復(fù)變函數(shù)往年課件4 3級(jí)數(shù)

第三節(jié)

泰勒級(jí)數(shù)一、泰勒定理二、將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)三、典型例題四、小結(jié)與思考五、泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用一、泰勒定理10(z

),

n

=

0,1,

2,(

n)=

fn!n其中c設(shè)f

(z)是定義在區(qū)域D

上的函數(shù)，z0

為D內(nèi)一點(diǎn)，如果f

(z)在z0

處解析，那么在z0

處附近f

(z)可以

展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的形式：f

(z)

=n￥n=0cn

(z

-

z0

)這個(gè)級(jí)數(shù)稱(chēng)為泰勒級(jí)數(shù)，系數(shù)稱(chēng)為泰勒系數(shù)z0

=0

時(shí)，該級(jí)數(shù)又稱(chēng)為馬克勞林級(jí)數(shù)利用柯西積分公式證明（略）設(shè)

f

(

z

)

在

z0

也可展開(kāi)成冪級(jí)數(shù):f

(z)

=

a

+

a

(z

-

z

)

+

a

(z

-

z

)2

+

+

a

(z

-

z

)n

+

,0

1

0

2

0

n

0那末f

(z0

)

=

a0

,

f

(z0

)

=

a1

,

即n!10f

(z

)

,(n)na

=因此,任何解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是泰勒級(jí)數(shù),因而展開(kāi)式是唯一的.問(wèn)題1：展開(kāi)式是否唯一？f

(

z

)

在

z0

已被展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，其收斂域是一個(gè)以

z0

為圓心，

R

為半徑的圓域，記為

K。R

如何確定？由泰勒定理的證明過(guò)程可知該圓域

K

可以盡可能大,它只要滿足兩個(gè)條件即可：K

完全包含在區(qū)域D

內(nèi)f

(z

)在K

內(nèi)解析，即K

內(nèi)不含有f

(z

)的奇點(diǎn)如果f

(z

)在D

內(nèi)有奇點(diǎn),則R

等于z0

到最近問(wèn)題2：“附近”到底是怎樣一個(gè)范圍？000一個(gè)奇點(diǎn)

a

之間的距離,

即

R

=

a

-

z

;不太嚴(yán)謹(jǐn)問(wèn)題3：從形式上看復(fù)變函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的條件要比實(shí)函數(shù)時(shí)弱得多，為什么？復(fù)變函數(shù)的解析要比實(shí)函數(shù)的可導(dǎo)強(qiáng)很多！-

1

x2

,1

+

x21f

(

x)

=g(

x)

=

ex

?

0

,

0

,

x

=

0注意因?yàn)閒

(z)解析，可以保證無(wú)限次可各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性;所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)的實(shí)用范圍就要比實(shí)變函數(shù)廣闊的多.二、將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)常用方法:直接法和間接法.1.直接法:由泰勒展開(kāi)定理計(jì)算系數(shù)n!10f

(z

)

,

n

=

0,1,

2,(

n)c

=n將函數(shù)f

(z)在z0

展開(kāi)成冪級(jí)數(shù).例如，求ez

在z

=0

的泰勒展開(kāi)式.(ez

)(

n)

=

1,

(n

=

0,1,

2,)z=0故有e￥n=0n!2!

n!z2

zn=

1

+

z

+ +

+ +

=znz因?yàn)閑z

在復(fù)平面內(nèi)處處解析,所以級(jí)數(shù)的收斂半徑R

=￥

.因?yàn)?ez

)(n)=ez

,仿照上例,可得sinz

與cosz

在z

=0

的泰勒展開(kāi)式.sin

z

=

z

-

3!

+

5!

-

+

(-1)

(2n

+

1)!

+

,z3

z5

z2n+1n(

R

=

￥

)z2

z4

z2nncos

z

=

1

-

2!

+

4!

-

+

(-1)

(2n)!

+

,(

R

=

￥

)2.

間接展開(kāi)法:借助于一些已知函數(shù)的展開(kāi)式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(逐項(xiàng)求導(dǎo),積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧(代換等),求函數(shù)的泰勒展開(kāi)式.間接法的優(yōu)點(diǎn):不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑,因而比直接展開(kāi)更為簡(jiǎn)潔,使用范圍也更為廣泛.例如，利用間接展開(kāi)法求sin

z

在z

=0

的泰勒展開(kāi)式.2isin

z

=

1

(eiz

-

e-iz

)￥n=0z2n+1(2n

+

1)!(-1)=n=1

￥n=0￥-

n=0(-iz)n

n!n!(iz)n2i附:常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式,n!2!

n!z2

zn￥n=0+

+ +

=znz1)

e

=

1

+

z

+￥=

1

+

z

+

z2

+

+

zn

+

=

zn

,n=01

-

z12)12

n

n3)

=

1

-

z

+

z

-+(-1)

z

+=1

+

z￥n=0n

n(2n

+

1)!3!

5!4)

sin

z

=

z

-

+

-

+

(-1)z3

z5

z2n+1n(

z

<

1)(-1)

z

,(

z

<

1)+,(

z

<

￥

)(

z

<

￥

)5)

cos

z

=

1

-

2!

+

4!

-

+

(-1)

(2n)!

+

,z2

z4

z2nn6) ln(1

+

z)

=

z

-

2

+

3

-

+

(-1)

n

+

1

+

,(

z

<

￥

)z2

z3

zn+1n￥n=0zn+1n

+

1(-1)=n(

z

<

1)=

1

+az

+

a

(a

-1)

z2

+

a

(a

-1)(a

-

2)

z3

+2!

3!7)(1

+

z)a

+

a

(a

-1)(a

-

n

+

1)

zn

+,n!(

z

<

1)三、典型例題例1

把函數(shù)展開(kāi)成z

的冪級(jí)數(shù).(1

+

z)21=1-

z

+

z2

-+(-1)n

zn

+1+

z1z

<

1在

z

=

1上有一奇點(diǎn)z

=

-1,(1

+

z)2解

由于1且在

z

<

1內(nèi)處處解析,

可展開(kāi)成

z的冪級(jí)數(shù),

=

-1

+

z(1

+

z)1

12z

<

1.=

1

-

2z

+

3z2

-

+

(-1)n-1

nzn-1

+

,上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),例2

求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值ln(1

+z)在z=0

處的泰勒展開(kāi)式.分析

ln(1

+

z)

在從

-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開(kāi)的平面內(nèi)是解析的,

-1

是它的一個(gè)奇點(diǎn),所以它在

z

=

1內(nèi)可以展開(kāi)成

z

的冪級(jí)數(shù).如圖,R

=

1o-

11xyz0

n=0z

￥dz

=

(-1)n

zndz0

1

+

z1即z2

z3

zn+1nln(1

+

z)

=

z

-

2

+

3

-

+

(-1)

n

+

1

+

z

<

1將展開(kāi)式兩端沿C

逐項(xiàng)積分,得解

[ln(1

+

z)]￠=1

+

z1￥(

z

<

1)=

1

-

z

+

z2

-+(-1)n

zn

+=

(-1)n

znn=0設(shè)C

為收斂圓z

<1內(nèi)從0

到z

的曲線,展開(kāi)成z

的冪級(jí)數(shù).3z

-

21解1

-

3z例3

把函數(shù)

f

(

z)

=1

=

-1

13z

-

2

2222

2+(

)

++(

)

+]=

-

[1

+2

n3z21

3z

3z=

-2

-

22

-

23--

2n+1

-3n

zn32

z21

3z,23n

znn+1￥=

-n=03z

22

<

1,

即

z

<

3.例4求arctan

z在z

=0的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.解,dz因?yàn)閍rctan

z

=021

+

zz12

n21

+

z=￥n=0n(-1)

(z

)

,

z

<

1dz且所以arctan

z

=z021

+

z￥=zn0n=02

n(z

)

dz(-1),

z

<

1.2n

+

1(-1)z2n+1=￥n=0n例5

求cos2

z的冪級(jí)數(shù).解2因?yàn)?/p>

cos2

z

=

1

(1

+

cos

2z),- +

+6!4!(2z)2

(2z)4

(2z)6cos

2z

=

1

-+

z

<

￥-6!2!

4!=

1

-

+26

z62!22

z2

24

z4所以cos2

z

=1

(1

+cos

2z)2=

1

--

+

z

<

￥+23

z42z26!25

z62!

4!四、小結(jié)與思考理解泰勒展開(kāi)定理熟記五個(gè)基本函數(shù)的泰勒展開(kāi)式掌握將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的方法，熟練準(zhǔn)確思考題奇、偶函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)有什么特點(diǎn)?思考題答案奇函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)只含z

的奇次冪項(xiàng),偶函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)只含z

的偶次冪項(xiàng).補(bǔ)充：泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用1.

解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性nn

0

0

0定義：若函數(shù)f

(z)在解析區(qū)域D內(nèi)一點(diǎn)z0

處的值為0，則稱(chēng)z0

為解析函數(shù)f

(z)的零點(diǎn).￥n=0=

f

(z

)

=

0由泰勒展開(kāi)定理：f

(z)=c

(z

-z

)，此時(shí)有c定義：在上述展開(kāi)式中若c0

=c1

=

=cm

-1

=0,cm

?0,則稱(chēng)z0

為解析函數(shù)f

(z)的m

階零點(diǎn).m

=1

時(shí)，稱(chēng)為簡(jiǎn)單零點(diǎn)。f

(

z

)

以

z0

為

m

階零點(diǎn)mf

(

z

)

=

(

z

-

z0

)

j

(

z

)<R

內(nèi)解析，且j

(z

0

)?0.z

-

z

0定理：設(shè)解析函數(shù)f

(z

)不恒為零，則其中j

(z

)在圓域零點(diǎn)的孤立性定理：設(shè)

f

(

z

)

在圓域

z

-

z0

<

R

內(nèi)解析，且不恒為零，

f

(

z0)

=

0,則存在z0

的一個(gè)鄰域Cr，在Cr

中f

(z

)只有一個(gè)零點(diǎn)z0

.