復(fù)變函數(shù)往年課件4 3級數(shù)

第三節(jié)

泰勒級數(shù)一、泰勒定理二、將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)三、典型例題四、小結(jié)與思考五、泰勒級數(shù)的應(yīng)用一、泰勒定理10(z

),

n

=

0,1,

2,(

n)=

fn!n其中c設(shè)f

(z)是定義在區(qū)域D

上的函數(shù)，z0

為D內(nèi)一點，如果f

(z)在z0

處解析，那么在z0

處附近f

(z)可以

展開成冪級數(shù)的形式：f

(z)

=n￥n=0cn

(z

-

z0

)這個級數(shù)稱為泰勒級數(shù)，系數(shù)稱為泰勒系數(shù)z0

=0

時，該級數(shù)又稱為馬克勞林級數(shù)利用柯西積分公式證明（略）設(shè)

f

(

z

)

在

z0

也可展開成冪級數(shù):f

(z)

=

a

+

a

(z

-

z

)

+

a

(z

-

z

)2

+

+

a

(z

-

z

)n

+

,0

1

0

2

0

n

0那末f

(z0

)

=

a0

,

f

(z0

)

=

a1

,

即n!10f

(z

)

,(n)na

=因此,任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù),因而展開式是唯一的.問題1：展開式是否唯一？f

(

z

)

在

z0

已被展開成冪級數(shù)，其收斂域是一個以

z0

為圓心，

R

為半徑的圓域，記為

K。R

如何確定？由泰勒定理的證明過程可知該圓域

K

可以盡可能大,它只要滿足兩個條件即可：K

完全包含在區(qū)域D

內(nèi)f

(z

)在K

內(nèi)解析，即K

內(nèi)不含有f

(z

)的奇點如果f

(z

)在D

內(nèi)有奇點,則R

等于z0

到最近問題2：“附近”到底是怎樣一個范圍？000一個奇點

a

之間的距離,

即

R

=

a

-

z

;不太嚴謹問題3：從形式上看復(fù)變函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的條件要比實函數(shù)時弱得多，為什么？復(fù)變函數(shù)的解析要比實函數(shù)的可導強很多！-

1

x2

,1

+

x21f

(

x)

=g(

x)

=

ex

?

0

,

0

,

x

=

0注意因為f

(z)解析，可以保證無限次可各階導數(shù)的連續(xù)性;所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級數(shù)的實用范圍就要比實變函數(shù)廣闊的多.二、將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)常用方法:直接法和間接法.1.直接法:由泰勒展開定理計算系數(shù)n!10f

(z

)

,

n

=

0,1,

2,(

n)c

=n將函數(shù)f

(z)在z0

展開成冪級數(shù).例如，求ez

在z

=0

的泰勒展開式.(ez

)(

n)

=

1,

(n

=

0,1,

2,)z=0故有e￥n=0n!2!

n!z2

zn=

1

+

z

+ +

+ +

=znz因為ez

在復(fù)平面內(nèi)處處解析,所以級數(shù)的收斂半徑R

=￥

.因為(ez

)(n)=ez

,仿照上例,可得sinz

與cosz

在z

=0

的泰勒展開式.sin

z

=

z

-

3!

+

5!

-

+

(-1)

(2n

+

1)!

+

,z3

z5

z2n+1n(

R

=

￥

)z2

z4

z2nncos

z

=

1

-

2!

+

4!

-

+

(-1)

(2n)!

+

,(

R

=

￥

)2.

間接展開法:借助于一些已知函數(shù)的展開式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級數(shù)運算性質(zhì)(逐項求導,積分等)和其它數(shù)學技巧(代換等),求函數(shù)的泰勒展開式.間接法的優(yōu)點:不需要求各階導數(shù)與收斂半徑,因而比直接展開更為簡潔,使用范圍也更為廣泛.例如，利用間接展開法求sin

z

在z

=0

的泰勒展開式.2isin

z

=

1

(eiz

-

e-iz

)￥n=0z2n+1(2n

+

1)!(-1)=n=1

￥n=0￥-

n=0(-iz)n

n!n!(iz)n2i附:常見函數(shù)的泰勒展開式,n!2!

n!z2

zn￥n=0+

+ +

=znz1)

e

=

1

+

z

+￥=

1

+

z

+

z2

+

+

zn

+

=

zn

,n=01

-

z12)12

n

n3)

=

1

-

z

+

z

-+(-1)

z

+=1

+

z￥n=0n

n(2n

+

1)!3!

5!4)

sin

z

=

z

-

+

-

+

(-1)z3

z5

z2n+1n(

z

<

1)(-1)

z

,(

z

<

1)+,(

z

<

￥

)(

z

<

￥

)5)

cos

z

=

1

-

2!

+

4!

-

+

(-1)

(2n)!

+

,z2

z4

z2nn6) ln(1

+

z)

=

z

-

2

+

3

-

+

(-1)

n

+

1

+

,(

z

<

￥

)z2

z3

zn+1n￥n=0zn+1n

+

1(-1)=n(

z

<

1)=

1

+az

+

a

(a

-1)

z2

+

a

(a

-1)(a

-

2)

z3

+2!

3!7)(1

+

z)a

+

a

(a

-1)(a

-

n

+

1)

zn

+,n!(

z

<

1)三、典型例題例1

把函數(shù)展開成z

的冪級數(shù).(1

+

z)21=1-

z

+

z2

-+(-1)n

zn

+1+

z1z

<

1在

z

=

1上有一奇點z

=

-1,(1

+

z)2解

由于1且在

z

<

1內(nèi)處處解析,

可展開成

z的冪級數(shù),

=

-1

+

z(1

+

z)1

12z

<

1.=

1

-

2z

+

3z2

-

+

(-1)n-1

nzn-1

+

,上式兩邊逐項求導,例2

求對數(shù)函數(shù)的主值ln(1

+z)在z=0

處的泰勒展開式.分析

ln(1

+

z)

在從

-1向左沿負實軸剪開的平面內(nèi)是解析的,

-1

是它的一個奇點,所以它在

z

=

1內(nèi)可以展開成

z

的冪級數(shù).如圖,R

=

1o-

11xyz0

n=0z

￥dz

=

(-1)n

zndz0

1

+

z1即z2

z3

zn+1nln(1

+

z)

=

z

-

2

+

3

-

+

(-1)

n

+

1

+

z

<

1將展開式兩端沿C

逐項積分,得解

[ln(1

+

z)]￠=1

+

z1￥(

z

<

1)=

1

-

z

+

z2

-+(-1)n

zn

+=

(-1)n

znn=0設(shè)C

為收斂圓z

<1內(nèi)從0

到z

的曲線,展開成z

的冪級數(shù).3z

-

21解1

-

3z例3

把函數(shù)

f

(

z)

=1

=

-1

13z

-

2

2222

2+(

)

++(

)

+]=

-

[1

+2

n3z21

3z

3z=

-2

-

22

-

23--

2n+1

-3n

zn32

z21

3z,23n

znn+1￥=

-n=03z

22

<

1,

即

z

<

3.例4求arctan

z在z

=0的冪級數(shù)展開式.解,dz因為arctan

z

=021

+

zz12

n21

+

z=￥n=0n(-1)

(z

)

,

z

<

1dz且所以arctan

z

=z021

+

z￥=zn0n=02

n(z

)

dz(-1),

z

<

1.2n

+

1(-1)z2n+1=￥n=0n例5

求cos2

z的冪級數(shù).解2因為

cos2

z

=

1

(1

+

cos

2z),- +

+6!4!(2z)2

(2z)4

(2z)6cos

2z

=

1

-+

z

<

￥-6!2!

4!=

1

-

+26

z62!22

z2

24

z4所以cos2

z

=1

(1

+cos

2z)2=

1

--

+

z

<

￥+23

z42z26!25

z62!

4!四、小結(jié)與思考理解泰勒展開定理熟記五個基本函數(shù)的泰勒展開式掌握將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法，熟練準確思考題奇、偶函數(shù)的泰勒級數(shù)有什么特點?思考題答案奇函數(shù)的泰勒級數(shù)只含z

的奇次冪項,偶函數(shù)的泰勒級數(shù)只含z

的偶次冪項.補充：泰勒級數(shù)的應(yīng)用1.

解析函數(shù)零點的孤立性nn

0

0

0定義：若函數(shù)f

(z)在解析區(qū)域D內(nèi)一點z0

處的值為0，則稱z0

為解析函數(shù)f

(z)的零點.￥n=0=

f

(z

)

=

0由泰勒展開定理：f

(z)=c

(z

-z

)，此時有c定義：在上述展開式中若c0

=c1

=

=cm

-1

=0,cm

?0,則稱z0

為解析函數(shù)f

(z)的m

階零點.m

=1

時，稱為簡單零點。f

(

z

)

以

z0

為

m

階零點mf

(

z

)

=

(

z

-

z0

)

j

(

z

)<R

內(nèi)解析，且j

(z

0

)?0.z

-

z

0定理：設(shè)解析函數(shù)f

(z

)不恒為零，則其中j

(z

)在圓域零點的孤立性定理：設(shè)

f

(

z

)

在圓域

z

-

z0

<

R

內(nèi)解析，且不恒為零，

f

(

z0)

=

0,則存在z0

的一個鄰域Cr，在Cr

中f

(z

)只有一個零點z0

.