【重點突圍】2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊重難點專題提優(yōu)訓(xùn)練（人教版） 二次函數(shù)的定義(解析版)

二次函數(shù)的定義考點一二次函數(shù)的識別考點二二次函數(shù)的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項考點三根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)考點四列二次函數(shù)關(guān)系式考點一二次函數(shù)的識別例題：（2022·江蘇·鹽城市初級中學(xué)一模）下列函數(shù)中為二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】直接利用二次函數(shù)的定義進而分析得出答案．【詳解】解：A、是一次函數(shù)故此選項不符合題意；B、是二次函數(shù)故此選項符合題意；C、不是二次函數(shù)故此選項不符合題意；D、未知數(shù)的最高次為3不是二次函數(shù)故此選項錯誤．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義；熟練掌握二次函數(shù)解析式的一般形式()是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2020·陜西·西安市大明宮中學(xué)三模）觀察：①；②；③；④；⑤；⑥．這六個式子中二次函數(shù)有（

）個．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】①是二次函數(shù)；②是二次函數(shù)；③是二次函數(shù)；④不是二次函數(shù)；⑤不是二次函數(shù)；⑥不是二次函數(shù)；這六個式子中二次函數(shù)有①②③故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的定義即一般地形如（abc是常數(shù)）的函數(shù)叫做二次函數(shù)．2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）下列函數(shù)①；②；③；④；⑤．其中是二次函數(shù)的是____________．【答案】②④##④②【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義函數(shù)式為整式且自變量的最高次數(shù)為2二次項系數(shù)不為0逐一判斷．【詳解】解：①y=5x-5為一次函數(shù)；②y=3x2-1為二次函數(shù)；③y=4x3-3x2自變量次數(shù)為3不是二次函數(shù)；④y=2x2-2x+1為二次函數(shù)；⑤y=函數(shù)式為分式不是二次函數(shù)．故答案為②④．【點睛】本題考查二次函數(shù)的定義熟記定義“函數(shù)式為整式且自變量的最高次數(shù)為2二次項系數(shù)不為0”是解題關(guān)鍵．考點二二次函數(shù)的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項例題：（2022·福建省福州外國語學(xué)校八年級期末）二次函數(shù)的一次項系數(shù)是（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量a、b、c是常量a是二次項系數(shù)b是一次項系數(shù)c是常數(shù)項作答．【詳解】解：二次函數(shù)y=x2－2x+3的一次項系數(shù)是－2；故選：C．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的定義關(guān)鍵是注意在找二次項系數(shù)一次項系數(shù)和常數(shù)項時不要漏掉符號．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·九年級）設(shè)abc分別是二次函數(shù)y＝﹣x2＋3的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項則（

）A．a(chǎn)＝﹣1b＝3c＝0 B．a(chǎn)＝﹣1b＝0c＝3C．a(chǎn)＝﹣1b＝3c＝3 D．a(chǎn)＝1b＝0c＝3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的一般形式可得答案．【詳解】解：二次函數(shù)y＝﹣x2+3的二次項系數(shù)是a＝﹣1一次項系數(shù)是b＝0常數(shù)項是c＝3；故選：B．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的一般形式關(guān)鍵是注意在找二次項系數(shù)一次項系數(shù)和常數(shù)項時不要漏掉符號．2．（2022·全國·九年級）已知二次函數(shù)y＝1﹣5x＋3x2則二次項系數(shù)a＝___一次項系數(shù)b＝___常數(shù)項c＝___．【答案】

3

-5

1【解析】【分析】形如：這樣的函數(shù)是二次函數(shù)其中二次項系數(shù)為一次項系數(shù)為常數(shù)項為根據(jù)定義逐一作答即可．【詳解】解：二次函數(shù)y＝1﹣5x+3x2則二次項系數(shù)a＝3一次項系數(shù)b＝﹣5常數(shù)項c＝1故答案為：3﹣51．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義熟記二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．考點三根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)例題：（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知y＝+2x﹣3是二次函數(shù)式則m的值為_____．【答案】-1【解析】【分析】若y＝+2x﹣3是二次函數(shù)式則二次項系數(shù)不等于零可得答案；【詳解】解：由題意得：解得：m=-1故答案為：-1．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義理解二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·黑龍江·塔河縣第一中學(xué)校九年級期中）已知是關(guān)于的二次函數(shù)那么的值____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義中未知數(shù)x的指數(shù)為2系數(shù)不為0列式計算即可．【詳解】解：∵是關(guān)于的二次函數(shù)∴且∴．故答案為：．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的定義熟練掌握形如y=ax2+bx+c（abc是常數(shù)且a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·廣東廣州·九年級期中）關(guān)于的函數(shù)是二次函數(shù)則的值為__________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)求出m的值即可解決問題．【詳解】解：∵是關(guān)于x的二次函數(shù)∴m2-m=2m+1≠0解得：m=2．故答案為：2．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義及解一元二次方程；牢固掌握定義和方程的解法是解題的關(guān)鍵．考點四列二次函數(shù)關(guān)系式例題：（2022·上海市青浦區(qū)教育局二模）為防治新冠病毒某醫(yī)藥公司一月份的產(chǎn)值為1億元若每月平均增長率為第一季度的總產(chǎn)值為（億元）則關(guān)于的函數(shù)解析式為________________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意分別求得每個月的產(chǎn)值然后相加即可求解．【詳解】解：∵某醫(yī)藥公司一月份的產(chǎn)值為1億元若每月平均增長率為∴二月份的為三月份的為第一季度的總產(chǎn)值為（億元）則故答案為：【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·山東濱州·九年級期中）某商店從廠家以每件元的價格購進一批商品該商店可以自行定價若每件商品的售價為元則可賣出件那么賣出商品所賺錢元與售價元之間的函數(shù)關(guān)系為________．【答案】【解析】【分析】由題意分析出每件商品的盈利為：元再根據(jù)：總利潤等于每件商品的利潤乘以銷售的數(shù)量再化簡即可.【詳解】解：由題意得：每件商品的盈利為：元所以：故答案為：【點睛】本題考查的是列二次函數(shù)關(guān)系式掌握“總利潤等于每件商品的利潤乘以銷售的數(shù)量”是解題的關(guān)鍵.2．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·三模）如圖和是邊長分別為5和2的等邊三角形點、、、都在直線上固定不動將在直線上自左向右平移．開始時點與點重合當點移動到與點重合時停止．設(shè)移動的距離為兩個三角形重疊部分的面積為請寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)運動過程可分三種情況討論：當時兩個三角形重疊部分為的面積當時兩個三角形重疊部分為的面積當時兩個三角形重疊部分為的面積分別求解即可．【詳解】當時如圖1所示兩個三角形重疊部分為的面積由題意得和是邊長分別為5和2的等邊三角形是邊長x的等邊三角形過點D作DE⊥BC于點E即；當時如圖2所示兩個三角形重疊部分為的面積由題意得過點作于點E即；當時如圖3所示兩個三角形重疊部分為的面積由題意得和是邊長分別為5和2的等邊三角形是等邊三角形且過點D作DE⊥BC于點E即；綜上寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式為．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)列二次函數(shù)解析式勾股定理平移與三角形面積問題熟練掌握知識點并能夠分類討論是解題的關(guān)鍵．一、選擇題1．（2022·廣西賀州·九年級期末）下列函數(shù)表達式中一定為二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地形如、、是常數(shù)的函數(shù)叫做二次函數(shù)進行分析．【詳解】解：A、是一次函數(shù)故此選項錯誤；B、當時是二次函數(shù)故此選項錯誤；C、是二次函數(shù)故此選項正確；D、含有分式不是二次函數(shù)故此選項錯誤；故選：C．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)定義解題的關(guān)鍵是掌握判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)首先是要看它的右邊是否為整式若是整式且仍能化簡的要先將其化簡然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷要抓住二次項系數(shù)不為0這個關(guān)鍵條件．2．（2022·廣西·靖西市教學(xué)研究室九年級期中）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函數(shù)則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≠2 B．a(chǎn)＞0 C．a(chǎn)＞2 D．a(chǎn)≠0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的二次項系數(shù)不為0可得關(guān)于a的不等式解不等式即得答案．【詳解】解：由題意得：則．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義屬于基礎(chǔ)題型掌握二次函數(shù)的概念是關(guān)鍵．3．（2020·廣東·惠州市惠陽區(qū)第一中學(xué)九年級期中）已知函數(shù)是二次函數(shù)則m的值為（）A．±2 B．2 C．-2 D．m為全體實數(shù)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義列式求解即可．【詳解】解：∵函數(shù)是二次函數(shù)∴m-2≠0解得：m=-2．故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)定義掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)．4．（2022·全國·九年級）下列實際問題中的y與x之間的函數(shù)表達式是二次函數(shù)的是（

）A．正方體集裝箱的體積ym3棱長xmB．高為14m的圓柱形儲油罐的體積ym3底面圓半徑xmC．媽媽買烤鴨花費86元烤鴨的重量y斤單價為x元/斤D．小莉駕車以108km/h的速度從南京出發(fā)到上海行駛xh距上海ykm【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義逐項判斷即可．【詳解】解：A．正方體集裝箱的體積ym3棱長xm則y=x3故不是二次函數(shù)；B．高為14m的圓柱形儲油罐的體積ym3底面圓半徑xm則y=14πx2故是二次函數(shù)；C．媽媽買烤鴨花費86元烤鴨的重量y斤單價為x元/斤則故不是二次函數(shù)；D．小莉駕車以108km/h的速度從南京出發(fā)到上海行駛xh距上海ykm則y＝南京與上海之間的距離-108x故不是二次函數(shù)．故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的定義解答本題的關(guān)鍵是明確題意寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式利用二次函數(shù)的定義去判斷．5．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）若拋物線是關(guān)于x的二次函數(shù)那么m的值是（

）A．3 B． C．2 D．2或3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義列方程計算即可；【詳解】∵是關(guān)于x的二次函數(shù)∴且∴且∴；故選C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義、一元二次方程的求解準確計算是解題的關(guān)鍵．6．（2022·全國·九年級）以x為自變量的函數(shù)：①；②；③；④．是二次函數(shù)的有（

）A．②③ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義進行判斷．【詳解】解：①符合二次函數(shù)的定義故①是二次函數(shù)；②符合二次函數(shù)的定義故②是二次函數(shù)；③符合二次函數(shù)的定義故②是二次函數(shù)；④不符合二次函數(shù)的定義故④不是二次函數(shù)．所以是二次函數(shù)的有①②③故選：C．【點睛】本題考查了二次二次函數(shù)的定義熟記概念是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2022·全國·九年級）二次函數(shù)的二次項系數(shù)是________．【答案】2【解析】【分析】首先把二次函數(shù)化為一般形式再進一步求得二次項系數(shù)．【詳解】解：y=2x（x-1）=2x2-2x．所以二次項系數(shù)2．故答案為：2．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義一般地形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量a、b、c是常量a是二次項系數(shù)b是一次項系數(shù)c是常數(shù)項．8．（2021·山東德州·九年級期中）若y＝（m﹣4）x|m|﹣2﹣2x﹣1是關(guān)于x的二次函數(shù)則m＝___．【答案】﹣4【解析】【分析】直接利用二次函數(shù)的定義進而分析得出答案．【詳解】解：∵y＝（m﹣4）x|m|﹣2﹣2x﹣1是關(guān)于x的二次函數(shù)∴|m|﹣2＝2m﹣4≠0解得：m＝﹣4．故答案為：﹣4．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義．二次函數(shù)的定義：一般地形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量a、b、c是常量a是二次項系數(shù)b是一次項系數(shù)c是常數(shù)項．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．9．（2022·山東菏澤·九年級期末）已知是y關(guān)于x的二次函數(shù)那么m的值為_________．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義即可求解．【詳解】∵是y關(guān)于x的二次函數(shù)∴且解得：．故答案為：4【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義熟練掌握形如（abc是常數(shù)且）的函數(shù)叫做二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．（2021·云南·大理市民族中學(xué)九年級期中）在二次函數(shù)中二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的和為_____．【答案】0【解析】【分析】分別得出二次項系數(shù)一次項系數(shù)和常數(shù)項相加即可；【詳解】∵∴二次項系數(shù)為一次項系數(shù)為0常數(shù)項為1∴；故答案是0．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)一般式的認識準確分析判斷是解題的關(guān)鍵．11．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）下列函數(shù)一定是二次函數(shù)的是__________．①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2【答案】③【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地,把形如y=ax2+bx+c(a≠0)(a、b、c是常數(shù))的函數(shù)叫做二次函數(shù)據(jù)此判斷即可．【詳解】解：①必須滿足a≠0才為二次函數(shù)故①不一定是二次函數(shù)；②等號右邊為分式故②不是二次函數(shù)；③是二次函數(shù)故③是二次函數(shù)；④時該式不是二次函數(shù)；⑤該式不是二次函數(shù)；故答案為：③．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的識別熟知二次函數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵．12．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖在長方形中點從點出發(fā)點沿線段運動點沿線段運動（其中一點停止運動另一點也隨之停止運動）．若設(shè)陰影部分的面積為則與之間的關(guān)系式為______．【答案】y=-+48【解析】【分析】先求出進而即可得到答案．【詳解】由題意得：∴陰影部分的面積=6×8-即：y=-+48．故答案是：y=-+48．【點睛】本題主要考查列二次函數(shù)解析式解題的關(guān)鍵是掌握割補法求面積．三、解答題13．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知函數(shù)．（1）若這個函數(shù)是一次函數(shù)求的值（2）若這個函數(shù)是二次函數(shù)求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的定義即可解決問題；（2）根據(jù)二次函數(shù)的定義即可解決問題；【詳解】解：（1）由題意得解得；（2）由題意得解得且．【點睛】本題考查一次函數(shù)的定義、二次函數(shù)的定義解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本概念（1）根據(jù)二次項的系數(shù)等于零一次項的系數(shù)不等于零；（2）根據(jù)二次項的系數(shù)不等于零可得方程根據(jù)解方程可得答案．14．（2021·安徽合肥·九年級階段練習(xí)）已知函數(shù)y=（m2-2）x2+（m+）x+8．（1）若這個函數(shù)是一次函數(shù)求m的值；（2）若這個函數(shù)是二次函數(shù)求m的取值范圍.【答案】（1）；（2）且．【解析】【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的定義知：二次項的系數(shù)等于零一次項的系數(shù)不等于零即可解決問題；（2）根據(jù)二次函數(shù)的定義知：二次項的系數(shù)不等于零可得方程根據(jù)解方程可得答案即可解決問題；【詳解】（1）由題意得解得m=；（2）由題意得m2-2≠0解得m≠且m≠-.【點睛】本題考查一次函數(shù)的定義、二次函數(shù)的定義解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本概念．15．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）某工廠計劃為一批長方體形狀的產(chǎn)品表面涂上油漆長方體的長和寬相等高比長多．（1）長方體的長和寬用表示長方體的表面積的表達式是什么？（2）如果涂漆每平方米所需要的費用是5元油漆每個長方體所需費用用y（元）表示那么y的表達式是什么？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）長方體有6個面然后根據(jù)長方形的面積公式即可得到再去括號整理即可；（2）把（1）中的除以5即可得到