【重點(diǎn)突圍】2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練（人教版） 二次函數(shù)的定義(解析版)

二次函數(shù)的定義考點(diǎn)一二次函數(shù)的識(shí)別考點(diǎn)二二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)考點(diǎn)三根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)考點(diǎn)四列二次函數(shù)關(guān)系式考點(diǎn)一二次函數(shù)的識(shí)別例題：（2022·江蘇·鹽城市初級(jí)中學(xué)一模）下列函數(shù)中為二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】直接利用二次函數(shù)的定義進(jìn)而分析得出答案．【詳解】解：A、是一次函數(shù)故此選項(xiàng)不符合題意；B、是二次函數(shù)故此選項(xiàng)符合題意；C、不是二次函數(shù)故此選項(xiàng)不符合題意；D、未知數(shù)的最高次為3不是二次函數(shù)故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義；熟練掌握二次函數(shù)解析式的一般形式()是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2020·陜西·西安市大明宮中學(xué)三模）觀察：①；②；③；④；⑤；⑥．這六個(gè)式子中二次函數(shù)有（

）個(gè)．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】①是二次函數(shù)；②是二次函數(shù)；③是二次函數(shù)；④不是二次函數(shù)；⑤不是二次函數(shù)；⑥不是二次函數(shù)；這六個(gè)式子中二次函數(shù)有①②③故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義即一般地形如（abc是常數(shù)）的函數(shù)叫做二次函數(shù)．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)①；②；③；④；⑤．其中是二次函數(shù)的是____________．【答案】②④##④②【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義函數(shù)式為整式且自變量的最高次數(shù)為2二次項(xiàng)系數(shù)不為0逐一判斷．【詳解】解：①y=5x-5為一次函數(shù)；②y=3x2-1為二次函數(shù)；③y=4x3-3x2自變量次數(shù)為3不是二次函數(shù)；④y=2x2-2x+1為二次函數(shù)；⑤y=函數(shù)式為分式不是二次函數(shù)．故答案為②④．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義熟記定義“函數(shù)式為整式且自變量的最高次數(shù)為2二次項(xiàng)系數(shù)不為0”是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)二二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)例題：（2022·福建省福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期末）二次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)是（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量a、b、c是常量a是二次項(xiàng)系數(shù)b是一次項(xiàng)系數(shù)c是常數(shù)項(xiàng)作答．【詳解】解：二次函數(shù)y=x2－2x+3的一次項(xiàng)系數(shù)是－2；故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的定義關(guān)鍵是注意在找二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)時(shí)不要漏掉符號(hào)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·九年級(jí)）設(shè)abc分別是二次函數(shù)y＝﹣x2＋3的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)則（

）A．a(chǎn)＝﹣1b＝3c＝0 B．a(chǎn)＝﹣1b＝0c＝3C．a(chǎn)＝﹣1b＝3c＝3 D．a(chǎn)＝1b＝0c＝3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的一般形式可得答案．【詳解】解：二次函數(shù)y＝﹣x2+3的二次項(xiàng)系數(shù)是a＝﹣1一次項(xiàng)系數(shù)是b＝0常數(shù)項(xiàng)是c＝3；故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的一般形式關(guān)鍵是注意在找二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)時(shí)不要漏掉符號(hào)．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)）已知二次函數(shù)y＝1﹣5x＋3x2則二次項(xiàng)系數(shù)a＝___一次項(xiàng)系數(shù)b＝___常數(shù)項(xiàng)c＝___．【答案】

3

-5

1【解析】【分析】形如：這樣的函數(shù)是二次函數(shù)其中二次項(xiàng)系數(shù)為一次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)項(xiàng)為根據(jù)定義逐一作答即可．【詳解】解：二次函數(shù)y＝1﹣5x+3x2則二次項(xiàng)系數(shù)a＝3一次項(xiàng)系數(shù)b＝﹣5常數(shù)項(xiàng)c＝1故答案為：3﹣51．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義熟記二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)三根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)例題：（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知y＝+2x﹣3是二次函數(shù)式則m的值為_(kāi)____．【答案】-1【解析】【分析】若y＝+2x﹣3是二次函數(shù)式則二次項(xiàng)系數(shù)不等于零可得答案；【詳解】解：由題意得：解得：m=-1故答案為：-1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義理解二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·黑龍江·塔河縣第一中學(xué)校九年級(jí)期中）已知是關(guān)于的二次函數(shù)那么的值____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義中未知數(shù)x的指數(shù)為2系數(shù)不為0列式計(jì)算即可．【詳解】解：∵是關(guān)于的二次函數(shù)∴且∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的定義熟練掌握形如y=ax2+bx+c（abc是常數(shù)且a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·廣東廣州·九年級(jí)期中）關(guān)于的函數(shù)是二次函數(shù)則的值為_(kāi)_________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)求出m的值即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵是關(guān)于x的二次函數(shù)∴m2-m=2m+1≠0解得：m=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義及解一元二次方程；牢固掌握定義和方程的解法是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四列二次函數(shù)關(guān)系式例題：（2022·上海市青浦區(qū)教育局二模）為防治新冠病毒某醫(yī)藥公司一月份的產(chǎn)值為1億元若每月平均增長(zhǎng)率為第一季度的總產(chǎn)值為（億元）則關(guān)于的函數(shù)解析式為_(kāi)_______________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意分別求得每個(gè)月的產(chǎn)值然后相加即可求解．【詳解】解：∵某醫(yī)藥公司一月份的產(chǎn)值為1億元若每月平均增長(zhǎng)率為∴二月份的為三月份的為第一季度的總產(chǎn)值為（億元）則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·山東濱州·九年級(jí)期中）某商店從廠家以每件元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品該商店可以自行定價(jià)若每件商品的售價(jià)為元?jiǎng)t可賣出件那么賣出商品所賺錢元與售價(jià)元之間的函數(shù)關(guān)系為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】由題意分析出每件商品的盈利為：元再根據(jù)：總利潤(rùn)等于每件商品的利潤(rùn)乘以銷售的數(shù)量再化簡(jiǎn)即可.【詳解】解：由題意得：每件商品的盈利為：元所以：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是列二次函數(shù)關(guān)系式掌握“總利潤(rùn)等于每件商品的利潤(rùn)乘以銷售的數(shù)量”是解題的關(guān)鍵.2．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·三模）如圖和是邊長(zhǎng)分別為5和2的等邊三角形點(diǎn)、、、都在直線上固定不動(dòng)將在直線上自左向右平移．開(kāi)始時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到與點(diǎn)重合時(shí)停止．設(shè)移動(dòng)的距離為兩個(gè)三角形重疊部分的面積為請(qǐng)寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系式_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程可分三種情況討論：當(dāng)時(shí)兩個(gè)三角形重疊部分為的面積當(dāng)時(shí)兩個(gè)三角形重疊部分為的面積當(dāng)時(shí)兩個(gè)三角形重疊部分為的面積分別求解即可．【詳解】當(dāng)時(shí)如圖1所示兩個(gè)三角形重疊部分為的面積由題意得和是邊長(zhǎng)分別為5和2的等邊三角形是邊長(zhǎng)x的等邊三角形過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E即；當(dāng)時(shí)如圖2所示兩個(gè)三角形重疊部分為的面積由題意得過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)E即；當(dāng)時(shí)如圖3所示兩個(gè)三角形重疊部分為的面積由題意得和是邊長(zhǎng)分別為5和2的等邊三角形是等邊三角形且過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E即；綜上寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系式為．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)列二次函數(shù)解析式勾股定理平移與三角形面積問(wèn)題熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并能夠分類討論是解題的關(guān)鍵．一、選擇題1．（2022·廣西賀州·九年級(jí)期末）下列函數(shù)表達(dá)式中一定為二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地形如、、是常數(shù)的函數(shù)叫做二次函數(shù)進(jìn)行分析．【詳解】解：A、是一次函數(shù)故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、當(dāng)時(shí)是二次函數(shù)故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、是二次函數(shù)故此選項(xiàng)正確；D、含有分式不是二次函數(shù)故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)定義解題的關(guān)鍵是掌握判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)首先是要看它的右邊是否為整式若是整式且仍能化簡(jiǎn)的要先將其化簡(jiǎn)然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)關(guān)鍵條件．2．（2022·廣西·靖西市教學(xué)研究室九年級(jí)期中）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函數(shù)則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≠2 B．a(chǎn)＞0 C．a(chǎn)＞2 D．a(chǎn)≠0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不為0可得關(guān)于a的不等式解不等式即得答案．【詳解】解：由題意得：則．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義屬于基礎(chǔ)題型掌握二次函數(shù)的概念是關(guān)鍵．3．（2020·廣東·惠州市惠陽(yáng)區(qū)第一中學(xué)九年級(jí)期中）已知函數(shù)是二次函數(shù)則m的值為（）A．±2 B．2 C．-2 D．m為全體實(shí)數(shù)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義列式求解即可．【詳解】解：∵函數(shù)是二次函數(shù)∴m-2≠0解得：m=-2．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)定義掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)．4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)）下列實(shí)際問(wèn)題中的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式是二次函數(shù)的是（

）A．正方體集裝箱的體積ym3棱長(zhǎng)xmB．高為14m的圓柱形儲(chǔ)油罐的體積ym3底面圓半徑xmC．?huà)寢屬I烤鴨花費(fèi)86元烤鴨的重量y斤單價(jià)為x元/斤D．小莉駕車以108km/h的速度從南京出發(fā)到上海行駛xh距上海ykm【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A．正方體集裝箱的體積ym3棱長(zhǎng)xm則y=x3故不是二次函數(shù)；B．高為14m的圓柱形儲(chǔ)油罐的體積ym3底面圓半徑xm則y=14πx2故是二次函數(shù)；C．?huà)寢屬I烤鴨花費(fèi)86元烤鴨的重量y斤單價(jià)為x元/斤則故不是二次函數(shù)；D．小莉駕車以108km/h的速度從南京出發(fā)到上海行駛xh距上海ykm則y＝南京與上海之間的距離-108x故不是二次函數(shù)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義解答本題的關(guān)鍵是明確題意寫(xiě)出相應(yīng)的函數(shù)解析式利用二次函數(shù)的定義去判斷．5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若拋物線是關(guān)于x的二次函數(shù)那么m的值是（

）A．3 B． C．2 D．2或3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義列方程計(jì)算即可；【詳解】∵是關(guān)于x的二次函數(shù)∴且∴且∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義、一元二次方程的求解準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．6．（2022·全國(guó)·九年級(jí)）以x為自變量的函數(shù)：①；②；③；④．是二次函數(shù)的有（

）A．②③ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義進(jìn)行判斷．【詳解】解：①符合二次函數(shù)的定義故①是二次函數(shù)；②符合二次函數(shù)的定義故②是二次函數(shù)；③符合二次函數(shù)的定義故②是二次函數(shù)；④不符合二次函數(shù)的定義故④不是二次函數(shù)．所以是二次函數(shù)的有①②③故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次二次函數(shù)的定義熟記概念是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2022·全國(guó)·九年級(jí)）二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)是________．【答案】2【解析】【分析】首先把二次函數(shù)化為一般形式再進(jìn)一步求得二次項(xiàng)系數(shù)．【詳解】解：y=2x（x-1）=2x2-2x．所以二次項(xiàng)系數(shù)2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義一般地形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量a、b、c是常量a是二次項(xiàng)系數(shù)b是一次項(xiàng)系數(shù)c是常數(shù)項(xiàng)．8．（2021·山東德州·九年級(jí)期中）若y＝（m﹣4）x|m|﹣2﹣2x﹣1是關(guān)于x的二次函數(shù)則m＝___．【答案】﹣4【解析】【分析】直接利用二次函數(shù)的定義進(jìn)而分析得出答案．【詳解】解：∵y＝（m﹣4）x|m|﹣2﹣2x﹣1是關(guān)于x的二次函數(shù)∴|m|﹣2＝2m﹣4≠0解得：m＝﹣4．故答案為：﹣4．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義．二次函數(shù)的定義：一般地形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量a、b、c是常量a是二次項(xiàng)系數(shù)b是一次項(xiàng)系數(shù)c是常數(shù)項(xiàng)．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．9．（2022·山東菏澤·九年級(jí)期末）已知是y關(guān)于x的二次函數(shù)那么m的值為_(kāi)________．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義即可求解．【詳解】∵是y關(guān)于x的二次函數(shù)∴且解得：．故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義熟練掌握形如（abc是常數(shù)且）的函數(shù)叫做二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．（2021·云南·大理市民族中學(xué)九年級(jí)期中）在二次函數(shù)中二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的和為_(kāi)____．【答案】0【解析】【分析】分別得出二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)相加即可；【詳解】∵∴二次項(xiàng)系數(shù)為一次項(xiàng)系數(shù)為0常數(shù)項(xiàng)為1∴；故答案是0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)一般式的認(rèn)識(shí)準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．11．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）下列函數(shù)一定是二次函數(shù)的是__________．①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2【答案】③【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地,把形如y=ax2+bx+c(a≠0)(a、b、c是常數(shù))的函數(shù)叫做二次函數(shù)據(jù)此判斷即可．【詳解】解：①必須滿足a≠0才為二次函數(shù)故①不一定是二次函數(shù)；②等號(hào)右邊為分式故②不是二次函數(shù)；③是二次函數(shù)故③是二次函數(shù)；④時(shí)該式不是二次函數(shù)；⑤該式不是二次函數(shù)；故答案為：③．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的識(shí)別熟知二次函數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵．12．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖在長(zhǎng)方形中點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)點(diǎn)沿線段運(yùn)動(dòng)點(diǎn)沿線段運(yùn)動(dòng)（其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)）．若設(shè)陰影部分的面積為則與之間的關(guān)系式為_(kāi)_____．【答案】y=-+48【解析】【分析】先求出進(jìn)而即可得到答案．【詳解】由題意得：∴陰影部分的面積=6×8-即：y=-+48．故答案是：y=-+48．【點(diǎn)睛】本題主要考查列二次函數(shù)解析式解題的關(guān)鍵是掌握割補(bǔ)法求面積．三、解答題13．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)．（1）若這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)求的值（2）若這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的定義即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)二次函數(shù)的定義即可解決問(wèn)題；【詳解】解：（1）由題意得解得；（2）由題意得解得且．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的定義、二次函數(shù)的定義解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本概念（1）根據(jù)二次項(xiàng)的系數(shù)等于零一次項(xiàng)的系數(shù)不等于零；（2）根據(jù)二次項(xiàng)的系數(shù)不等于零可得方程根據(jù)解方程可得答案．14．（2021·安徽合肥·九年級(jí)階段練習(xí)）已知函數(shù)y=（m2-2）x2+（m+）x+8．（1）若這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)求m的值；（2）若這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)求m的取值范圍.【答案】（1）；（2）且．【解析】【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的定義知：二次項(xiàng)的系數(shù)等于零一次項(xiàng)的系數(shù)不等于零即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)二次函數(shù)的定義知：二次項(xiàng)的系數(shù)不等于零可得方程根據(jù)解方程可得答案即可解決問(wèn)題；【詳解】（1）由題意得解得m=；（2）由題意得m2-2≠0解得m≠且m≠-.【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的定義、二次函數(shù)的定義解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本概念．15．（2021·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某工廠計(jì)劃為一批長(zhǎng)方體形狀的產(chǎn)品表面涂上油漆長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬相等高比長(zhǎng)多．（1）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬用表示長(zhǎng)方體的表面積的表達(dá)式是什么？（2）如果涂漆每平方米所需要的費(fèi)用是5元油漆每個(gè)長(zhǎng)方體所需費(fèi)用用y（元）表示那么y的表達(dá)式是什么？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）長(zhǎng)方體有6個(gè)面然后根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式即可得到再去括號(hào)整理即可；（2）把（1）中的除以5即可得到