質點系對任一固定軸的動量矩隨時間的變化率，等于質點系所受外力對該固定軸矩的代數(shù)和（主矩）。——質點系對固定軸的動量矩定理注：與動量定理類似，質點系的內力不影響質點系總動量矩第13頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月三、質點系動量矩守恒（1）若：（2）若：（各力與z軸平行或相交）——質點系動量矩守恒定理第14頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月質點系的動量矩對點O的動量矩：對軸的動量矩：定軸轉動剛體對軸的動量矩注意：——動量矩的轉向與角速度轉向一致質點系的動量矩定理對點固定點O的動量矩定理注：與動量定理類似，質點系的內力不影響質點系總動量矩對固定軸的動量矩定理動量矩守恒定理守恒條件：第15頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例：高爐上運送礦料的卷揚機。半徑為R的卷筒可繞水平軸O轉動，它關于轉軸O

的轉動慣量為J。沿傾角為θ的斜軌被提升的重物A質量為m

。作用在卷筒上主動轉矩為M。設繩重和摩擦均可不計。試求重物的加速度。解：(1)研究對象——卷筒與重物A整個系統(tǒng)(2)受力：（所有外力）(3)分析運動，計算系統(tǒng)對軸O的動量矩：——以順時針方向為正(4)外力對軸O的矩：s對重物A，有(5)代入動量矩定理：方向與速度方向相同第16頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月

兩個鼓輪固連在一起，其總質量是

m，對水平轉軸

O的轉動慣量是

JO

；鼓輪的半徑是

r1

和

r2

。繩端懸掛的重物

A和

B

質量分別是

m1

和

m2

(圖a)，且

m1

>

m2。試求鼓輪的角加速度。OABr1r2(a)例題第17頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月解:

取鼓輪，重物

A,B和繩索為研究對象(圖b)。對鼓輪的轉軸

z(垂直于圖面，指向讀者)應用動量矩定理，有OABr1r2(b)v1αv2m1gm0gm2gF0y系統(tǒng)的動量矩由三部分組成，等于考慮到

v1=r1

，v2=r2

，則得外力主矩僅由重力

m1g

和m2g產生，有例題第18頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月將表達式(b)和(c)

代入方程(a)，即得從而求出鼓輪的角加速度方向為逆鐘向。OABr1r2(b)v1αv2m1gm0gm2gF0y例題第19頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月解：取系統(tǒng)為研究對象例題

均質圓輪半徑為R、質量為m，圓輪對轉軸的轉動慣量為JO。圓輪在重物P帶動下繞固定軸O轉動，已知重物重量為W。求：重物下落的加速度OPWvmgFOxFOy應用動量矩定理第20頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月小結1.動量矩質點對固定點的動量矩質點對固定軸的動量矩質點系對固定點的動量矩質點系對固定軸的動量矩定軸轉動剛體注意：第21頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月2.質點系的動量矩定理對點固定點O的動量矩定理注：與動量定理類似，質點系的內力不影響質點系總動量矩對固定軸的動量矩定理3.動量矩守恒定理守恒條件：第22頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例題求：此時系統(tǒng)的角速度zaallABCDozABCD解：取系統(tǒng)為研究對象mgmg系統(tǒng)對z軸的動量矩守恒受力分析：第23頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例：均質圓盤，其繞軸O的轉動慣量為J

，可繞通過其中心的軸無摩擦地轉動，另一質量為m2

的人由B點按規(guī)律沿距O軸半徑為r的圓周運動。初始時，圓盤與人均靜止。求圓盤的角速度與角加速度。解：圓盤與人一起——研究對象受力分析：動量矩關于z軸守恒計算質點系的動量矩：初始時：任意瞬時：負號說明實際轉向與圖中相反第24頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月§13–4剛體對軸的轉動慣量一、定軸轉動剛體對轉軸的動量矩

剛體各質點的質量與它們到轉軸z垂直距離的平方的乘積之和

定軸轉動剛體對轉軸z的動量矩等于其轉動慣量與角速度的乘積，轉向與角速度的轉向相同。二、轉動慣量的基本概念——稱為剛體對轉軸

z

的轉動慣量轉動慣量Jz的特點：Jz≥0——恒正的標量影響Jz的因素：與轉軸z的位置有關；與質量mi的分布有關；改變Jz的方法：1.

改變質量（密度）；2.改變質量分布情況。Jz的物理意義：——物體轉動運動慣性的度量Jz的單位（SI）：第25頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月三、轉動慣量的計算1.積分法由定義：可得——適用于質量連續(xù)分布，幾何形狀簡單的物體。若已知密度函數(shù)：則有常見規(guī)則形狀的均質物體，轉軸過質心C的Jz由有關工程手冊查得。第26頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）均質細桿桿長l

單位長度的質量為微段的質量：桿的總質量：第27頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）均質圓環(huán)（3）均質圓板取同心圓環(huán)研究：（4）圓板對x，y軸的轉動慣量由于圓板對稱：第28頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月2.組合法——代數(shù)和O桿圓盤如：xy孔1孔2短形板——適用于均質、簡單形狀組合的物體3.轉動慣量的工程實用計算公式——m為剛體的質量；ρz為回轉半徑。注意：①ρz——回轉半徑。（假想將剛體的質量全部集中離轉軸距離ρz的質點上，而此質點對軸z的轉動慣量Jz與原剛體對軸z的轉動慣量Jz相同。）②——其中m、Jz由計算或實驗測定，然后反算ρz。（注意：ρz并不是質心C到轉軸的距離）第29頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月四、轉動慣量的平行軸定理OxzyCMih設z軸過剛體的質心C，z′與z軸平行，兩軸間的距離為h，由轉動慣量的定義，有將

代入，有mh2?由質心坐標的計算公式，有——轉動慣量的平行軸定理第30頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月均質桿，質量mzCreOC均質圓盤，質量mω幾點說明：①軸z與軸z′必須平行；②z軸必須過質心C；③過質心C的轉動慣量最小。剛體對于任意軸的轉動慣量,等于剛體對于通過質心、并與該軸平行的軸的轉動慣量，加上剛體的質量與兩軸間距離平方的乘積第31頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月lOCdm1m2例題第32頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月§13–3剛體定軸轉動微分方程設定軸轉動剛體作用有力：F1、F2、……、Fn，轉動角速度：ω，轉動慣量：Jz，其繞軸的動量矩——其轉向與ω相同代入動量矩定理，有——剛體定軸轉動微分方程（轉動定理）

剛體對轉軸的轉動慣量與其角加速度的乘積，等于作用于剛體上的所有外力對轉軸矩的代數(shù)和。第33頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月討論：（1）方程建立了β與Mz的瞬時關系（須在任意瞬時建立方程）（2）——勻變速轉動——勻速轉動——角速度ω取極值（3）則有——此時β

取決于JzJz大β小——說明轉動運動狀態(tài)不易改變Jz小β大——說明轉動運動狀態(tài)容易改變——慣性大——慣性小Jz是剛體轉動運動慣性的度量應用：（1）已知外力矩Mz，求β

、ω、φ=φ(t)。（2）已知β

、ω、φ=φ(t)，求與力矩Mz有關的量（力、距離等）。第34頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖所示，已知滑輪半徑為R，轉動慣量為J，帶動滑輪的皮帶拉力為F1和F2。求滑輪的角加速度α

。RαOF1F2例題第35頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)剛體繞定軸的轉動微分方程有于是得由上式可見，只有當定滑輪為勻速轉動（包括靜止）或雖非勻速轉動，但可忽略滑輪的轉動慣量時，跨過定滑輪的皮帶拉力才是相等的。RαOF1F2解：例題第36頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月

飛輪對O的轉動慣量為JO，以角速度ωO繞水平的O軸轉動，如圖所示。制動時，閘塊給輪以正壓力FN。已知閘塊與輪之間的滑動摩擦系數(shù)為fs，輪的半徑為R，軸承的摩擦忽略不計。求制動所需的時間t。

OωO例題第37頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月以輪為研究對象。將上式積分，并根據(jù)已知條件確定積分上下限，得

由此解得解：OωOFFNFOxFOyW例題列剛體的轉動微分方程為

（取逆時針方向為正）第38頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例：復擺（物理擺）如圖。已知擺的重量為W，擺關于轉軸O的轉動慣量為JO，懸掛點（軸）O到質心的距離為a

，求：復擺作微幅擺動時的運動規(guī)律。解：運動分析：任意瞬時OC與x軸的夾角為φ（注：φ以增大方向為正轉向）建立定軸轉動微分方程，并求解（1）兩邊同除以JO，并整理得（2）當作微幅擺動（φ很小）時，（3）其解為：（4）式中：常數(shù)A、θ

由初始條件確定。注意