河南省禹州市重點學校2022-2023學年高二下學期期中考試數學試題（含解析）

-2023學年河南省禹州市重點學校高二（下）期中數學試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求的。1．（5分）已數列{an}是等比數列，a2＝3，a5＝，則公比q等于（）A． B．﹣3 C．3 D．2．（5分）已知向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，3），則＝（）A．（4，﹣2，6） B．（﹣8，4，6） C．（0，0，9） D．（﹣2，1，6）3．（5分）2021年江蘇省實行“3+1+2”新高考模式，學生選科時語文、數學、英語三科必選，物理、歷史兩科中選擇1科，政治、地理、化學、生物四科中選擇2科，則學生不同的選科方案共有（）A．6種 B．12種 C．18種 D．24種4．（5分）已知橢圓C：的焦點在y軸上，則實數k的取值范圍為（）A．（﹣3，1） B．（1，5） C．（﹣3，5） D．（1，3）5．（5分）函數f（x）＝﹣2x+ax3，若f′（2）＝1，則a＝（）A．4 B． C．﹣4 D．﹣6．（5分）已知函數f（x）及其導函數f′（x），若存在x0使得f（x0）＝f′（x0），則稱x0是f（x）的一個“巧值點”．下列選項中沒有“巧值點”的函數是（）A．f（x）＝x2 B．f（x）＝lnx C．f（x）＝e﹣x D．f（x）＝cosx7．（5分）已知函數f（x）＝，g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是（）A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）8．（5分）為了提高命題質量，命題組指派5名教師對數學卷的選擇題，填空題和解答題這3種題進行改編，一位老師負責一個題型，則每種題型至少指派1名教師的不同分派方法種數為（）A．144 B．120 C．150 D．1809．（5分）設f（x）是定義在R上的函數，其導函數為f'（x），滿足f（x）﹣xf'（x）＞0，若a＝4f（1），b＝2f（2），c＝f（4），則（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a10．（5分）已知直線l過定點A（2，3，1），且方向向量為，則點P（4，3，2）到l的距離為（）A． B． C． D．11．（5分）已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的離心率為，直線l與橢圓C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M（﹣2，1），則直線l的斜率為（）A． B． C． D．112．（5分）已知對任意的x∈（0，+∞），不等式kx（ekx+1）﹣（x+1）lnx＞0恒成立，則實數k的取值范圍是（）A．（e，+∞） B．（，e） C．（，+∞） D．（，）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知曲線y＝f（x）在點M（2，f（2））處的切線方程是y＝2x+5，則f（2）+f'（2）的值為．14．（5分）已知等差數列{an}的通項公式an＝4n﹣14，記其前n項和為Sn，那么當n＝時，Sn取得最小值．15．（5分）某種產品有4只次品和6只正品，每只產品均不同且可區(qū)分，今每次取出一只測試，測試后不放回，直到4只次品全測出為止，則最后一只次品恰好在第五次測試時被發(fā)現的不同情形有種．16．（5分）已知數列{an}滿足（n∈N*），且對任意n∈N*都有，則實數t的取值范圍為．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）奧運會是世界規(guī)模最大的綜合性運動會，參賽人數屢創(chuàng)新高，個別運動員通過服用違禁藥物來提升成績．組委會要對可疑的參賽運動員進行尿檢，假設某次比賽前組委會接到可靠消息，某國參加百米賽跑的7名運動員中有3人服用了違禁藥品．（1）假設對某國7名運動員逐個進行尿檢，求恰好經過4次就能判斷出服用違禁藥品的運動員概率．（2）若從該國7名運動員中隨機抽取4名，其中含服用違禁藥品的人數為X，求隨機變量X的分布列和數學期望18．（12分）已知等差數列{an}是遞增數列，且a1a5＝9，a2+a4＝10．（1）求數列{an}的通項公式；（2）若bn＝（n∈N*），求數列{bn}的前n項和Sn．19．（12分）某商場為提高服務質量，隨機調查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對商場的服務給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯表：滿意不滿意男顧客4010女顧客3020（1）分別估計男，女顧客對商場服務滿意的概率；（2）根據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否認為男，女顧客對商場的評價有差異．附：，α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.82820．（12分）如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別為DD1，BD的中點，點G在CD上，且CG＝CD．（Ⅰ）求證：EF⊥B1C；（Ⅱ）求EF與C1G所成角的余弦值．21．（12分）已知函數f（x）＝x﹣lnx﹣2．（1）求出函數f（x）的極值；（2）若對于任意的x∈（1，+∞），都有，求整數k的最大值．22．（12分）已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1（﹣1，0），F2（1，0），點M（1，）為橢圓C上一點．（1）求橢圓C的方程；（2）過點F1（﹣1，0）作動直線l與橢圓交于A，B兩點，過點A作直線x＝﹣4的垂線垂足為N，求證：直線BN過定點．答案解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求的。1．（5分）已數列{an}是等比數列，a2＝3，a5＝，則公比q等于（）A． B．﹣3 C．3 D．【答案】D【分析】利用等比數列的通項公式能求出結果．【解答】解：數列{an}是等比數列，a2＝3，a5＝，∴3q3＝，則公比q＝．故選：D．2．（5分）已知向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，3），則＝（）A．（4，﹣2，6） B．（﹣8，4，6） C．（0，0，9） D．（﹣2，1，6）【答案】C【分析】根據空間向量的坐標運算公式求解即可．【解答】解：因為，所以，又，所以．故選：C．3．（5分）2021年江蘇省實行“3+1+2”新高考模式，學生選科時語文、數學、英語三科必選，物理、歷史兩科中選擇1科，政治、地理、化學、生物四科中選擇2科，則學生不同的選科方案共有（）A．6種 B．12種 C．18種 D．24種【答案】B【分析】根據題意，分2步進行分析：先分析在物理、歷史兩科中選擇1科的選法數目，再分析從政治、地理、化學、生物四科中選擇2科的選法，由分步計數原理計算可得答案．【解答】解：根據題意，分2步進行分析：先在物理、歷史兩科中選擇1科，有2種選法，再從政治、地理、化學、生物四科中選擇2科，有C42＝6種選法，則有2×6＝12種選法，故選：B．4．（5分）已知橢圓C：的焦點在y軸上，則實數k的取值范圍為（）A．（﹣3，1） B．（1，5） C．（﹣3，5） D．（1，3）【答案】A【分析】由題意可得5﹣k＞k+3＞0，從而可求出實數k的取值范圍．【解答】解：因為橢圓C：的焦點在y軸上，所以5﹣k＞k+3＞0，解得﹣3＜k＜1，故選：A．5．（5分）函數f（x）＝﹣2x+ax3，若f′（2）＝1，則a＝（）A．4 B． C．﹣4 D．﹣【答案】B【分析】由題意，可先解出f（x）＝﹣2x+ax3的導數，再由方程f′（2）＝1即可解出a的值【解答】解：由f（x）＝﹣2x+ax3，得f′（x）＝﹣2+3ax2，又f′（2）＝1∴﹣2+12a＝1，解得a＝故選：B．6．（5分）已知函數f（x）及其導函數f′（x），若存在x0使得f（x0）＝f′（x0），則稱x0是f（x）的一個“巧值點”．下列選項中沒有“巧值點”的函數是（）A．f（x）＝x2 B．f（x）＝lnx C．f（x）＝e﹣x D．f（x）＝cosx【答案】C【分析】根據題意，依次分析選項中函數是否存在“巧值點”，綜合可得答案．【解答】解：根據題意，依次分析選項：對于A，f（x）＝x2，其導數f′（x）＝2x，方程f（x）＝f′（x），即x2＝2x有解x＝0和x＝2，則f（x）存在“巧值點”；對于B，f（x）＝lnx，其導數f′（x）＝（x＞0），設g（x）＝f（x）﹣f′（x）＝lnx﹣（x＞0），g（1）＝﹣1＜0，g（e）＝1﹣＞0，則函數g（x）在（1，e）上存在零點，則方程f（x）＝f′（x）有解，故f（x）存在“巧值點”；對于C，f（x）＝e﹣x，其導數f′（x）＝﹣e﹣x，由于f（x）＝e﹣x＞0，f′（x）＝﹣e﹣x＜0，則方程f（x）＝f′（x），即e﹣x＝﹣e﹣x無解，故函數f（x）不存在“巧值點”；對于D，f（x）＝cosx，其導數f′（x）＝﹣sinx，方程f（x）＝f′（x），即cosx＝﹣sinx有解，則f（x）存在“巧值點”；故選：C．7．（5分）已知函數f（x）＝，g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是（）A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）【答案】C【分析】由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，分別作出兩個函數的圖象，根據圖象交點個數與函數零點之間的關系進行轉化求解即可．【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函數f（x）和y＝﹣x﹣a的圖象如圖：當直線y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1時，兩個函數的圖象都有2個交點，即函數g（x）存在2個零點，故實數a的取值范圍是[﹣1，+∞），故選：C．8．（5分）為了提高命題質量，命題組指派5名教師對數學卷的選擇題，填空題和解答題這3種題進行改編，一位老師負責一個題型，則每種題型至少指派1名教師的不同分派方法種數為（）A．144 B．120 C．150 D．180【答案】C【分析】根據題意，分2步進行分析：①，將5人分成3組，分2種情況討論求出其分組方法數目，②，將分好的三組全排列，對應選擇題、填空題和解答題3種題型，由分步計數原理計算可得答案．【解答】解：根據題意，分2步進行分析：①，將5人分成3組，若分為1、1、3的三組，有＝10種分組方法；若分為1、2、2的三組，＝15種分組方法；則有10+15＝25種分組方法；②，將分好的三組全排列，對應選擇題、填空題和解答題3種題型，有＝6種情況，則有25×6＝150種分派方法；故選：C．9．（5分）設f（x）是定義在R上的函數，其導函數為f'（x），滿足f（x）﹣xf'（x）＞0，若a＝4f（1），b＝2f（2），c＝f（4），則（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a【答案】A【分析】由題令，進而根據題意得g（x）在（0，+∞）上是增函數，故，進而得答案．【解答】解：因為f（x）滿足f（x）﹣xf′（x）＞0，令，則g′（x）＝＜0，所以g（x）在R上是減函數，所以g（4）＜g（2）＜g（1），即f（1）＞＞，所以a＞b＞c．故選：A．10．（5分）已知直線l過定點A（2，3，1），且方向向量為，則點P（4，3，2）到l的距離為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】用向量數量積計算點到直線距離即可．【解答】解：因為A（2，3，1），P（4，3，2），所以＝（﹣2，0，﹣1），又因為直線l的方向量為，所以點P到l的距離為＝＝，故選：A．11．（5分）已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的離心率為，直線l與橢圓C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M（﹣2，1），則直線l的斜率為（）A． B． C． D．1【答案】C【分析】由橢圓的離心率可得a，b的關系，得到橢圓方程為x2+4y2＝4b2，設出A，B的坐標并代入橢圓方程，利用點差法求得直線l的斜率．【解答】解：由，得，∴a2＝4b2，則橢圓方程為x2+4y2＝4b2，設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2＝﹣4，y1+y2＝2，把A，B的坐標代入橢圓方程得：，①﹣②得：（x1﹣x2）（x1+x2）＝﹣4（y1﹣y2）（y1+y2），∴．∴直線l的斜率為．故選：C．12．（5分）已知對任意的x∈（0，+∞），不等式kx（ekx+1）﹣（x+1）lnx＞0恒成立，則實數k的取值范圍是（）A．（e，+∞） B．（，e） C．（，+∞） D．（，）【答案】C【分析】將已知不等式轉化為kx（ekx+1）＞lnx（elnx+1），令f（x）＝x（ex+1），利用導數判斷函數的單調性，從而可得kx＞lnx，即，令，利用導數求出g（x）的最大值，即可求解k的范圍．【解答】解：由kx（ekx+1）﹣（x+1）lnx＞0，得kx（ekx+1）＞lnx（elnx+1），令f（x）＝x（ex+1），則上式轉化為f（kx）＞f（lnx），而f'（x）＝ex+1+xex＞0，則f（x）在（0，+∞）上單調遞增，得kx＞lnx，即，令，得，當x∈（0，e）時，g'（x）＞0，當x∈（e，+∞）時，g'（x）＜0，則g（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，得，則，得實數k的取值范圍是．故選：C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知曲線y＝f（x）在點M（2，f（2））處的切線方程是y＝2x+5，則f（2）+f'（2）的值為11．【答案】11．【分析】由已知可得f'（2）的值，進一步求得f（2），則答案可求．【解答】解：∵曲線y＝f（x）在點M（2，f（2））處的切線方程是y＝2x+5，∴f'（2）＝2，又f（2）＝2×2+5＝9，則f（2）+f'（2）＝9+2＝11．故答案為：11．14．（5分）已知等差數列{an}的通項公式an＝4n﹣14，記其前n項和為Sn，那么當n＝3時，Sn取得最小值．【答案】3．【分析】先判斷出an＝4n﹣14單調遞增且a3＜0，a4＞0，從而可求．【解答】解：因為an＝4n﹣14單調遞增，又a3＜0，a4＞0，故當n＝3時，Sn取得最小值，故答案為：3．15．（5分）某種產品有4只次品和6只正品，每只產品均不同且可區(qū)分，今每次取出一只測試，測試后不放回，直到4只次品全測出為止，則最后一只次品恰好在第五次測試時被發(fā)現的不同情形有576種．【答案】見試題解答內容【分析】本題意指第五次測試的產品一定是次品，并且是最后一個次品，因而第五次測試應算是特殊位置了，可以分步完成，第一步：第五次測試的有幾種可能；第二步：前四次有一件正品有幾種可能；第三步：前四次有幾種順序；最后根據乘法公式計算可得共有幾種可能．【解答】解：對四件次品編序為1，2，3，4．第五次抽到其中任一件次品有C41種情況．前四次有三次是次品，一次是正品共有C16C33種可能．前4次測試中的順序有A44種可能．∴由分步計數原理即得共有C14（C16C33）A44＝576種可能．故答案為：576．16．（5分）已知數列{an}滿足（n∈N*），且對任意n∈N*都有，則實數t的取值范圍為．【答案】見試題解答內容【分析】數列{an}滿足a1a2a3…an＝2n2（n∈N*），n＝1時，a1＝2；n≥2時，a1a2a3…an﹣1＝2（n﹣1）2，可得an＝22n﹣1．即＝，利用等比數列的求和公式與放縮法即可得出．【解答】解：∵數列{an}滿足（n∈N*），∴n＝1時，a1＝2；n≥2時，a1a2a3…an﹣1＝，可得an＝22n﹣1．∴＝，數列{}為等比數列，首項為，公比為．∴++…+＝＝（1﹣）＜．∵對任意n∈N*都有，則t的取值范圍為[，+∞）．故答案為：．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）奧運會是世界規(guī)模最大的綜合性運動會，參賽人數屢創(chuàng)新高，個別運動員通過服用違禁藥物來提升成績．組委會要對可疑的參賽運動員進行尿檢，假設某次比賽前組委會接到可靠消息，某國參加百米賽跑的7名運動員中有3人服用了違禁藥品．（1）假設對某國7名運動員逐個進行尿檢，求恰好經過4次就能判斷出服用違禁藥品的運動員概率．（2）若從該國7名運動員中隨機抽取4名，其中含服用違禁藥品的人數為X，求隨機變量X的分布列和數學期望【答案】（1）．（2）．【分析】（1）記恰好經過4次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來為事件A，該事件包含兩種情況：“4次檢驗均為沒有服用違禁藥品的運動員”和“前3次檢測中有兩次檢測出服用違禁藥物運動員，且第四次檢測出的是服用違禁藥物運動員”，分別求出兩種情況的概率，并求和，即可求解．（2）由題意可得，X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出對應的概率，即可得X的分布列，再結合期望公式，即可求解．【解答】解：（1）記恰好經過4次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來為事件A，該事件包含兩種情況：“4次檢驗均為沒有服用違禁藥品的運動員”和“前3次檢測中有兩次檢測出服用違禁藥物運動員，且第四次檢測出的是服用違禁藥物運動員”，．（2）由題意可得，X的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，故X的分布列為：X0123P＝．18．（12分）已知等差數列{an}是遞增數列，且a1a5＝9，a2+a4＝10．（1）求數列{an}的通項公式；（2）若bn＝（n∈N*），求數列{bn}的前n項和Sn．【答案】見試題解答內容【分析】（1）直接利用遞推關系式求出數列的通項公式．（2）利用（1）的結論，進一步利用裂項相消法求出數列的和．【解答】解：（1）設首項為a1，公差為d的等差數列{an}是遞增數列，且a1a5＝9，a2+a4＝10．則：，解得：a1＝1或9，a5＝9或1，由于數列為遞增數列，則：a1＝1，a5＝9．故：d＝2則：an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（2）由于an＝2n﹣1，則：bn＝＝，＝．所以：Sn＝b1+b2+…+bn，＝，＝，＝．19．（12分）某商場為提高服務質量，隨機調查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對商場的服務給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯表：滿意不滿意男顧客4010女顧客3020（1）分別估計男，女顧客對商場服務滿意的概率；（2）根據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否認為男，女顧客對商場的評價有差異．附：，α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.828【答案】（1）男，女顧客對商場服務滿意的概率分別為，；（2）根據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，可以認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異．【分析】（1）由題中數據，結合等可能事件的概率求解；（2）代入計算公式：χ2＝，然后把所求數據與3.841進行比較即可判斷．【解答】解：（1）由題中數據可知，男顧客對該商場服務滿意的概率P＝＝，女顧客對該商場服務滿意的概率P＝＝；（2）由題意可知，χ2＝＝≈4.762＞3.841，故根據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，可以認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異．20．（12分）如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別為DD1，BD的中點，點G在CD上，且CG＝CD．（Ⅰ）求證：EF⊥B1C；（Ⅱ）求EF與C1G所成角的余弦值．【答案】見試題解答內容【分析】（1）建立空間直角坐標系，可求出，，再利用向量數量積的坐標計算可得＝0即可證得EF⊥B1C．（2）由（1）知，，從而可計算相應的模與數量積，利用向量的數量積的坐標公式，可求EF與C1G所成角的余弦值．【解答】解：以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D﹣xyz．則E（），（1）∵，，∵；（2）由（1）知…（4分）∴，…（5分）…（6分）?＝×0+×（﹣）+（﹣）×（﹣1）＝…（7分）∴cos＜，＞＝＝，故EF與C1G所成角的余弦值為．…（8分）21．（12分）已知函數f（x）＝x﹣lnx﹣2．（1）求出函數f（x）的極值；（2）若對于任意的x∈（1，+∞），都有，求整數k的最大值．【答案】（1）﹣1；（2）6．【分析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可；（2）問題轉化為k＜，令g（x）＝，利用導數可得g（x）min＝g（x0）∈（3，4），結合k＜g（x）min＝x0∈（3，4），可得整數k的最大值為3．【解答】解：（1）f（x）＝x﹣lnx﹣2，定義域是（0，+∞），f′（x）＝1﹣＝，令f′