【學(xué)霸提優(yōu)】2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊重難點專題提優(yōu)訓(xùn)練（人教版） 解一元二次方程(解析版)

解一元二次方程考點一解一元二次方程——直接開平方法考點二解一元二次方程——配方法考點三根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況考點四解一元二次方程——公式法考點五解一元二次方程——因式分解法（含十字相乘法）考點六解一元二次方程——換元法考點一解一元二次方程——直接開平方法例題：（2022·上海·八年級期末）解方程：（1）x(x+5)=x-4（2）4（x﹣1）2＝9．(3)；(4)100（x－1）2＝121．【答案】（1）；（2）x＝或x＝﹣；(3)；(4)x1＝x2＝－【解析】【分析】把原方程整理后化成一元二次方程的一般形式然后選取適當?shù)姆椒纯汕蠼猓驹斀狻拷猓海?）．（2）4（x﹣1）2＝9則（x﹣1）2＝故x﹣1＝±解得：x＝或x＝﹣．(3)移項得：開平方得：解得：；(4)解∶（x－1）2＝x－1＝±即x1＝x2＝－．【點睛】本題考查一元二次方程的解法熟練掌握直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2022·廣東·模擬預(yù)測）方程的解是_______．【答案】【解析】【分析】先移項化為再利用直接開平方的方法解方程即可.【詳解】解：即或故答案為：【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法掌握“直接開平方法解一元二次方程”是解本題的關(guān)鍵.2．（2022·全國·九年級）將4個數(shù)abcd排成2行、2列兩邊各加一條豎直線記成

定義

＝ad﹣bc上述記號就叫做2階行列式．若則x＝___．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題中已知的新定義列出式子然后化簡得到關(guān)于x的一元二次方程開方即可求出x的值．【詳解】解：∵∴∴x2﹣4x+1＝0∴x2﹣4x+4＝﹣1+4∴∴∴x＝故答案為：．【點睛】本題主要考查完全平方公式的運用以及解一元二次方程理解并運用新定義是解題的關(guān)鍵．考點二解一元二次方程——配方法例題：（2022·河南安陽·九年級期末）解下列方程：(1)；(2)【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）先移項然后配方再開平方求出方程的解即可；（2）先移項然后分解因式最后求出方程的解即可．(1)解：移項得：配方得：即開平方得：∴．(2)解得．【點睛】本題主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程熟練進行配方和因式分解是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2022·云南·紅河縣教育科學(xué)研究室九年級期末）用配方法解一元二次方程變形后的結(jié)果正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】先將二次項配成完全平方式再將常數(shù)項移項即得答案．【詳解】解：∵∴即故選：D．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．2.（2022·遼寧大連·模擬預(yù)測）解方程：．【答案】,【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程．【詳解】解：x2+4x=8x2+4x+4=8+4．【點睛】本題考查利用配方法解一元二次方程解決問題的關(guān)鍵是降次．考點三根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況例題：（2022·云南·昆明八中模擬預(yù)測）下列一元二次方程中沒有實數(shù)根的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程跟的判別式進行判斷即可．【詳解】解：A．選項實數(shù)根為故該一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；B．選項實數(shù)根為和故該一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；C．選項依題意得：則故該一元二次方程沒有實數(shù)根；D．選項實數(shù)根為故該一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式時一元二次方程有實數(shù)根．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江溫州·中考真題）若關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根則c的值是（

）A．36 B． C．9 D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)判別式的意義得到然后解關(guān)于c的一次方程即可．【詳解】解：∵方程有兩個相等的實數(shù)根∴解得故選：C．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的跟與的關(guān)系關(guān)鍵是分清楚以下三種情況：當時方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時方程有兩個相等的實數(shù)根；當時方程無實數(shù)根．2．（2022年河南省洛陽市中招第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根則a的取值范圍是（

）A．且 B．且 C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程可知根據(jù)方程有兩個實數(shù)根得綜合求解即可．【詳解】∵方程是一元二次方程且有兩個實數(shù)根∴解得：且故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的概念和根的判別式掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．但要注意一元二次方程的二次項系數(shù)非零．考點四解一元二次方程——公式法例題：（2022·云南文山·九年級期末）按要求解方程．(1)2x2-5x+1＝0(公式法)(2)．（公式法）【答案】(1)x1＝x2＝；(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)公式法可得方程的解；（2）先計算根的判別式再利用公式法解方程即可．(1)解：∵a＝2b＝-5c＝1∴Δ＝b2﹣4ac＝(-5)2-4×2×1＝17∴x＝∴x1＝x2＝．(2)解：則解得：【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法掌握“利用配方法與公式法解一元二次方程”是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2022·重慶市育才中學(xué)八年級期中）解方程：(1)；(2)【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可得；（2）利用公式法解一元二次方程即可得．（1）(2)解：方程中的則故．【點睛】本題考查了解一元二次方程熟練掌握解方程的方法是解題關(guān)鍵．2.（2022·山東煙臺·八年級期中）已知關(guān)于x的方程是一元二次方程．(1)求m的值；(2)解這個一元二次方程．【答案】(1)-1(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義求解即可一元二次方程定義只含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)項的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程；（2）根據(jù)公式法解一元二次方程即可．(1)關(guān)于x的方程是一元二次方程解得(2)方程為即解得【點睛】本題考查了一元二次方程的定義解一元二次方程正確的計算是解題的關(guān)鍵．考點五解一元二次方程——因式分解法（含十字相乘法）例題：（2022·四川成都·九年級期末）解下列一元二次方程．(1)x2﹣4x＝5；(2)2（x+1）2＝x（x+1）．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）通過移項分解因式化為一元一次方程即可求解；（2）通過移項分解因式化為一元一次方程即可求解．(1)解：x2﹣4x＝5移項得：x2﹣4x-5=0分解因式得：（x-5）（x+1）=0∴x-5=0或x+1=0解得：；(2)解：2（x+1）2＝x（x+1）移項得：2（x+1）2-x（x+1）=0分解因式得：（x+1）（2x+2-x）=0∴x+1=0或2x+2-x=0解得：．【點睛】本題主要考查解一元二次方程掌握因式分解法解方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2022·江蘇·蘇州草橋中學(xué)八年級期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)或；(2)或【解析】【分析】（1）運用公式法解一元二次方程即可；（2）運用十字相乘法解一元二次方程．(1)∵∴解得：或；(2)∵∴解得：或．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程掌握運用公式法、十字相乘法解一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．2.（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校八年級期中）解下列方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程．(1)解：∴(2)∴【點睛】本題考查了解一元二次方程?因式分解法因式分解是解本題的關(guān)鍵．考點六解一元二次方程——換元法例題：（2022·江蘇南京·二模）若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3x2=?5則關(guān)于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)t=y+1則原方程可化為at2+bt+c=0根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解為x1=3x2=-5得到t1=3t2=-5于是得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)t=y+1則原方程可化為at2+bt+c=0∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解為x1=3x2=-5∴t1=3t2=-5∴y+1=3或y+1=-5解得y1=2y2=-6．故選：B．【點睛】此題主要考查了換元法解一元二次方程關(guān)鍵是正確找出兩個方程解的關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．（2022·湖南邵陽·九年級期末）請你先認真閱讀下列材料再參照例子解答問題：已知求的值．解：設(shè)則原方程變形為即∴得t1＝﹣2t2＝1∴或已知求的值．【答案】【解析】【分析】先換元再求出t的值最后求出答案即可．【詳解】解：設(shè)∴即∴解得：（舍去）∴即的值為．【點睛】本題考查了解一元二次方程能夠正確換元是解此題的關(guān)鍵．2．（2022·四川瀘州·一模）請閱讀下列材料：解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0．解法如下：將x2﹣1視為一個整體然后設(shè)x2﹣1＝y(tǒng)則（x2﹣1）2＝y(tǒng)2原方程可化為y2﹣5y+4＝0解得y1＝1y2＝4．（1）當y＝1時x2﹣1＝1解得x＝±；（2）當y＝4時x2﹣1＝4解得x＝±．綜合（1）（2）可得原方程的解為x1＝x2＝﹣x3＝x4＝﹣．參照以上解法方程x4﹣x2﹣6＝0的解為_____．【答案】【解析】【分析】仿照范例可以設(shè)則原方程化為一元二次方程：先解出y的值再進一步解出x的值．【詳解】解：設(shè)則原方程可化為：解得：y1＝3y2＝﹣2（1）當y＝3時x2＝3解得x1＝x2＝（2）當y＝﹣2．時x2＝﹣2此方程無實數(shù)根綜合（1）（2）可得原方程的解是：x1＝x2＝故答案為：x1＝x2＝【點睛】本題主要考查換元法在解一元二次方程中的應(yīng)用．解數(shù)學(xué)題時把某個式子看成一個整體用一個變量去代替它從而使問題得到簡化這叫換元法．換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元理論依據(jù)是等量代換目的是變換研究對象將問題移至新對象的知識背景中去研究從而使非標準型問題標準化、復(fù)雜問題簡單化變得容易處理．一、選擇題1．（2022·甘肅武威·中考真題）用配方法解方程x2-2x=2時配方后正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】方程左右兩邊都加上1左邊化為完全平方式右邊合并即可得到結(jié)果．【詳解】解：x2-2x=2x2-2x+1=2+1即（x-1）2=3．故選：C．【點睛】本題考查了解一元二次方程-配方法熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關(guān)鍵．2．（2022·吉林省第二實驗學(xué)校模擬預(yù)測）方程的根的情況是（

）A．有兩個相等的實數(shù)根． B．只有一個實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．有兩個不相等的實數(shù)根【答案】A【解析】【分析】把a=1b=-8c=16代入Δ=b2-4ac進行計算然后根據(jù)計算結(jié)果判斷方程根的情況．【詳解】解：∵a=1b=-8c=16∴Δ=b2-4ac=（-8）2-4×1×16=0所以方程有兩個相等的實數(shù)根．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0abc為常數(shù)）的根的判別式Δ=b2-4ac．當Δ＞0時方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ=0時方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時方程沒有實數(shù)根．3．（2022·河南·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)九年級期中）若關(guān)于x的方程有實數(shù)根則m的值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)方程有實數(shù)根利用根的判別式然后解關(guān)于的不等式即可求出的范圍再根據(jù)選項判斷即可．【詳解】解：∵關(guān)于的方程有實數(shù)根∴∴或選項中只有3滿足條件故選：D．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當時方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時方程有兩個相等的實數(shù)根；當時方程沒有實數(shù)根．4．（2022·全國·九年級）如果二次三項式x2＋px＋q能分解成（x＋3）（x﹣1）的形式則方程x2＋px＋q＝0的兩個根為（

）A．x1＝﹣3x2＝1 B．x1＝﹣3；x2＝﹣1 C．x1＝3；x2＝﹣1 D．x1＝3；x2＝1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知分解因式和方程得出x＋3＝0x?1＝0求出方程的解即可．【詳解】解：∵二次三項式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式∴x+3＝0x﹣1＝0解得：x1＝﹣3x2＝1即方程x2+px+q＝0的兩個根為x1＝﹣3x2＝1故選：A．【點睛】本題考查了解分解因式法解一元二次方程能根據(jù)題意得出x+3＝0和x﹣1＝0是解此題的關(guān)鍵．5．（2022·河北張家口·一模）于實數(shù)ab先定義一種新運算“★”如下：a★b=若則實數(shù)m等于（

）A．6 B．2 C．2或 D．2或或6【答案】B【解析】【分析】分兩種情況討論：當m≤1時當m＞1時再分別根據(jù)新定義列出方程再解方程即可．【詳解】解：當m≤1時則1★m=m+2=8解得：m=6故無解；當m＞1時則1★m=m2+2m=8解得：m1=2m2=-4∴m=2綜上m=2故選：B．【點睛】本題考查新定義一元二次方程解法理解新定義列出方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·云南·中考真題）方程2x2+1=3x的解為________．【答案】【解析】【分析】先移項再利用因式分解法解答即可求解．【詳解】解：移項得：∴∴或解得：故答案為：．【點睛】此題主要考查了解一元二次方程熟練掌握一元二次方程的解法并靈活選用合適的方法解答是解題的關(guān)鍵．7．（2022·遼寧丹東·九年級期末）將方程配方成的形式為______．【答案】【解析】【分析】先將-9移到等號右邊變成然后等號左右兩邊同時除以2得到最后等號左右兩邊同時加上1再把左邊變成完全平方的形式即可．【詳解】解：

故答案為：【點睛】本題考查了一元二次方程的配方掌握如何配方是解題關(guān)鍵．8．（2022·吉林白山·二模）若關(guān)于x的一元二次方程無實數(shù)根則c的取值范圍是____________．【答案】【解析】【分析】因為無實數(shù)根即無實數(shù)根根據(jù)根的判別式求出c的取值范圍即可．【詳解】∵無實數(shù)根∴無實數(shù)根∴解得∴當時方程無實數(shù)根故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程根的情況根據(jù)根的判別式判斷一元二次方程的根的情況方程有兩個不相等的實數(shù)根方程有兩個不相等的實數(shù)根方程有兩個不相等的實數(shù)根正確找到abc的值是解答本題的關(guān)鍵．9．（2022·新疆·烏魯木齊八一中學(xué)九年級期中）已知關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根則的取值范圍為___________．【答案】且【解析】【分析】根據(jù)當時方程有兩個實數(shù)根求解不等式得到答案．【詳解】∵當時方程有兩個實數(shù)根∴∴∴且故答案為：且．【點睛】本題考查一元二次方程組的性質(zhì)解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程組的相關(guān)知識．10．（2022·浙江臺州·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程（abc為常數(shù)且）此方程的解為．則關(guān)于x的一元二次方程的解為______．【答案】或##或【解析】【分析】將和分別代入可求得之間的等量關(guān)系代入一元二次方程即可消去參數(shù)從而解一元二次方程即可．【詳解】解：一元二次方程的解為解得一元二次方程可化為解得．一元二次方程的解為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了一元二次方程的解解一元二次方程解決本題的關(guān)鍵是利用一元二次方程的解求得之間的等量關(guān)系從而代入求解．三、解答題11．（2022·全國·九年級）解方程．(1)(2)(3)（(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】（1）根據(jù)直接開平方法解一元二次方程；（2）根據(jù)公式法解一元二次方程；（3）根據(jù)因式分解法解一元二次方程；（4）根據(jù)因式分解法解一元二次方程．(1)解：3x+2=±5解得；(2)3x2-4x-1=0△=（-4）2-4×3×（-1）=28所以；(3)（2x+1）2-3（2x+1）=0（2x+1）（2x+1-3）=02x+1=0或2x+1-3=0解得；(4)（x-2）（x-5）=0x-2=0或x-5=0解得x1=2x2=5．【點睛】本題考查了解一元二次方程掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．12．（2022·全國·九年級）按指定的方法解下列方程：(1)x2﹣6x﹣7＝0（配方法）(2)2x﹣6＝（x﹣3）2（因式分解法）(3)3x2﹣4x＋1＝0（公式法）(4)5（x＋1）2＝10（直接開平方法）【答案】(1)x1＝7x2＝﹣1(2)x1＝3x2＝5(3)x1＝1x2(4)【解析】(1)x2﹣6x﹣7=0解：移項得：x2﹣6x=7配方得：x2﹣6x+9=7+9（x﹣3）2=16開方得：x﹣3=±4解得：x1=7x2=﹣1；(2)2x﹣6=（x﹣3）2解：移項得：（x﹣3）2﹣2（x﹣3）=0提公因式得：（x﹣3）（x﹣3﹣2）=0由此得：x﹣3=0或x﹣5=0解得：x1=3x2=5；(3)（3）3x2﹣4x+1=0解：方程有兩個不相等的實根解得：x1=1x2=；(4)5（x+1）2=10解：（x+1）2=2解得：．【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法掌握直接開平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．13．（2022·湖南永州·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?(k+1)x+2k?3=0．(1)當k=3時求一元二次方程x2?(k+1)x+2k?3=0的解；(2)求證：無論k為何實數(shù)方程總有兩個不相等的實數(shù)根．【答案】(1)x1=3x2=1；(2)見解析【解析】【分析】（1）用因式分解法可求出答案；（2）根據(jù)根的判別式公式得到Δ＞0即可得到答案．(1)解：當k=3時原方程變?yōu)閤2-4x+3=0∴(x-3)(x-1)=0∴x1=3x2=1；(2)證明：∵Δ=(k+1)2-4×(2k?3)=k2+2k+1-8k+12=k2-6k+11=(k-3)2+2＞0∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根；【點睛】本題考查了根的判別式解一元二次方程-因式分解法正確掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．14．（2022·江蘇·蘇州市吳中區(qū)城西中學(xué)八年級期中）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；(2)若的兩邊的長是這個方程