北師大版數(shù)學選修44 模塊檢測A

第頁模塊檢測A(時間：120分鐘總分值：150分)一、選擇題(每題5分，共50分)1.A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，那么E的離心率為()A.eq\r(5) B.2C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析結合圖形，用a表示出點M的坐標，代入雙曲線方程得出a，b的關系，進而求出離心率.不妨取點M在第一象限，如下圖，設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，那么|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M點的坐標為(2a，eq\r(3)a).∵M點在雙曲線上，∴eq\f(4a2,a2)－eq\f(3a2,b2)＝1，a＝b，∴c＝eq\r(2)a，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).應選D.答案D2.極坐標方程ρ＝cosθ和參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1－t，,y＝2＋3t))(t為參數(shù))所表示的圖形分別是()A.圓、直線 B.直線、圓C.圓、圓 D.直線、直線解析由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，所以x2＋y2＝x，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,4)，它表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))為圓心，以eq\f(1,2)為半徑的圓.由x＝－1－t得t＝－1－x，所以y＝2＋3t＝2＋3(－1－x)＝－3x－1，表示直線.答案A3.在同一坐標系中，將曲線y＝3sin2x變?yōu)榍€y′＝sinx′的伸縮變換是()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2x′,y′＝\f(1,3)y′)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x,y′＝\f(1,3)y))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2x′,y′＝3y′)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x,y′＝3y))解析設eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx，λ＞0，,y′＝μy，μ＞0))那么μy＝sinλx.即y＝eq\f(1,μ)sinλx比擬y＝3sinα與y＝eq\f(1,μ)sinλx，那么有eq\f(1,μ)＝3，λ＝2.∴μ＝eq\f(1,3)，λ＝2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x,y′＝\f(1,3)y)).答案B4.設點P對應的復數(shù)為－3＋3i，以原點為極點，實軸正半軸為極軸建立極坐標系，那么點P的極坐標為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(2)，\f(3,4)π)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\r(2)，\f(5,4)π))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(5,4)π)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,4)π))答案A5.在極坐標方程中，曲線C的方程是ρ＝4sinθ，過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,6)))作曲線C的切線，那么切線長為()A.4 B.eq\r(7) C.2eq\r(2) D.2eq\r(3)解析ρ＝4sinθ化為普通方程x2＋(y－2)2＝4，點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,6)))化為直角坐標為(2eq\r(3)，2)，切線長、圓心到定點的距離及半徑構成直角三角形，由勾股定理：切線長＝eq\r(〔2\r(3)〕2＋〔2－2〕2－22)＝2eq\r(2).答案C6.柱坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)，1))對應的點的直角坐標是()A.(eq\r(3)，－1，1) B.(eq\r(3)，1，1)C.(1，eq\r(3)，1) D.(－1，eq\r(3)，1)解析由直角坐標與柱坐標之間的變換公式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，,z＝z，))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\r(3)，,z＝1.))答案C7.直線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,5)t，,y＝－9＋\f(3,5)t))(t為參數(shù))與圓eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))的位置關系是()A.相離 B.相切C.過圓心 D.相交不過圓心解析把直線與圓的參數(shù)方程化為普通方程分別為3x－4y－36＝0，x2＋y2＝4，得到圓的半徑為2，圓心為(0，0)，再利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，即可判斷出直線和圓的位置關系.答案A8.把方程xy＝1化為以t為參數(shù)的參數(shù)方程是()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t\f(1,2),y＝t－\f(1,2))) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sint,y＝\f(1,sint)))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cost,y＝\f(1,cost))) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tant,y＝\f(1,tant)))解析xy＝1，x取非零實數(shù)，而A，B，C中的x的范圍有各自的限制.答案D9.雙曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,cosθ)，,y＝4tanθ))(θ為參數(shù))，在以下直線的參數(shù)方程中：①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3t，,y＝4t；))②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(3),2)t，,y＝1－\f(1,2)t；))③eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5)t，,y＝－\f(4,5)t；))④eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t；))⑤eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋3t，,y＝－4－4t))(以上方程中，t為參數(shù))，可以作為雙曲線C的漸近線方程的是()A.①⑤ B.①③⑤C.①②④ D.②④⑤解析由雙曲線的參數(shù)方程知，在雙曲線中對應a＝3，b＝4且雙曲線的焦點在x軸上，因此漸近線方程是y＝±eq\f(4,3)x.檢驗所給的直線的參數(shù)方程可知只有①③⑤符合條件.答案B10.曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋5t，,y＝1－2t))(t為參數(shù))與坐標軸的交點是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,5)))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,5)))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C.(0，－4)、(8，0) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,9)))、(8，0)解析當x＝0時，t＝eq\f(2,5)，而y＝1－2t，即y＝eq\f(1,5)，得與y軸的交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,5)))；當y＝0時，t＝eq\f(1,2)，而x＝－2＋5t，即x＝eq\f(1,2)，得與x軸的交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).答案B二、填空題(每題5分，共25分)11.直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋t，,y＝1＋t))(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ2cos2θ＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ>0，\f(3π,4)<θ<\f(5π,4)))，那么直線l與曲線C的交點的極坐標為________.解析把參數(shù)方程化為極坐標方程，聯(lián)立方程組求解.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋t，,y＝1＋t，))得x－y＋2＝0，那么ρcosθ－ρsinθ＋2＝0.由ρ2cos2θ＝4得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4.∴ρcosθ＝－2，ρsinθ＝0.∴θ＝π，ρ＝2.∴直線l與曲線C的交點的極坐標為A(2，π).答案(2，π)12.設點M的直角坐標為(1，－eq\r(3)，4)那么點M的柱坐標為________.解析設點M的柱坐標為(ρ，θ，z)，那么有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，,z＝z，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝ρcosθ，,－\r(3)＝ρsinθ，,4＝z，))∴有ρ＝2，θ＝eq\f(5π,3)，z＝4.所以點M的柱坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,3)，4)).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,3)，4))13.在平面直角坐標系中，傾斜角為eq\f(π,4)的直線l與曲線C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosα，,y＝1＋sinα))(α為參數(shù))交于A，B兩點，且|AB|＝2.以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，那么直線l的極坐標方程是________.解析將參數(shù)方程化為直角坐標方程求解.曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosα，,y＝1＋sinα))(α為參數(shù))，消去參數(shù)得(x－2)2＋(y－1)2＝1.由于|AB|＝2，因此|AB|為圓的直徑，故直線過圓的圓心(2，1)，所以直線l的方程為y－1＝x－2，即x－y－1＝0，化為極坐標方程為ρcosθ－ρsinθ＝1，即ρ(cosθ－sinθ)＝1.答案ρ(cosθ－sinθ)＝114.在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.曲線C1的極坐標方程為ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲線C2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝2\r(2)t))(t為參數(shù))，那么C1與C2交點的直角坐標為________.解析將極坐標方程、參數(shù)方程轉化為普通方程，聯(lián)立求得交點坐標，或只將直線的極坐標方程轉化為普通方程，再把曲線的參數(shù)方程代入直線的普通方程求交點坐標.由ρ(cosθ＋sinθ)＝－2得x＋y＝－2.法一由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝2\r(2)t，))得y2＝8x，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝－2，,y2＝8x，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－4，))即交點坐標為(2，－4).法二把eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝2\r(2)t))代入x＋y＋2＝0得t2＋2eq\r(2)t＋2＝0，解得t＝－eq\r(2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－4，))即交點坐標為(2，－4).答案(2，－4)15.曲線C1的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝\f(\r(3t),3)))(t為參數(shù)).以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程是ρ＝2，那么C1與C2交點的直角坐標為________.解析先將參數(shù)方程、極坐標方程化為直角坐標方程，然后聯(lián)立方程組，解方程組即得交點坐標.將曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程為y＝eq\f(\r(3),3)x(x≥0)，將曲線C2的極坐標方程化為直角坐標方程為x2＋y2＝4，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)x〔x≥0〕，,x2＋y2＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)，,y＝1.))故曲線C1與C2交點的直角坐標為(eq\r(3)，1).答案(eq\r(3)，1)三、解答題(共6題，共75分)16.(12分)在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋3cost，,y＝－2＋3sint))(t為參數(shù)).在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸)中，直線l的方程為eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝m(m∈R).(1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程；(2)設圓心C到直線l的距離等于2，求m的值.解(1)消去參數(shù)t，得到圓C的普通方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9.由eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0.所以直線l的直角坐標方程為x－y＋m＝0.(2)依題意，圓心C到直線l的距離等于2，即eq\f(|1－〔－2〕＋m|,\r(2))＝2，解得m＝－3±2eq\r(2).17.(12分)在直角坐標系xOy中，曲線C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α<π.在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2eq\r(3)cosθ.(1)求C2與C3交點的直角坐標；(2)假設C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值.解(1)曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標方程為x2＋y2－2eq\r(3)x＝0.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2y＝0，,x2＋y2－2\r(3)x＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(3,2).))所以C2與C3交點的直角坐標為(0，0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).(2)曲線C1的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.因此A的極坐標為(2sinα，α)，B的極坐標為(2eq\r(3)cosα，α).所以|AB|＝|2sinα－2eq\r(3)cosα|＝4eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))).當α＝eq\f(5π,6)時，|AB|取得最大值，最大值為4.18.(12分)說明由函數(shù)y＝2x的圖像經過怎樣的圖像變換可以得到函數(shù)y＝4x－3＋1的圖像.解因為y＝4x－3＋1＝22x－6＋1，所以只需把y＝2x的圖像經過以下變換就可以得到y(tǒng)＝4x－3＋1的圖像.先把縱坐標不變，橫坐標向右平移6個單位，得到函數(shù)y＝2x－6的圖像；再把橫坐標縮短為原來的eq\f(1,2)，縱坐標不變，得到函數(shù)＝22x－6的圖像；再把所得函數(shù)圖像的橫坐標不變，縱坐標向上平移1個單位即得函數(shù)y＝4x－3＋1的圖像.19.(12分)在平面直角坐標系中，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.設橢圓的長軸長為10，中心為(3，0)，一個焦點在直角坐標原點；(1)求橢圓的直角坐標方程，并化為極坐標方程；(2)當橢圓的過直角坐標原點的弦的長度為eq\f(640,91)時，求弦所在直線的直角坐標方程.解(1)由，得到a＝5，c＝3，故b＝eq\r(a2－c2)＝4.所以，橢圓的直角坐標方程為eq\f(〔x－3〕2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.由于x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入上式得到eq\f(〔ρcosθ－3〕2,25)＋eq\f(〔ρsinθ〕2,16)＝1，即25ρ2＝(16＋3ρcosθ)2，即5ρ＝16＋3ρcosθ，所以，橢圓的極坐標方程為ρ＝eq\f(16,5－3cosθ).(2)設過直角坐標原點的弦的傾斜角為θ，弦的兩端分別為P1(ρ1，θ)，P2(ρ2，θ＋π)，那么有ρ1＝eq\f(16,5－3cosθ)，ρ2＝eq\f(16,5＋3cosθ).由于ρ1＋ρ2＝eq\f(640,91)，所以，eq\f(16,5－3cosθ)＋eq\f(16,5＋3cosθ)＝eq\f(640,91)，即eq\f(1,25－9cos2θ)＝eq\f(4,91)?cos2θ＝eq\f(1,4)?cosθ＝±eq\f(1,2)?θ＝eq\f(π,3)，或θ＝eq\f(2π,3).所以，所求直線的直角坐標方程為y＝eq\f(1,2)x或y＝－eq\f(1,2)x.20.(13分)在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù)).以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，⊙C的極坐標方程為ρ＝2eq\r(3)sinθ.(1)寫出⊙C的直角坐標方程；(2)P為直線l上一動點，當P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標.解(1)由ρ＝2eq\r(3)sinθ，得ρ2＝2eq\r(3)ρsinθ，從而有x2＋y2＝2eq\r(3)y，所以x2＋(y－eq\r(3))2＝3.(2)設Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,2)t，\f(\r(3),2)t))，又C(0，eq