離散傅里葉變換數(shù)字信號處理陳后金課件

第2章離散傅里葉變換(DFT)

內(nèi)容提要問題的提出有限長序列的傅里葉分析離散傅里葉變換的性質(zhì)利用DFT計(jì)算線性卷積利用DFT分析信號的頻譜DFT第2章離散傅里葉變換(DFT)內(nèi)容提要DFT1學(xué)習(xí)要求了解四種信號的傅里葉變換的數(shù)學(xué)概念及特點(diǎn)。深刻理解有限長序列DFT的定義及概念。掌握序列DFT與序列DTFT和z變換的相互關(guān)系。掌握利用DFT分析任意信號頻譜的原理和方法。理解DFT分析信號頻譜中出現(xiàn)的現(xiàn)象以及改善這些現(xiàn)象的方法。掌握利用DFT實(shí)現(xiàn)序列線性卷積的原理和方法。

DFT學(xué)習(xí)要求了解四種信號的傅里葉變換的數(shù)學(xué)概念及特點(diǎn)。DF2重點(diǎn)和難點(diǎn)

本章的重點(diǎn)是信號DFT的數(shù)學(xué)概念和物理概念，以及DFT在信號分析和系統(tǒng)分析中的重要作用本章的難點(diǎn)是利用DFT分析連續(xù)信號頻譜過程中出現(xiàn)的現(xiàn)象DFT重點(diǎn)和難點(diǎn)本章的重點(diǎn)是信號DFT的數(shù)學(xué)概念和物理概3問題的提出信號的頻域分析在信息技術(shù)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用為什么進(jìn)行信號頻譜的數(shù)值化分析?1.許多實(shí)際信號不存在數(shù)學(xué)解析式2.利用計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算,簡單快捷DFT問題的提出信號的頻域分析在信息技術(shù)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用為什么進(jìn)行信號4

有限長序列的傅里葉分析四種信號傅里葉表示有限長序列離散傅里葉變換DFT矩陣表示利用MATLAB計(jì)算DFTDFT有限長序列的傅里葉分析四種信號傅里葉表示DFT5四種信號傅里葉表示1.周期為T0的連續(xù)時間周期信號頻譜特點(diǎn)：離散非周期譜DFT四種信號傅里葉表示1.周期為T0的連續(xù)時間周期信號頻譜特點(diǎn)6四種信號傅里葉表示2.連續(xù)時間非周期信號頻譜特點(diǎn)：連續(xù)非周期譜DFT四種信號傅里葉表示2.連續(xù)時間非周期信號頻譜特點(diǎn)：連續(xù)非7四種信號傅里葉表示3.離散非周期信號頻譜特點(diǎn)：周期為2的連續(xù)譜DFT四種信號傅里葉表示3.離散非周期信號頻譜特點(diǎn)：周期為28四種信號傅里葉表示4.周期為N的離散周期信號頻譜特點(diǎn)：周期為N的離散譜DFT四種信號傅里葉表示4.周期為N的離散周期信號頻譜特點(diǎn)：周9有限長序列離散傅里葉變換IDFTDFT符號表示DFT有限長序列離散傅里葉變換IDFTDFT符號表示DFT10有限長序列DFT與DTFT關(guān)系

有限長序列x[k]離散傅里葉變換X[m]是其離散時間傅里葉變換X(ejW)在一個周期[0,2p)的等間隔抽樣DFT有限長序列DFT與DTFT關(guān)系有限長序列x[11DFT與DFS關(guān)系DFT可以看成是截取DFS的主值區(qū)間構(gòu)成的變換對DFTDFT與DFS關(guān)系DFT可以看成是截取DFS的主值區(qū)間構(gòu)成的12例3:求有限長4點(diǎn)序列的DFT。例題：例4有限長4點(diǎn)序列DFT矩陣表示。DFT例3:求有限長4點(diǎn)序列13DFTDFT14例4:求有限長4點(diǎn)序列的DFT。如果序列后補(bǔ)零，其DFT有何變化?解:DFT例4:求有限長4點(diǎn)序列15X[m]={2，2，-2，2},m=0,1,2,3有限長4點(diǎn)序列DFT矩陣表示:DFT矩陣表示DFTX[m]={2，2，-2，2},m=0,1,2,3有限16DFT矩陣表示DFTDFT矩陣表示DFT17利用MATLAB計(jì)算DFTfft(x)fft(x,N)ifft(x)ifft(x,N)fft(x)

計(jì)算M點(diǎn)的DFT。M是序列x的長度。fft(x,N)

計(jì)算N點(diǎn)的DFT。M>N，將原序列裁為N點(diǎn)計(jì)算N點(diǎn)的DFT；M<N，將原序列補(bǔ)零至N點(diǎn)，然后計(jì)算N點(diǎn)DFT。DFT利用MATLAB計(jì)算DFTfft(x)fft(x,18x=[11-11];xm=fft(x,4);subplot(311);stem(0:3,abs(xm));axis([04-13]);xm1=fft(x,8);subplot(312);stem(0:7,abs(xm1));axis([08-13]);xm2=fft(x,16);subplot(313);stem(0:15,abs(xm2));axis([016-13]);利用MATLAB計(jì)算DFT---N=4、8、16DFTx=[11-11];利用MATLAB計(jì)算DFT---19x=[0000011111100000];xm=fft(x,16);subplot(311);stem(0:15,abs(xm));axis([016-17]);subplot(312);xm1=fft(x,64);stem(0:63,abs(xm1));axis([064-17]);subplot(313);xm2=fft(x,256);stem(0:255,abs(xm2));axis([0256-17]);利用MATLAB計(jì)算DFT---N=16、64、256DFTx=[0000011111100020x=[0000011111100000];x1=[000001];N1=6;xm1=fft(x1);subplot(211);stem(0:N1-1,abs(xm1));xm16=fft(x1,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));x2=[0000011];N2=7;xm2=fft(x2);subplot(211);stem(0:N2-1,abs(xm2));gridxm16=fft(x2,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridx3=[00000111];N3=8;xm3=fft(x3);subplot(211);stem(0:N3-1,abs(xm3));xm16=fft(x3,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridx4=[000001111];N4=9;xm4=fft(x4);subplot(211);stem(0:N4-1,abs(xm4));gridxm16=fft(x4,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridxm=fft(x,16);subplot(515);stem(0:15,abs(xm));DFTx=[0000011111100021DFTDFT22離散傅里葉變換的性質(zhì)

1.線性

2.循環(huán)位移

3.對稱性

4.序列的循環(huán)卷積5.Parseval定理6.序列DFT與z變換的關(guān)系DFT離散傅里葉變換的性質(zhì)1.線性DFT231.線性需將較短序列補(bǔ)零后，再按長序列的點(diǎn)數(shù)做DFTDFT1.線性需將較短序列補(bǔ)零后，再按長序列的點(diǎn)數(shù)做DFTDF242.循環(huán)位移(圓周移位)循環(huán)位移定義為:注意：隱含的周期性DFT2.循環(huán)位移(圓周移位)循環(huán)位移定義為:注意：隱含的周25時移特性:若DFT{x[k]}=X[m]則DFT{xp[kn]RN[k]}=WNnm

X[m]表明：序列在時域上圓周移位，頻域上將產(chǎn)生附加相移。證明：DFT{xp[kn]RN

[k]}DFT時移特性:若DFT{x[k]}=X[m]26頻移特性:若DFT{x[k]}=X[m]則DFT{x[k]WNlk}=Xp[ml]

RN[m]表明：若序列在時域上乘以復(fù)數(shù)指數(shù)序列WNlk，則在頻域上，X[m]將圓周移位l位，也稱“調(diào)制定理”。DFT頻移特性:若DFT{x[k]}=X[m]27設(shè)x[k]為實(shí)序列，DFT{x[k]}=X[m]，則

①X[m]的實(shí)部XR[m]是m的偶函數(shù),虛部XI[m]是m的奇函數(shù)

②X[m]的幅頻是m的偶函數(shù)，相位是m的奇函數(shù)。③具有半周期對稱的特點(diǎn)，即X[m]=X*[Nm]3.對稱性(symmetry)---1）實(shí)數(shù)序列x[k]DFT設(shè)x[k]為實(shí)序列，DFT{x[k]}=X[m]28x=[0001111000];xm=fft(x,10);subplot(221);stem(0:9,abs(xm));subplot(222);stem(0:9,angle(xm));subplot(223);xm1=fft(x,11);stem(0:10,abs(xm1));subplot(224);stem(0:10,angle(xm1));設(shè)x[k]為實(shí)序列，DFT{x[k]}=X[m]，則

①X[m]的實(shí)部XR[m]是m的偶函數(shù),虛部XI[m]是m的奇函數(shù)

②X[m]的幅頻是m的偶函數(shù)，相位是m的奇函數(shù)。③具有半周期對稱的特點(diǎn)，即X[m]=X*[Nm]DFTx=[0001111000];設(shè)x[k]為293.對稱性---2）復(fù)數(shù)序列x[k]DFT3.對稱性---2）復(fù)數(shù)序列x[k]DFT30若x*[k]是有限長序列x[k]的共軛復(fù)數(shù)序列，并設(shè)x[k]=xR[k]+jxI[k],x*[k]=xR[k]

jxI[k]有DFT{x*[k]}=X*[Nm]且Xep[m]

=DFT{xR[k]}={X[m]+X*[Nm]}/2

Xop[m]

=DFT{

jxI[k]}={X[m]X*[Nm]}/23.對稱性---2）復(fù)數(shù)序列證明：DFT若x*[k]是有限長序列x[k]的共軛復(fù)數(shù)序列，并設(shè)3.31循環(huán)卷積DFT循環(huán)卷積DFT324.循環(huán)卷積定理時域卷積定理頻域卷積定理時域的循環(huán)卷積對應(yīng)頻域的乘積時域的乘積對應(yīng)頻域的循環(huán)卷積5.Parseval定理DFT4.循環(huán)卷積定理時域卷積定理頻域卷積定理時域的循環(huán)卷積33序列DFT與z變換的關(guān)系有限長序列x[k]的DFT：有限長序列x[k]的z變換：DFT序列DFT與z變換的關(guān)系有限長序列x[k]的DFT：有限長序34序列DFT與z變換的關(guān)系：x[k]的X[m]等于其z變換X(z)在單位圓上等間隔抽樣DFT序列DFT與z變換的關(guān)系：x[k]的X[m]等于其z變換X(35兩個有限長序列的線性卷積利用DFT計(jì)算序列線性卷積h(n)x(n)y(n)如果序列x(n)的長度為N1、序列h(n)的長度為N2，那么線性卷積y(n)也是一個有限長序列，且其長度為N1+N21。每個x(n)的樣值都必須與每個h(n)的樣值相乘，需N1N2次乘法運(yùn)算，在N1=

N2=

N時，需N2次乘法運(yùn)算。

能否用圓周卷積代替線性卷積??將進(jìn)行卷積的兩序列長度均加長至N

N1+

N21，然后再進(jìn)行圓卷積，則其圓卷積的結(jié)果與線卷積的結(jié)果相同。DFT兩個有限長序列的線性卷積利用DFT計(jì)算序列線性卷積h(36序列線性卷積DFT序列線性卷積DFT37序列線性卷積能否用圓周卷積代替線性卷積??序列圓周卷積DFT序列線性卷積能否用圓周卷積代替線性卷積??序列圓周卷積DF38DFTDFT39利用DFT計(jì)算序列線性卷積的步驟若x[k]的長度為N，h[k]的長度為M，則L=N+M-1點(diǎn)循環(huán)卷積等于x[k]與h[k]的線性卷積。序列補(bǔ)零加長至Lx[k]N點(diǎn)L點(diǎn)DFTX[k]L

N

+

M

1序列補(bǔ)零加長至Lh[k]M點(diǎn)L點(diǎn)DFTH[k]IFFTy[k]相乘直接線卷積：N1N2次乘運(yùn)算，N1

N2=

N時，需N2乘。利用圓卷積：兩次FFT，一次IFFTDFT利用DFT計(jì)算序列線性卷積的步驟若x[k]的40在一般的數(shù)字濾波器中，由于h(k)或H(m)是預(yù)先設(shè)計(jì)好的，已置于存儲器中，故實(shí)際只需二次FFT的運(yùn)算量。假定N

=

M=

L，補(bǔ)零后長度N

+

M

12L，需要2(L

log22L)次乘。此外完成X(k)與H(k)兩序列相乘，全部復(fù)運(yùn)算次數(shù)為2(L

log22L)+2L=2L(1+

log22L)比如L=210=1024L=26=64直接線卷積：10485766464=4096利用圓卷積：24576896

顯然，隨L，利用圓卷積比L2顯著減小，所以采用圓卷積的方案可以加快完成卷積運(yùn)算。利用DFT計(jì)算序列線性卷積的步驟DFT在一般的數(shù)字濾波器中，由于h(k)或H(m)41利用DFT計(jì)算序列線性卷積的步驟兩序列長度接近或相等的情況下，采用圓卷積的方案可以加快完成卷積運(yùn)算。如果其中一個序列較短，而另一序列很長，圓卷積方案的相對運(yùn)算量可能減小不多，甚至增多。這時，可采用分段卷積（分段過濾）的方法。其基本原理是：將較長的一個序列，比如x[n]分成許多小段，每小段長度都與h[n]接近，將x[n]的每個小段分別與h[n]作卷積，最后取和。這時，仍有可能發(fā)揮快速卷積的優(yōu)越性。此方案的具體實(shí)現(xiàn)不是唯一的。DFT利用DFT計(jì)算序列線性卷積的步驟兩序列長度接42長序列和短序列的線性卷積直接利用DFT計(jì)算的缺點(diǎn)：(1)信號要全部輸入后才能進(jìn)行計(jì)算，延遲太多。(2)內(nèi)存要求大。(3)算法效率不高。解決問題方法：采用分段卷積分段卷積可采用重疊相加法和重疊保留法。DFT長序列和短序列的線性卷積直接利用DFT計(jì)算的缺點(diǎn)：(1)43長序列和短序列的線性卷積1.重疊相加法（overlapadd）將長序列x[k]分為若干段長度為L的序列長度、起止點(diǎn)？？？DFT長序列和短序列的線性卷積1.重疊相加法（overlapa44長序列和短序列的線性卷積1.重疊相加法（overlapadd）y0[k]的長度及起止點(diǎn)：y1[k-L]的長度及起止點(diǎn)：注意：序列y0[k],y1[k]的重疊部分重疊的點(diǎn)數(shù)：L+M-2-L+1=M-1依次將相鄰兩段的M-1個重疊點(diǎn)相加？？？，即得到最終的線性卷積結(jié)果。DFT長序列和短序列的線性卷積1.重疊相加法（overlapa45DFTDFT462.重疊保留法（overlapsave）長序列和短序列的線性卷積方法：

(1)將x[k]長序列分段，每段長度為L。

(2)各段序列xn[k]與

M點(diǎn)短序列h[k]循環(huán)卷積。

(3)從各段循環(huán)卷積中提取線性卷積結(jié)果。因yn[k]=xn[k]h[k]前M-1個點(diǎn)不是線性卷積的點(diǎn)，故分段時，每段與其前一段有M-1個點(diǎn)重疊。第一段前需補(bǔ)M-1個零DFT2.重疊保留法（overlapsave）長序列和短序列的472.重疊保留法（overlapsave）長序列和短序列的線性卷積記：yn[k]=xn[k]Lh[k]01-Lk0k1-LM-1M-1DFT2.重疊保留法（overlapsave）長序列和短序列的48DFTDFT49例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，試分別利用重疊相加法和重疊保留法計(jì)算線性卷積,取L=5。解法一：使用重疊相加法---時域序列按L個點(diǎn)連續(xù)分段、計(jì)算L+M-1點(diǎn)圓周卷積（或計(jì)算L、M個點(diǎn)線性卷積）、前一個分段卷積結(jié)果的后M-1個點(diǎn)的序列值與后一個分段卷積結(jié)果的前M-1個點(diǎn)的序列值對應(yīng)相加，構(gòu)成要求的卷積結(jié)果。解法二：使用重疊保留法---時域序列以前后兩段重疊M-1個點(diǎn)的形式按L個點(diǎn)分段、計(jì)算L點(diǎn)圓周卷積、保留每個分段卷積結(jié)果的后L-(M-1)個點(diǎn)的序列值，由他們按順序構(gòu)成要求的卷積結(jié)果。DFT例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={50例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，試分別利用重疊相加法和重疊保留法計(jì)算線性卷積,取L=5。1）重疊相加法DFT例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={51例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，試分別利用重疊相加法和重疊保留法計(jì)算線性卷積,取L=5。2）重疊保留法DFT例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={52利用DFT分析信號頻譜問題的提出四種信號頻譜之間的關(guān)系利用DFT分析連續(xù)非周期信號頻譜混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象DFT參數(shù)選取DFT利用DFT分析信號頻譜問題的提出DFT53四種信號頻譜之間的關(guān)系：公式？利用DFT分析信號頻譜DFT四種信號頻譜之間的關(guān)系：公式？利用DFT分析信號頻譜DFT54四種信號的時域與頻域?qū)?yīng)關(guān)系DFT四種信號的時域與頻域?qū)?yīng)關(guān)系DFT55利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜假設(shè)連續(xù)信號持續(xù)時間有限，頻帶有限離散化抽樣N點(diǎn)DFTDFT利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜假設(shè)連續(xù)信號持續(xù)時間有限56例：已知語音信號x(t)的最高頻率為fm=3.4kHz,用fsam=8kHz對x(t)進(jìn)行抽樣。如對抽樣信號做N=1600點(diǎn)的DFT，試確定X[m]中m=600和m=1200點(diǎn)所分別對應(yīng)原連續(xù)信號的連續(xù)頻譜點(diǎn)f1

和f2(kHz)。

解：DFT例：已知語音信號x(t)的最高頻率為fm=3.4kHz,用57利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜求x(t)=e-tu(t)的幅度譜fs=16Hz,N=256t=(0:N-1)*T;x=T*exp(-t);X=fft(x);DFT利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜求x(t)=e-tu(58N=100;fs=100;t=(0:N-1)/fs;x=exp(-t)/fs;X=fft(x);subplot(121);stem(t*fs,abs(X));gridw=-50:0.01:50;Xjw=1./(1+j*w);subplot(122);plot(w,abs(Xjw));gridholdonXX1=X(1:50);XX2=X(51:100);XX=[XX2XX1];stem(-50:49,abs(XX));gridDFTDFT59N=100;fs=16;t=(0:N-1)/fs;x=exp(-t)/fs;X=fft(x);subplot(121);stem(t*fs,abs(X));gridw=-50:0.01:50;Xjw=1./(1+j*w);subplot(122);plot(w,abs(Xjw));gridholdonXX1=X(1:50);XX2=X(51:100);XX=[XX2XX1];stem(-50:49,abs(XX));gridDFTDFT60討論1：x(t)無限長，其頻帶有限加窗抽樣DFT利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜DFT討論1：x(t)無限長，其頻帶有限加窗抽樣DFT利用DFT分61討論2：x(t)有限長，其頻帶無限利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜抽樣DFTDFT討論2：x(t)有限長，其頻帶無限利用DFT分析連續(xù)非周期62討論3：x(t)無限長，其頻帶無限利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜出現(xiàn)三種現(xiàn)象：混疊(抽樣頻率)、泄漏(加窗截?cái)?、柵欄(離散頻率點(diǎn))抽樣DFT加窗DFT討論3：x(t)無限長，其頻帶無限利用DFT分析連續(xù)非周期信63混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象(1)混疊現(xiàn)象DFT混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象(1)混疊現(xiàn)象DFT64f1=50.0;w1=2*pi*f1;fs=2000;t=-10:1/fs:10;x=-cos(w1*t);forn=1:19x=x-cos(n*w1*t)/n;endsubplot(311);plot(t,x);N1=400;x1=x(1:N1);X1=fft(x1,N1);subplot(312);stem((0:N1-1),abs(X1)/N1*2);gridN2=512;x2=x(1:N2);X2=fft(x2,N2);subplot(31