材料力學(xué)-梁的彎曲問(wèn)題課件

第十五章梁的彎曲問(wèn)題第十五章梁的彎曲問(wèn)題15.1工程實(shí)際中的彎曲問(wèn)題

梁在垂直于其軸線的荷載作用下要變彎，其軸線由原來(lái)的直線變成曲線，這種變形叫做彎曲變形。產(chǎn)生彎曲變形的構(gòu)件稱為受彎構(gòu)件。AB一、平面彎曲的基本概念F2F1M15.1工程實(shí)際中的彎曲問(wèn)題梁在垂直于其軸線●工程實(shí)例

建筑工程中的各類(lèi)梁、火車(chē)軸、水壓作用下的水槽壁等?；疖?chē)軸廠房吊車(chē)梁●工程實(shí)例火車(chē)軸

平面彎曲：梁的軸線在變形后仍保持在同一平面(荷載作用面)內(nèi)，即梁的軸線成為一條平面曲線。(a)ABF2F1(c)●對(duì)稱（平面）彎曲(Planarbending)

對(duì)稱平面F2F1(b)平面彎曲：梁的軸線在變形后仍保持在同一平面(荷載作

梁的荷載和支座反力

一、梁的荷載

1集中力：作用在微小局部上的橫向力；

2集中力偶：作用在通過(guò)梁軸線的平面（或與該面平行的平面）內(nèi)的力偶。MeF梁的荷載和支座反力一、梁的荷載MeF3分布荷載：沿梁長(zhǎng)連續(xù)分布的橫向力。荷載集度：用q(x)表示

分布荷載的大小

均布荷載非均布荷載q(x)q(x)=C3分布荷載：沿梁長(zhǎng)連續(xù)分布的橫向力。荷載集度：用q(x)表二、梁的支座及支座反力●支座形式1固定鉸約束2可動(dòng)鉸約束3固定支座二、梁的支座及支座反力2可動(dòng)鉸約束3固定支座

●計(jì)算簡(jiǎn)圖確定梁的“計(jì)算簡(jiǎn)圖”包含：⑴以梁的軸線經(jīng)代替實(shí)際的梁；⑵以簡(jiǎn)化后的支座代替實(shí)際的支座；實(shí)際支承→理想支承⑶以簡(jiǎn)化后的荷載代替實(shí)際的荷載?！裼?jì)算簡(jiǎn)圖

三、梁的分類(lèi)

●按支座情況

⑴簡(jiǎn)支梁：一端固定鉸，一端可動(dòng)鉸⑵外伸梁：一端或兩端向外伸出的簡(jiǎn)支梁⑶懸臂梁：一端固定支座，另一端自由三、梁的分類(lèi)⑵外伸梁：一端或兩端向外伸出的簡(jiǎn)支梁⑶懸

●按支座反力的求解方法

⑴靜定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；ABAMAFAzFAxFAyFAxFB●按支座反力的求解方法ABAMAFAzFAxFAyFAx⑵超靜定梁：僅用平衡方程不能求出全部未知反力的梁。FF⑵超靜定梁：僅用平衡方程不能求出全部未知反力的梁。FF●按梁的橫截面⑴等截面梁：橫截面沿梁的長(zhǎng)度沒(méi)有變化；⑵變截面梁：橫截面沿梁的長(zhǎng)度有變化。汽車(chē)鋼板彈簧魚(yú)腹梁●按梁的橫截面汽車(chē)鋼板彈簧魚(yú)腹梁15.2

梁的內(nèi)力及其求法

一、求梁的內(nèi)力的方法——截面法●內(nèi)力的形式及名稱剪力彎矩N或kNN·m或kN·m11MFQFRAaAAFRAFRBlaF1F215.2梁的內(nèi)力及其求法一、求梁的內(nèi)力的方法——●內(nèi)力的求法BF1FRAF2FQM?MFQFRAaA●內(nèi)力的求法BF1FRAF2FQM?MFQFRAaA●內(nèi)力的正負(fù)號(hào)⑴剪力⑵彎矩MMMMFQFQ左上右下為正左下右上為負(fù)向上凹變形為正向上凸變形為負(fù)FQFQ●內(nèi)力的正負(fù)號(hào)⑴剪力⑵彎矩MMMMFQFQ左上右下為正

例1圖示簡(jiǎn)支梁受兩個(gè)集中力作用，已知F1=12kN，F(xiàn)2=10kN，試計(jì)算指定截面1-1、2-2的內(nèi)力。解：(1)求支座反力BAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m例1圖示簡(jiǎn)支梁受兩個(gè)集中力作用，已知F1=12k(2)求1-1截面上的內(nèi)力

FRAAFQ1M11mF10.5mBAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m(2)求1-1截面上的內(nèi)力FRAAFQ1M11mF10.5

(3)求2-2截面上的內(nèi)力

F2F1AM2FQ2FRABAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m(3)求2-2截面上的內(nèi)力F2F1AM2FQ2FRAB

結(jié)論：

1梁的任一橫截面上的剪力在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）所有豎向力（包括斜向外力的豎向分力、約束反力）的代數(shù)和；且截面左邊向上（右邊向下）的外力使截面產(chǎn)生正號(hào)的剪力。

2梁的任一橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）所有豎向力對(duì)該截面形心力矩的代數(shù)和（包括外力偶、約束反力偶）；且截面左邊順時(shí)針（右邊逆時(shí)針）的力矩使截面產(chǎn)生正號(hào)的彎矩。F2F1M2FQ2FRAMFQ結(jié)論：F2F1M2FQ2FRAMFQ

例2

試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論寫(xiě)出圖示梁1-1截面上的剪力和彎矩的表達(dá)式。qF1FRBlbcMeF2dαe11fMFQ例2試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論寫(xiě)出圖示梁1-1截面上的剪力和

例3求圖示簡(jiǎn)支梁1-1與2-2截面的剪力和彎矩。FRB解：(1)求支座反力FRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m例3求圖示簡(jiǎn)支梁1-1與2-2截面的剪力和彎矩。(2)求1-1截面的剪力FQ1、彎矩M1根據(jù)1-1截面左側(cè)的外力計(jì)算可得：根據(jù)1-1截面右側(cè)的外力計(jì)算可得可見(jiàn)計(jì)算結(jié)果完全相同。FRBFRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m(2)求1-1截面的剪力FQ1、彎矩M1根據(jù)1-1截面右側(cè)的

(3)求2-2截面的剪力FQ2、彎矩M2

根據(jù)2-2截面右側(cè)的外力計(jì)算可得：FRBFRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m(3)求2-2截面的剪力FQ2、彎矩M2FRBFR15.3

內(nèi)力圖──剪力圖和彎矩圖

為了形象地看到內(nèi)力的變化規(guī)律，通常將剪力、彎矩沿梁長(zhǎng)的變化情況用圖形表示出來(lái)，這種表示剪力和彎矩變化規(guī)律的圖形分別稱為剪力圖和彎矩圖。

具體作法是：剪力方程：彎矩方程：15.3內(nèi)力圖──剪力圖和彎矩圖為了形象地看到內(nèi)

例4求作圖示受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁的剪力圖和彎矩圖。解：(1)求支座反力(2)列出剪力方程和彎矩方程

取距左端為x處的任一截面，此截面的剪力和彎矩表達(dá)式分別為:xFRAFRBBqlA例4求作圖示受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁的剪力圖和彎矩(3)畫(huà)剪力圖、彎矩圖，標(biāo)出特征值FQ圖ql/2ql/2ql2/8M圖xFRAFRBBqlA(3)畫(huà)剪力圖、彎矩圖，標(biāo)出特征值FQ圖ql/2ql/2ql

例5簡(jiǎn)支梁受一集中力F=9ql和一集中力偶Me=ql2作用，試作出其剪力圖和彎矩圖。

分析：

1-1、2-2截面上的剪力

結(jié)論：當(dāng)梁中間受力較復(fù)雜時(shí)，剪力方程和彎矩方程不可能用一個(gè)統(tǒng)一的函數(shù)式來(lái)表達(dá)，必須分段

列出其表達(dá)式。

分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷載的起點(diǎn)和終點(diǎn)為界(分段點(diǎn)如何確定？)1122（?）3344BA(O)lCDFMel/3l/3例5簡(jiǎn)支梁受一集中力F=9ql和一集中力偶Me=

解：(1)求支座反力

(2)分三段AC、CD、DB列出剪力方程和彎矩方程

AC段FRAFRBBA(O)lCDFMel/3l/3解：(1)求支座反力(2)分三段AC、CD、CD段DB段

FRAFRBBA(O)lCDFMel/3l/3CD段DB段FRAFRBBA(O)lCDF(3)畫(huà)剪力圖、彎矩圖，標(biāo)出特征值

FQ圖M圖1122BA(O)CDFRAFRBlFMel/3l/3(3)畫(huà)剪力圖、彎矩圖，標(biāo)出特征值FQ圖M圖1122BA(

結(jié)論：

●當(dāng)梁上荷載有變化時(shí)，剪力方程和彎矩方程不可能用一個(gè)統(tǒng)一的函數(shù)式來(lái)表達(dá)，必須分段列出其表達(dá)式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷載的起點(diǎn)和終點(diǎn)為界?！窦袅D和彎矩圖一般是連續(xù)的

。在集中力作用處剪力圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值等于集中力的大小，方向與集中力的方向相同；在有集中力偶作用的地方彎矩圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值等于集中力偶的大小，方向?yàn)椤绊樝履嫔稀?。結(jié)論：15.4

彎矩、剪力、荷載集度之間的關(guān)系

一、彎矩、剪力、荷載集度之間的關(guān)系

BA(O)CDlFMel/3l/315.4彎矩、剪力、荷載集度之間的關(guān)系BA(O)CDlF

二、剪力圖、彎矩圖的規(guī)律q<0FQ直線段FQ=0>0<0>0>0<0<0=0>0MM二、剪力圖、彎矩圖的規(guī)律q<0FQ直線段FQ=0>★結(jié)論（規(guī)律）：

(2)當(dāng)梁的支承情況對(duì)稱，荷載反對(duì)稱時(shí)，則彎矩圖永為反對(duì)稱圖形，剪力圖永為對(duì)稱圖形。

(1)當(dāng)梁的支承情況對(duì)稱，荷載也對(duì)稱時(shí)，則彎矩圖永為對(duì)稱圖形，剪力圖永為反對(duì)稱圖形；FQ圖M圖CBAq/2EIlABCEIlq/2q/2★結(jié)論（規(guī)律）：(2)當(dāng)梁的支承情況對(duì)稱，荷

例7圖示左端外伸梁，外伸端A作用一集中力偶Me=qa2，BA段所受荷載的分布集度為q，試?yán)梦⒎株P(guān)系作梁的剪力圖、彎矩圖。解：(1)求支座反力三、畫(huà)剪力圖、彎矩圖的簡(jiǎn)便方法Bq3aAMeCaFRAFRB例7圖示左端外伸梁，外伸端A作用一集中力偶Me=(2)作剪力圖(3)作彎矩圖x7/6qa11/6qa=121/72qa2FQ圖M圖MeMmaxBq3aAMeCaFRAFRB(2)作剪力圖(3)作彎矩圖x7/6qa11/6qa=1212m2m2mFRA=5kNFRB=4kNP=3kNM1=2kNmM2=6kNmq=1kN/m2mBA++466683222FQ(kN)M(kNm)例8

作梁的內(nèi)力圖2m2m2mFRA=5kNFRB=4kNP=3kNM1=2k材料力學(xué)-梁的彎曲問(wèn)題課件材料力學(xué)-梁的彎曲問(wèn)題課件

結(jié)論：q、F、Me共同作用時(shí)產(chǎn)生的內(nèi)力等于q、F、Me分別單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的內(nèi)力之和。

因此，當(dāng)梁上有幾種（或幾個(gè)）荷載作用時(shí)，可以先分別計(jì)算每種（或每個(gè)）荷載單獨(dú)作用時(shí)的梁的反力和內(nèi)力，然后將這些分別計(jì)算所得的結(jié)果代數(shù)相加得梁的反力和內(nèi)力。這種方法稱為疊加法。15.5

疊加法作剪力圖和彎矩圖BqACMeDlbaF結(jié)論：q、F、Me共同作用時(shí)產(chǎn)生的內(nèi)力等于q、F、M

線彈性，位移可以疊加Δ1F1F1+F2ΔF2Δ2FΔOFΔOFΔOΔ2Δ1線彈性，位移可以疊加Δ1F1F1+F2ΔF2Δ2FΔOFFΔOFΔOFΔO

非線性彈性，位移不可以疊加F1Δ1F2Δ2F1+F2ΔΔ2FΔOFΔOFΔO非線性彈性，位移不可以疊加F1Δ1F疊加原理成立的前提條件：（1）小變形（2）材料滿足虎克定理（線性本構(gòu)關(guān)系）疊加原理成立的前提條件：當(dāng)變形為微小時(shí)，可采用變形前尺寸進(jìn)行計(jì)算。1、疊加原理：當(dāng)梁在各項(xiàng)荷載作用下某一橫截面上的彎矩等于各荷載單獨(dú)作用下同一橫截面上的彎矩的代數(shù)和。2、區(qū)段疊加法作彎矩圖：

設(shè)簡(jiǎn)支梁同時(shí)承受跨間荷載q與端部力矩MA、MB的作用。其彎矩圖可由簡(jiǎn)支梁受端部力矩作用下的直線彎矩圖與跨間荷載單獨(dú)作用下簡(jiǎn)支梁彎矩圖疊加得到。即：+MAMBM0++MAMBM0彎曲內(nèi)力BMAAqMBlB當(dāng)變形為微小時(shí)，可采用變形前尺寸進(jìn)行計(jì)算。1、疊加原理：當(dāng)梁1q(x)=0

結(jié)論:彎矩圖為一水平直線。FQM+lABMe1q(x)=0結(jié)論:彎矩圖為一水平直線。FQM+

結(jié)論:剪力圖為一水平直線，彎矩圖為斜率的絕對(duì)值等于FS一斜直線（＼）。lFABFQFMFl-結(jié)論:剪力圖為一水平直線，彎矩圖為斜率的絕對(duì)值等于FlFABFQF-MFl+

結(jié)論:剪力圖為一水平直線，彎矩圖為斜率的絕對(duì)值等于FS一斜直線（／）。lFABFQF-MFl+結(jié)論:剪力圖為一水平直線，彎

2q(x)>0

結(jié)論:剪力圖為斜率等于q的

一斜直線（／），彎矩圖為拋物線（開(kāi)口向下）。BqlAM圖FQ圖ql/2ql/22q(x)>0結(jié)論:剪力圖為斜率等于q的一

3q(x)<0

結(jié)論:剪力圖為斜率等于q的

一斜直線（＼），彎矩圖為拋物線（開(kāi)口向上）。qBlAxFQ圖ql/2ql/2ql2/8M圖3q(x)<0結(jié)論:剪力圖為斜率等于q的一斜

4集中力F作用處

結(jié)論:在集中力作用處剪力圖發(fā)生突變(彎矩不變)，突變的數(shù)值等于集中力的大小，方向與剪力的方向相同。1FQ圖M圖FRAFRBlFaAB4集中力F作用處結(jié)論:在集中力作用處剪力圖發(fā)生

5集中力偶Me作用處

結(jié)論:在有集中力偶作用的地方彎矩圖發(fā)生突變(剪力不變)，突變的數(shù)值等于集中力偶的大小，方向?yàn)椤绊樝履嫔稀薄?/p>

lMebxFQ圖M圖FRAFRB5集中力偶Me作用處結(jié)論:在有集中力偶作用的

例9

試判斷圖示各題的FQ、M圖是否正確，如有錯(cuò)請(qǐng)指出并加以改正。lFABMxFl-MeABlMx+Me例9試判斷圖示各題的FQ、M圖是否正確，如有錯(cuò)請(qǐng)3mAq=20kN/mBF=70kN1mCFQxMx++60kN50kN60kN.m3mAq=20kN/mBF=70kN1mCFQxMx++60

23.6kN.m144.2kN.mM+x36.4kNFQ+23.6kNx4m1mCDq=15kN/mA5.5mBMe=10kN.mFRA=36.4kNFRB=23.6kN23.6kN.m144.2kN.mM+x36.4kN

由圖可知，在梁的AC、DB兩段內(nèi)，各橫截面上既有剪力又有彎矩，這種彎曲稱為剪切彎曲(或橫力彎曲)。在梁的CD段內(nèi)，各橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力，這種彎曲稱為純彎曲。15.6梁橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算由圖可知，在梁的AC、DB兩段內(nèi)，各橫截面上既有剪力又有1、剪切彎曲內(nèi)力剪力Q切應(yīng)力t彎矩M正應(yīng)力σ2、純彎曲內(nèi)力：彎矩M正應(yīng)力σ由以上定義可得：1、剪切彎曲內(nèi)力剪力Q切應(yīng)力t彎矩M1.純彎曲實(shí)驗(yàn)

①橫向線(ab、cd）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動(dòng)（一）梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)縱向?qū)ΨQ面bdacabcdMM

②縱向線變?yōu)橥膱A弧曲線，且上縮下伸

③橫向線與縱向線變形后仍正交。④橫截面高度不變。純彎曲梁上正應(yīng)力的確定1.純彎曲實(shí)驗(yàn)①橫向線(ab、cd）變形后仍為直線，（2）縱向纖維間無(wú)擠壓、只受軸向拉伸和壓縮。

（1）平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，并垂直于變形后梁的軸線。中性層縱向?qū)ΨQ面中性軸（橫截面上只有正應(yīng)力）2.根據(jù)上述的表面變形現(xiàn)象，由表及里地推斷梁內(nèi)部的變形，作出如下的兩點(diǎn)假設(shè)：（2）縱向纖維間無(wú)擠壓、只受軸向拉伸和壓縮。（1）平面3.兩個(gè)概念①中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。②中性軸：中性層與橫截面的交線。中性層縱向?qū)ΨQ面中性軸3.兩個(gè)概念①中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，因而纖維M—橫截面上的彎矩y—所計(jì)算點(diǎn)到中性軸的距離Iz—截面對(duì)中性軸的慣性矩4.正應(yīng)力公式不僅適用于純彎曲，也適用于剪力彎曲；適用于所有截面。5.應(yīng)力正負(fù)號(hào)確定M為正時(shí),中性軸上部截面受壓下部截面受拉;M為負(fù)時(shí),中性軸上部截面受拉下部截面受壓.在拉區(qū)為正,壓區(qū)為負(fù)M—橫截面上的彎矩4.正應(yīng)力公式不僅適用于純彎曲，也適最大正應(yīng)力危險(xiǎn)截面:最大彎矩所在截面Mma危險(xiǎn)點(diǎn)：距中性軸最遠(yuǎn)邊緣點(diǎn)ymax

令

則一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對(duì)值最大的截面的上下邊緣上；5.最大正應(yīng)力最大正應(yīng)力危險(xiǎn)截面:最大彎矩所在截面Mma令則一般DdDd=abhdWz—抗彎截面模量DdDd=abhdWz—抗彎截面模量1、正應(yīng)力強(qiáng)度條件：

矩形和工字形截面梁正應(yīng)力

max=M/WzWz=Iz/(h/2)

特點(diǎn)：max+=max-

T形截面梁的正應(yīng)力

max+

=M/W1W1

=Iz/y1

max-

=M/W2W2

=Iz/y2

特點(diǎn)：

max+

max-

15.7梁的正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算1、正應(yīng)力強(qiáng)度條件：矩形和工字形截面梁正應(yīng)力T形截面梁的2、強(qiáng)度條件應(yīng)用：依此強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計(jì)算、校核強(qiáng)度：校核強(qiáng)度：設(shè)計(jì)截面尺寸：確定許可載荷：2、強(qiáng)度條件應(yīng)用：依此強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計(jì)算、校核強(qiáng)度：例10受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁如圖所示試求：（1）1—1截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力（2）此截面上的最大正應(yīng)力（3）全梁的最大正應(yīng)力（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半徑。Q=60kN/mAB1m2m11x+MM1Mmax12120180zy解：畫(huà)M圖求截面彎矩30例10受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁如圖所示試求：Q=60kN/mQ=60kN/mAB1m2m11M1Mmax12120zy求應(yīng)力18030x+MQ=60kN/mAB1m2m11M1Mmax12120zy求曲率半徑Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax1212018030x+M求曲率半徑Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax12y1y2GA1A2A3A4解：畫(huà)彎矩圖并求危面內(nèi)力例11T字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的[L]=30MPa，[y]=60MPa，其截面形心位于G點(diǎn)，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4，試校核此梁的強(qiáng)度。并說(shuō)明T字梁怎樣放置更合理？畫(huà)危面應(yīng)力分布圖，找危險(xiǎn)點(diǎn)P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx-4kNm2.5kNmMy1y2GA1A2A3A4解：畫(huà)彎矩圖并求危面內(nèi)力例11校核強(qiáng)度T字頭在上面合理。彎曲應(yīng)力y1y2GA1A2y1y2GA3A4A3A4x-4kNm2.5kNmM校核強(qiáng)度T字頭在上面合理。彎曲應(yīng)力y1y2GA1A2y1一、矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dx圖a圖bzs1xys2t1tb圖cSz*為面積A*對(duì)橫截面中性軸的靜矩.

15.8梁橫截面上的切應(yīng)力及強(qiáng)度一、矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力dxxQ(x)+dQ(x)zy式中:--所求切應(yīng)力面上的剪力.IZ--整個(gè)截面對(duì)中性軸的慣性矩.Sz*--過(guò)所求應(yīng)力點(diǎn)橫線以外部分面積對(duì)中性軸的靜矩.b--所求應(yīng)力點(diǎn)處截面寬度.yA*yc*zy式中:--所求切應(yīng)力面上的剪力.IZ--整個(gè)截面Qt方向：與橫截面上剪力方向相同；t大小：沿截面寬度均勻分布，沿高度h分布為拋物線。中性軸上有最大切應(yīng)力.為平均切應(yīng)力的1.5倍。Qt方向：與橫截面上剪力方向相同；其它截面梁橫截面上的切應(yīng)力

工字形截面梁剪應(yīng)力分布假設(shè)仍然適用—橫截面上剪力；Iz—整個(gè)工字型截面對(duì)中性軸的慣性矩；b1—腹板寬度；Sz*—陰影線部分面積A*對(duì)中性軸的靜矩最大剪應(yīng)力：其它截面梁橫截面上的切應(yīng)力工字形截面梁—橫截面上剪Iz—圓形截面對(duì)中性軸的慣性矩；b—截面中性軸處的寬度；Sz*—中性軸一側(cè)半個(gè)圓形截面對(duì)中性軸的靜矩

圓形截面梁最大剪應(yīng)力仍發(fā)生在中性軸上:

圓環(huán)截面梁

Iz—圓形截面對(duì)中性軸的慣性矩；圓形截面梁圓環(huán)截面梁1、危險(xiǎn)面與危險(xiǎn)點(diǎn)分析：最大切應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對(duì)值最大的截面的中性軸處。QttQt1、危險(xiǎn)面與危險(xiǎn)點(diǎn)分析：最大切應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對(duì)值最大的截2、切應(yīng)力強(qiáng)度條件：3、需要校核切應(yīng)力的幾種特殊情況：鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時(shí)，要校核切應(yīng)力。梁的跨度較短，M較小，而FS較大時(shí)，要校核切應(yīng)力。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核切應(yīng)力。2、切應(yīng)力強(qiáng)度條件：3、需要校核切應(yīng)力的幾種特殊情況：鉚接注意事項(xiàng)設(shè)計(jì)梁時(shí)必須同時(shí)滿足正應(yīng)力和剪應(yīng)力的強(qiáng)度條件。對(duì)細(xì)長(zhǎng)梁，彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件是主要的，一般按正應(yīng)力強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)，不需要校核剪應(yīng)力強(qiáng)度，只有在個(gè)別特殊情況下才需要校核剪應(yīng)力強(qiáng)度。注意事項(xiàng)設(shè)計(jì)梁時(shí)必須同時(shí)滿足正應(yīng)力和剪應(yīng)力的強(qiáng)彎曲強(qiáng)度計(jì)算的步驟

畫(huà)出梁的剪力圖和彎矩圖,確定|FS|max和|M|max及其所在截面的位置，即確定危險(xiǎn)截面。注意兩者不一定在同一截面；根據(jù)截面上的應(yīng)力分布規(guī)律，判斷危險(xiǎn)截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)的位置，分別計(jì)算危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力，即max和max（二者不一定在同一截面，更不在同一點(diǎn)）；對(duì)max和max分別采用正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，即滿足max

,max彎曲強(qiáng)度計(jì)算的步驟畫(huà)出梁的剪力圖和彎矩圖,確定解：畫(huà)內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例12矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，[]=7MPa，[]=0.9MPa，試求最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力之比,并校核梁的強(qiáng)度。q=3.6kN/mABL=3mQ–+xx+qL2/8M解：畫(huà)內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例12矩形(bh=0.12m0求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度應(yīng)力之比q=3.6kN/mQ–+xx+qL2/8M求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度應(yīng)力之比q=3.6kN/mQ–+xx作彎矩圖，尋找需要校核的截面要同時(shí)滿足分析：非對(duì)稱截面，要尋找中性軸位置T型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。試校核梁的強(qiáng)度。例13作彎矩圖，尋找需要校核的截面要同時(shí)滿足分析：非對(duì)稱截面，要尋（2）求截面對(duì)中性軸z的慣性矩（1）求截面形心z1yz52解：（2）求截面對(duì)中性軸z的慣性矩（1）求截面形心z1yz（4）B截面校核（3）作彎矩圖-4kNm2.5kNmMP1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD（4）B截面校核（3）作彎矩圖-4kNm2.5kNmMP1=（5）C截面要不要校核？（4）B截面校核（3）作彎矩圖P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD-4kNm2.5kNmM（5）C截面要不要校核？（4）B截面校核（3）作彎矩圖P1=

彎曲正應(yīng)力是控制梁彎曲強(qiáng)度的主要因素，故彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件：要提高梁的承載承力，應(yīng)從兩方面考慮：一方面是合理安排梁的受力情況，以降低Mmax的值；另一方面是采用合理的截面形狀，以提高W的數(shù)值，充分利用材料的性能。

15.9提高梁強(qiáng)度的措施彎曲正應(yīng)力是控制梁彎曲強(qiáng)度的主要因素，故彎曲正應(yīng)一、合理安排梁的受力情況

合理布置梁的支座一、合理安排梁的受力情況qlABql2/8M圖+q3l/5ABl/5l/5M圖+--ql2/40ql2/50ql2/50

左邊梁的最大彎矩值是右邊梁的最大彎矩值的5倍。因此，右邊梁上的載荷還要提高四倍，才能使得其最大彎矩值同左邊的相同。因而，右邊梁的承載能力要比左邊高四倍，因此說(shuō)來(lái)，合理的布置梁的支座，對(duì)提高梁的彎曲強(qiáng)度是十分必要的。qlABql2/8M圖+q3l/5ABl/5l/5M圖+--門(mén)式起重機(jī)的大梁門(mén)式起重機(jī)的大梁

適當(dāng)增加梁的支座適當(dāng)增加梁的支座合理的布置載荷。比較下列兩種布置方法：Pl/2ABl/2CPl/4ABl/4l/4l/4D+Pl/4M圖+Pl/8M圖Pl/8合理的布置載荷。比較下列兩種布置方法：Pl/2ABl/2C改善荷載的布置情況MM改善荷載的布置情況MM二、提高抗彎截面系數(shù)選擇合理的截面形狀二、提高抗彎截面系數(shù)選擇合理的截面形狀

在確定梁的截面形狀與尺寸時(shí)，除應(yīng)考慮彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件外，還應(yīng)考慮彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件。因此，在設(shè)計(jì)工字形、箱形、T字形與槽型等薄壁截面梁時(shí)，也應(yīng)注意使腹板具有一定的厚度。zz在確定梁的截面形狀與尺寸時(shí)，除應(yīng)考慮彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條合理選擇截面形狀，盡量增大Wz值合理選擇截面形狀，盡量增大Wz值—單位面積抗彎截面模量—單位面積抗彎截面模量bhhhhhd0.167h0.125h0.205h(0.27~0.31)h(0.29~0.31)hd=0.8h常見(jiàn)截面的Wz/A值比較:從表中可以看出，材料遠(yuǎn)離中性軸的截面較經(jīng)濟(jì)合理。工程中的吊車(chē)梁、橋梁常采用工字形、槽形或箱形截面，房屋建筑中的樓板采用空心圓孔板，道理就在于此。bhhhhhd0.167h0.125h0.205h(0.27從彎曲強(qiáng)度考慮，比較合理的截面形狀，是使用較小的截面面積，卻能獲得較大抗彎能力的截面。在一般截面中，抗彎能力與截面高度的平方成正比。因此，當(dāng)截面面積一定時(shí)，宜將較多材料放置在遠(yuǎn)離中性軸的部位。因此，面積相同時(shí)：工字形優(yōu)于矩形，矩形優(yōu)于正方形；環(huán)形優(yōu)于圓形。同時(shí)應(yīng)盡量使拉、壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到最大值。smaxsmin從彎曲強(qiáng)度考慮，比較合理的截面形狀，是使用較根據(jù)材料特性選擇截面對(duì)于抗拉和抗壓不相同的脆性材料最好選用關(guān)于中性軸不對(duì)稱的截面根據(jù)材料特性選擇截面對(duì)于抗拉和抗壓不相同的脆性材料最好選用關(guān)拉壓性能不一的材料如鑄鐵，宜用不對(duì)稱的截面，使中性軸靠近拉的一側(cè)h2Zch1Zc變截面梁1)b不變，中間h加大Zc拉壓性能不一的材料如鑄鐵，宜用不對(duì)稱的截面，使中hxMPl/4xb(x)bmin2)h不變，中間b隨x與彎矩M（x）同規(guī)律變化，如上圖3)b不變，中間h隨x與彎矩M（x）規(guī)律變化，如右圖搖臂鉆床的搖臂。ABPl/2lxMPl/4xb(x)bmin2)h不變，中間b隨x與彎等強(qiáng)度梁階梯梁漁腹梁（工藝上簡(jiǎn)化）等強(qiáng)度梁階梯梁漁腹梁（工藝上簡(jiǎn)化）材料力學(xué)-梁的彎曲問(wèn)題課件日本巖大橋雨蓬梁板◆實(shí)例：日本巖大橋雨蓬梁板◆實(shí)例：預(yù)應(yīng)力鋼筋以上的措施僅僅考慮提高梁的強(qiáng)度方面，事實(shí)上，梁的合理使用應(yīng)綜合考慮強(qiáng)度與剛度、穩(wěn)定性等問(wèn)題。這正是工程構(gòu)件力學(xué)分析的核心內(nèi)容。預(yù)應(yīng)力鋼筋以上的措施僅僅考慮提高梁的強(qiáng)度方面，事實(shí)上，梁的合彎曲構(gòu)件除了要滿足強(qiáng)度條件外,還需滿足剛度條件。如車(chē)床主軸的過(guò)大彎曲引起加工零件的誤差。15.10梁的變形概念彎曲構(gòu)件除了要滿足強(qiáng)度條件外,還需滿足剛度條件。如車(chē)床材料力學(xué)-梁的彎曲問(wèn)題課件材料力學(xué)-梁的彎曲問(wèn)題課件但在另外一些情況下，有時(shí)卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。例如，車(chē)輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車(chē)輛受到的沖擊和振動(dòng)作用。但在另外一些情況下，有時(shí)卻要求構(gòu)件具有較大的材料力學(xué)-梁的彎曲問(wèn)題課件撓度(w):任一橫截面形心(即軸線上的點(diǎn))在垂直于x軸方向的線位移,稱為該截面的撓度。取梁的左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),梁變形前的軸線為x軸,橫截面的鉛垂對(duì)稱軸為y軸,xy平面為縱向?qū)ΨQ平面。BAB'CC1撓度w

yx撓度(w):任一橫截面形心(即軸線上的點(diǎn))在垂直x

BAB'CC1轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角():橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度（或角位移）,稱為該截面的轉(zhuǎn)角，也即撓曲線在該截面處的切線與x軸的夾角。yxBAB'CC1轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角():橫截?fù)隙群娃D(zhuǎn)角符號(hào)的規(guī)定：撓度：在圖示坐標(biāo)系中,向下為正,向上為負(fù)。轉(zhuǎn)角：順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)。yxABCw(撓度)C1q(轉(zhuǎn)角)F撓度和轉(zhuǎn)角符號(hào)的規(guī)定：撓度：在圖示坐標(biāo)系中,向下為正,向必須注意:梁軸線彎曲成曲線后,在x軸方向也有線位移。yxABCw(撓度)C1q(轉(zhuǎn)角)F但在小變形情況下,梁的撓度遠(yuǎn)小于跨長(zhǎng),這種位移與撓度相比很小，可略去不計(jì)。必須注意:梁軸線彎曲成曲線后,在x軸方向也有線位移。yx撓曲線：梁變形后的軸線稱為撓曲線。撓曲線方程:式中,x為梁變形前軸線上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo),w為該點(diǎn)的撓度。yxABCw(撓度)C1q(轉(zhuǎn)角)撓曲線F撓曲線：梁變形后的軸線稱為撓曲線。撓曲線方程:式中,x為梁撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系：yxABCw(撓度)C1qq(轉(zhuǎn)角)F撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系：yxABCw(撓度)C1qq(轉(zhuǎn)角)F此式稱為梁的撓曲線近似微分方程。此式稱為梁的撓曲線近似微分方程。再積分一次,得撓度方程上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程若為等截面直梁,其抗彎剛度EI為一常量,上式可改寫(xiě)成式中：積分常數(shù)C1、C2可通過(guò)梁撓曲線的邊界條件和變形的連續(xù)性條件來(lái)確定。15.11梁的變形計(jì)算積分法求彎曲變形再積分一次,得撓度方程上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程若為等截面直梁簡(jiǎn)支梁懸臂梁邊界條件ABwA＝0wB＝0ABwA＝0qA＝0ABAB連續(xù)性條件在撓曲線的任一點(diǎn)上,有唯一的撓度和轉(zhuǎn)角。如:不可能不可能c簡(jiǎn)支梁懸臂梁邊界條件ABwA＝0wB＝0ABwA＝0qA＝0

討論：

①適用于小變形、線彈性、細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件的平面彎曲②用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移③積分常數(shù)由撓曲線變形邊界條件確定

④優(yōu)點(diǎn)：使用范圍廣，直接求出較精確；

缺點(diǎn)：計(jì)算較繁

例14圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁,在自由端受一集中力F作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角max。ABlx解：以梁左端A為原點(diǎn),取直角坐標(biāo)系,令x軸向右,y軸向下為正。(1)列彎矩方程F(2)列撓曲線近似微分方程并積分例14圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁,在自由端受一集中力F(3)確定積分常數(shù)代入式(a)和(b),得：C1＝0,C2＝0在x＝0處,w＝0在x＝0處,q＝0--(3)確定積分常數(shù)代入式(a)和(b),得：C1＝0ABlxxyF(4)建立轉(zhuǎn)角方程和撓度方程將求得的積分常數(shù)C1和C2代入式(a)和(b),得梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為：(5)求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度自由端B處的轉(zhuǎn)角和撓度絕對(duì)值最大。wmaxqmax所得的撓度為正值,說(shuō)明B點(diǎn)向下移動(dòng);轉(zhuǎn)角為正值,說(shuō)明橫截面B沿順時(shí)針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)。ABlxxyF(4)建立轉(zhuǎn)角方程和撓度方程將求得的積分常例15：一簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用，求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并確定最大撓度和A、B截面的轉(zhuǎn)角。設(shè)梁的抗彎剛度為EI。ABlq例15：一簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用，求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并解:1°建立坐標(biāo)系。求支座反力。列彎矩方程：xylABq解:1°建立坐標(biāo)系。求支座反力。列彎矩方程：xylABq邊界條件得:xylABqθBθAwmax邊界條件得:xylABqθBθAwmax例16：已知F、EI，求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程及wmax

。xyABFlxabCD解:1°建立坐標(biāo)系。求支座反力。2°分段求出彎矩方程及w′、w。例16：已知F、EI，求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程及wmax。xyABFlxabCDxyABFlxabCD邊界條件：x=0，w1=0。x=l，w2=0。連續(xù)條件：x=a，w1′=w2′，w1=w2

由連續(xù)條件，得：C1=C2，D1=D2再由邊界條件，得：C1=C2=Fb（l2-b2）/6lD1=D2=0因此，梁各段的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程為：xyABFlxabCD邊界條件：x=0，w1=0。x=l，w2=xyABFlxabCDxyABFlxabCD因此，受任意荷載的簡(jiǎn)支梁，只要撓曲線上沒(méi)有拐點(diǎn)，均可近似地將梁中點(diǎn)的撓度作為最大撓度。xyABFlxabCD因此，受任意荷載的簡(jiǎn)支梁，只要撓曲線上沒(méi)有拐點(diǎn)，均可近似地將條件：由于梁的變形微小,梁變形后其跨長(zhǎng)的改變可略去不計(jì),且梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作,因而,梁的撓度和轉(zhuǎn)角均與作用在梁上的載荷成線性關(guān)系。在這種情況下,梁在幾項(xiàng)載荷(如集中力、集中力偶或分布力)同時(shí)作用下某一橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角,就分別等于每項(xiàng)載荷單獨(dú)作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加。此即為疊加原理。15.11梁的變形計(jì)算疊加法求彎曲變形條件：由于梁的變形微小,梁變形后其跨長(zhǎng)的改變可略去不計(jì),例17：簡(jiǎn)支梁所受荷載如圖示。用疊加法求梁中點(diǎn)撓度和左端截面的轉(zhuǎn)角。設(shè)梁抗彎剛度為EI。ml/2qABCl/2例17：簡(jiǎn)支梁所受荷載如圖示。用疊加法求梁中點(diǎn)撓度和左端截面解:qABCBmACml/2qABCl/2解:qABCBmACml/2qABCl/2+=例18簡(jiǎn)支梁的EI已知，用疊加法求梁跨中截面的位移和兩端截面的轉(zhuǎn)角。載荷分解如圖對(duì)稱均布載荷單獨(dú)作用時(shí)集中力偶單獨(dú)作用時(shí)xxx+=例18簡(jiǎn)支梁的EI已知，用疊加法求梁載荷分解如圖疊加疊加例19：一階梯形懸臂梁，在左端受集中力作用。試求左端的撓度。FABCaaEI2EI例19：一階梯形懸臂梁，在左端受集中力作用。試求左端的撓度。ABCFaaEI2EI解：FBAwA1θA1采用逐段剛化法1、令BC剛化，AB為懸臂梁。2、令A(yù)B剛化，BC為懸臂梁。FBAwBCM=FaABCFaaEI2EI解：FBAwA1θA1采用逐段剛化法1FBAwA1θA1FBAwBCBAwBCM=FaEI2EI2EIFBAwA1θA1FBAwBCBAwBCM=FaEI2EI2ABCFaaEI2EI累加得到總的結(jié)果：ABCFaaEI2EI累加得到總的結(jié)果：例20：已知F、q、EI。求θc和wc。qABF=qaaaaCxy（a）例20：已知F、q、EI。求θc和wc。qABF=qaaaaCxqABF=qaaaay（a）wC(F)ABFC（b）θB(F)Θc(F)CxqABF=qaaaay（a）wC(F)ABFC（b）θBCqAB（c）CqABM=qa2/2CqABM=qa2/2CABM=qa2/2CqAB（c）CqABM=qa2/2CqABM=qa2/2CCqAB（c）CqB（d）ABC（e）qa2/2CqAB（c）CqB（d）ABC（e）qa2/2——這種疊加法又稱為逐段（級(jí)）剛化法。CqB（d）ABC（e）qa2/2ABFC（b）——這種疊加法又稱為逐段（級(jí)）剛化法。CqB（d）ABC（e例21用逐段剛性法求解簡(jiǎn)支外伸梁的撓度把未變形B