實(shí)驗(yàn)7-無(wú)窮級(jí)數(shù)與非線性方程求解(MATLAB)課件

實(shí)驗(yàn)7無(wú)窮級(jí)數(shù)與非線性方程求解(MATLAB)實(shí)驗(yàn)71基礎(chǔ)理論一.無(wú)窮級(jí)數(shù)設(shè)是一數(shù)列,我們把形式記號(hào)稱為無(wú)窮級(jí)數(shù),也記作2實(shí)驗(yàn)在Matlab中,求級(jí)數(shù)和的命令為symsum,調(diào)用格式為:symsum(s,t,a,b)表達(dá)式s中的符號(hào)變量t從a到b的級(jí)數(shù)和(t缺省時(shí)設(shè)定為x或最接近x的字母)1基礎(chǔ)理論一.無(wú)窮級(jí)數(shù)設(shè)是一數(shù)列,我們把形式記號(hào)稱為無(wú)窮例1)求(1)利用symsum處理>>symsx>>symsum(1/x,1,10)ans=7381/2520>>7381/2520ans=2.9290(2)編程建立M文件計(jì)算s=0;%累加變量置初值fori=1:10s=s+1/i;enddisp('1+1/2+1/3+...+1/10=')s>>1+1/2+1/3+...+1/10=s=2.9290例1)求(1)利用symsum處理(2)編程建立M文件例2)求無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性.>>symsn>>symsum(1/n,n,1,inf)%inf表示正無(wú)窮ans=inf>>symsn>>symsum((-1)^(n-1),n,1,inf)ans=log(2)例3)求無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性.例2)求無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性.>>symsn>>syms二.非線性方程1基礎(chǔ)理論把稱為n次代數(shù)方程.5次以上的方程就沒(méi)有現(xiàn)成的求根公式了，但是總知道,n次方程有n個(gè)根,包括復(fù)根,當(dāng)然重根要按重?cái)?shù)計(jì)算根的個(gè)數(shù).它與n(≥2)次代數(shù)方程一起統(tǒng)稱為非線性方程，記作由其它數(shù)學(xué)問(wèn)題歸結(jié)得到的方程中還常常包含三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)如,稱為超越方程，求解超越方程不僅沒(méi)有一般的公式，而且若只依據(jù)方程本身，那么連有沒(méi)有根、有幾個(gè)根，也難以判斷。二.非線性方程1基礎(chǔ)理論把稱為n次代數(shù)方程.5次以上的利用Matlab的圖形功能就能幫助我們判斷方程有沒(méi)有根，并且確定根的近似位置。利用Matlab的圖形功能就能幫助我們判斷方程有沒(méi)有根，2代數(shù)方程求解當(dāng)f(x)為多項(xiàng)式時(shí)可用r=roots(c)輸入多項(xiàng)式c(按降冪排列),輸出r為f(x)=0的全部根(包括復(fù)數(shù)根),該命令為數(shù)值計(jì)算c=poly(r)輸入f(x)=0的全部根r,輸出c為多項(xiàng)式的系數(shù)(按降冪排列),該命令為數(shù)值計(jì)算solve(f,t)對(duì)f中的符號(hào)變量t解方程f=0(t缺省時(shí)設(shè)定為x或最接近x的字母),該命令為符號(hào)計(jì)算2代數(shù)方程求解(1)數(shù)值計(jì)算>>c=[8-12-26-135830];%輸入多項(xiàng)式c(按降冪排列)>>r=roots(c)%求多項(xiàng)式c的全部根(包括復(fù)數(shù)根)r=2.50001.5000-1.0000+1.0000i-1.0000-1.0000i-0.5000例1)求代數(shù)方程的根所以方程的根為:2.5,1.5,-0.5,-1+i,-1-i(1)數(shù)值計(jì)算例1)求代數(shù)方程的根所以方程的根為:2.5>>symsx>>f=8*x^5-12*x^4-26*x^3-13*x^2+58*x+30;>>s=solve(f)s=[-1/2][3/2][5/2][-1+i][-1-i]所以方程的根為:-1/2,3/2,5/2,-1+i,-1-i.(2)符號(hào)計(jì)算>>symsx所以方程的根為:-1/2,3/2,5/2,>>r=[0.25-12+3i2-3i];>>c=poly(r)c=1.0000-3.25009.750010.7500-3.2500例2)求以0.25,-1.5,2+2i,2-2i為根的代數(shù)方程>>r=[0.25-12+3i2-3i];例2)求3、在Matlab中,solve采用符號(hào)解法求非線性方程(組),調(diào)用格式為:solve(f,t)對(duì)f中的符號(hào)變量t解方程f=0(t缺省時(shí)設(shè)定為x或最接近x的字母),該命令為符號(hào)計(jì)算solve(‘f=g’,t)對(duì)符號(hào)變量t解方程f=g(t缺省時(shí)設(shè)定為x或最接近x的字母),該命令為符號(hào)計(jì)算3、在Matlab中,solve采用符號(hào)解法求非線性方程>>symsx>>f=cos(2*x)+sin(x)-1;>>s=solve(f)s=[0][pi][1/6*pi][5/6*pi]1)解方程cos2x+sinx=1(在最小正周期內(nèi)求解)先將方程化為cos2x+sinx-1=0>>symsx1)解方程cos2x+sinx=1(在>>s=double(s)s=0.25922.5426>>symsx>>f=5*x-exp(x);>>s=solve(f)s=[-lambertw(-1/5)][-lambertw(-1,-1/5)]例2)解方程說(shuō)明原方程的解無(wú)解析表達(dá)式,此時(shí)可用double計(jì)算其值>>s=double(s)>>symsx例2)解方程>>symsxy>>[x,y]=solve('x^2+x*y+y=3','x^2-4*x+3=0')x=[1][3]y=[1][-3/2]4)解方程組所以方程組的解為(1,1),(3,-3/2).>>symsxy4)解方程組所以方程組的解為(1,14、Matlab中fzero采用數(shù)值解法求解非線性方程，其調(diào)用格式為：(1)z=fzero(‘fun’,x0)對(duì)單變量函數(shù)fun求解,返回函數(shù)的解z.fun為包含任意單變量函數(shù)的文件名字符串。(2)z=fzero(‘fun’,x0)設(shè)置解的搜索區(qū)域x0，其中x0為一個(gè)長(zhǎng)度為2的向量，而f(x(1))的符號(hào)和f(x(2))的符號(hào)不同，調(diào)用時(shí)如果符號(hào)相同則報(bào)錯(cuò)。(3)z=fzero(‘fun’,x0,tol)設(shè)置解的精度，返回的函數(shù)值的相對(duì)誤差必須在變量tol給定的范圍內(nèi)。(4)z=fzero(‘fun’,x0，tol，trace)設(shè)置顯示每次的迭代信息，如果trace=0則不顯示每次的迭代信息；否則就顯示。4、Matlab中fzero采用數(shù)值解法求解非線性方程，其調(diào)>>z=fzero(‘x3-2*x-5’,2，1e-6,1)%第四種方法例1)解方程f(x)=x3-2x-5=0>>z=fzero(‘x3-2*x-5’,2)%第一種方法z=2.0946>>z=fzero(‘x3-2*x-5’,[03])%第二種方法z=2.0946>>z=fzero(‘x3-2*x-5’,2,1e-6)%第三種方法z=2.0946>>z=fzero(‘x3-2*x-5’,2，1e-6,1)Funcevalsxf(x)Procedure12-1initial21.94343-1.54667search32.05657-0.414934search41.92-1.76211search52.08-0.161088search61.88686-2.05602search72.113140.209619searchLookingforazerointheinterval[1.8869,2.1131]82.0922-0.0261891interpolation92.09453-0.000272594interpolation102.094556.41518e-009interpolation112.09455-4.67499e-005interpolationz=2.0946第四種方法說(shuō)明經(jīng)過(guò)11次迭代得到一個(gè)近似根2.0946Funcevalsxf注意1：該函數(shù)為多項(xiàng)式，實(shí)際的零點(diǎn)有3個(gè)，其余兩個(gè)為一對(duì)共軛復(fù)零點(diǎn)。由于fzero不能求復(fù)零點(diǎn)，因此任意的初始估計(jì)將給出同樣的結(jié)果。注意2：fzero函數(shù)認(rèn)為零點(diǎn)是函數(shù)穿過(guò)x軸的點(diǎn)，時(shí)于與x軸相切的點(diǎn)，該函數(shù)將不能計(jì)算出來(lái)。注意1：該函數(shù)為多項(xiàng)式，實(shí)際的零點(diǎn)有3個(gè)，其余兩個(gè)為注意2：例2)求方程sinx=x2/2的兩個(gè)根，準(zhǔn)確到10-6，取不同的初值計(jì)算，輸出初值，根的近似值和迭代次數(shù).>>x=-2:0.01:2;>>y1=sin(x);>>y2=x.^2/2;>>plot(x,y1,x,y2)第一步：作圖估計(jì)根的大體位置令f(x)=sinx-x2/2從上圖可知,方程的一個(gè)根大體在0附近,另一個(gè)根大體在1.5附近.例2)求方程sinx=x2/2的兩個(gè)根，準(zhǔn)確到10-6，取第二步：求解>>z1=fzero('sin(x)-x.^2/2',1.5)z1=1.4044>>z2=fzero('sin(x)-x.^2/2',0.1)z2=5.8892e-023>>z2=fzero('sin(x)-x.^2/2',0)z2=0>>options=optimset('Display','iter');>>z2=fzero('sin(x)-x.^2/2',0.1)第二步：求解>>z1=fzero('sin(x)-x.^2/注意：初始值的設(shè)置很關(guān)鍵，關(guān)系到運(yùn)行次數(shù)和最終結(jié)果5、Matlab中fsolve函數(shù)采用非線性最小二乘算法求解非線性方程組，其調(diào)用格式為：x=fsolve(‘fun’,x0)x=fsolve(‘fun’,x0,options)[x,fval]=fsolve(‘fun’,x0,..)說(shuō)明：非線性方程的一般描述f(x)=0,其中x為向量，f(x)為一個(gè)函數(shù)向量。x=fsolve(‘fun’,x0)非線性方程fun求根，返回解向量x，方程fun定義在M文件fun.m中，并置初始解向量為x0.注意：初始值的設(shè)置很關(guān)鍵，關(guān)系到運(yùn)行次數(shù)和最終結(jié)果5、MatfunctionF=f710(x)F=[2*x(1)-x(2)-exp(-x(1));-x(1)+2*x(2)-exp(-x(2))]第一步：編寫函數(shù)組M文件x0=-5*ones(2,1);%置初始解向量options=optimset(‘Display’,‘iter’);%設(shè)置顯示輸出中間反復(fù)(iteration)迭代結(jié)果x=fsolve('f710',x0,options)第二步：求解functionF=f710(x)第一步：編寫函數(shù)組M文件NormofFirst-orderTrust-region迭代次數(shù)函數(shù)賦值次數(shù)函數(shù)值步最優(yōu)的半徑范圍IterationFunc-countf(x)stepoptimalityradius0347071.22.29e+00411612003.415.75e+0031293147.0211.47e+0031312854.45213881415239.5271107151867.0412130.8162116.704219.0517242.4278812.2618270.0326580.7595110.2062.59307.03149e-0060.1119270.002942.510333.29525e-0130.001691326.36e-0072.5Optimizationterminated:first-orderoptimalityislessthanoptions.TolFun.x=0.56710.5671NormofFirst-orderTrNormofFirst-orderTrust-regionIterationFunc-countf(x)stepoptimalityradius0317.4075