線性回歸方程知識清單和線性回歸單元一

線性回歸方程知識清單和線性回歸單元一線性回歸方程知識清單1.線性回歸方程在變量之間存在兩種關(guān)系：函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系。制作散點(diǎn)圖可以判斷變量之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系。線性回歸方程是通過最小二乘法得到的y=bx+a的直線方程。需要注意的是，線性回歸直線經(jīng)過定點(diǎn)(x,y)。2.相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)可以用來判斷兩個變量之間的線性相關(guān)性。當(dāng)r>0時，變量x和y呈正相關(guān)；當(dāng)r<0時，變量x和y呈負(fù)相關(guān)。|r|越接近1，兩個變量之間的線性相關(guān)性越強(qiáng)；當(dāng)|r|趨近于0時，兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系。3.回歸分析中回歸效果的判定總偏差平方和、殘差和殘差平方和以及回歸平方和可以用來判斷回歸效果。相關(guān)指數(shù)R2越大，說明殘差平方和越小，模型的擬合效果越好。R2越接近1，回歸效果越好。4.獨(dú)立性檢驗(yàn)隨機(jī)變量K越大，說明兩個分類變量之間的關(guān)系越強(qiáng)，反之越弱。高考統(tǒng)計(jì)部分的兩個重要公式的具體應(yīng)用線性回歸方程為y=bx+a的求法有兩種方法。第一種方法是先求變量x和y的平均值，然后求出變量x的系數(shù)b。第二種方法是通過公式進(jìn)行計(jì)算。需要注意的是，文章中存在一些明顯的格式錯誤和不合理的段落，需要進(jìn)行刪除和改寫。1.線性回歸方程單元一給定線性回歸方程為y?=bx?+a，其中b=4.75，a=257。當(dāng)x=28時，代入公式可得y的估計(jì)值為y?=386.5。2.獨(dú)立性檢驗(yàn)進(jìn)行兩個分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)時，需要先提出假設(shè)檢驗(yàn)問題，一般假設(shè)兩個變量不相關(guān)。然后列出數(shù)據(jù)表格，計(jì)算檢驗(yàn)的指標(biāo)K，最后查表得出結(jié)論。例如，計(jì)算出K2=9，查表可得結(jié)論：兩個變量之間不相關(guān)概率為0.005，或者可以肯定的說兩個變量相關(guān)的概率為0.995，即95.5%。3.回歸方程可能性判斷由于商品銷售量與銷售價格呈負(fù)相關(guān)，所以回歸方程可能是y=b/x+a，其中b和a為常數(shù)。4.設(shè)某大學(xué)女生的體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）呈線性相關(guān)關(guān)系。根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）(i=1,2,…,n)，得到回歸方程為y?=0.85x-85.71。下列結(jié)論中不正確的是()。A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(x,y)C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg5.已知關(guān)于某設(shè)備的使用年限x與所支出的維修費(fèi)用y(萬元)，使用年限x有如下統(tǒng)計(jì)資料：若y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，則回歸直線方程?y=bx+a表示的直線一定過定點(diǎn)_____維修費(fèi)用y2.23.85.56.57.06.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x（萬元）與銷售額y（萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：|x|y||---|---||4|49||2|26||3|39||5|54|據(jù)此模型預(yù)測廣告費(fèi)用為6萬元時銷售額為（）萬元。根據(jù)上表可得回歸方程y?=9.4x?+a。A.63.6萬元B.65.5萬元C.67.7萬元D.72.0萬元7.在一次實(shí)驗(yàn)中，測得(x,y)的四組值分別是A(1,2)，B(2,3)，C(3,4)，D(4,5)，則y與x之間的回歸直線方程為()。A.y?=x+1B.y?=x+2C.y?=2x+1D.y?=2x+28.已知x,y之間的一組數(shù)據(jù)：(x,y)=(1,3),(2,5),(3,7)。求y與x的回歸方程。設(shè)y?=bx?+a，代入三組數(shù)據(jù)得到方程組：a+b=32a+b=53a+b=7解得a=1，b=2，即y?=2x?+1。9.如下表所示，其提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)。(1).請根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸方程y?=bx?+a。(2).預(yù)測當(dāng)產(chǎn)量為10噸時，生產(chǎn)能耗是多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？|x|y||---|---||5|2.3||6|2.6||7|3.0||8|3.2||9|3.6|(1).根據(jù)最小二乘法公式，可得：b=∑(xi-x?)(yi-y?)/∑(xi-x?)2=0.35a=y?-bx?=0.95因此，y?=0.35x?+0.95。(2).當(dāng)產(chǎn)量為10噸時，代入回歸方程可得y?=4.3(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)。10.在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5個樣本點(diǎn)數(shù)值如下表：|x|y||---|---||0.25|16||0.5|12||1|5||2|2||4|1|試建立y與x之間的回歸直線方程。根據(jù)最小二乘法公式，可得：b=∑(xi-x?)(yi-y?)/∑(xi-x?)2=-4.2a=y?-bx?=16.3因此，y?=-4.2x?+16.3。11.某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：|單價x（元）|88|28|48|68|89||銷量y（件）|90|84|83|80|75|試建立y與x之間的回歸直線方程。根據(jù)最小二乘法公式，可得：b=∑(xi-x?)(yi-y?)/∑(xi-x?)2=-0.32a=y?-bx?=115.2因此，y?=-0.32x?+115.2。線性回歸方程單元一部分答案我們需要求解兩個問題：(1)回歸直線方程y；(2)該產(chǎn)品的單價應(yīng)該是多少元，才能使工廠獲得最大利潤。(1)回歸直線方程y根據(jù)線性回歸方程y^=bx+a，其中b=-20，a=y-bx，我們需要求出b和a的值。首先求變量x的平均值，即x=(0+1+2+3)/4=1.5。然后求變量y的平均值，即y=(1+3+5+7)/4=4。接著，我們可以使用兩種方法來求解b的值。方法1是利用樣本數(shù)據(jù)的離差積，方法2是利用樣本數(shù)據(jù)的協(xié)方差。方法1：b=[(0-1.5)(1-4)+(1-1.5)(3-4)+(2-1.5)(5-4)+(3-1.5)(7-4)]/[(0-1.5)+(1-1.5)+(2-1.5)+(3-1.5)]=-20方法2：b=[x1y1+x2y2+...+xnyn-nxy]/[x1^2+x2^2+...+xn^2-nx^2]=[0*1+1*3+2*5+3*7-4*1.5*4]/[0^2+1^2+2^2+3^2-4*1.5^2]=-20最后，我們可以求出常數(shù)a的值：a=y-bx=4-(-20)*1.5=34因此，回歸直線方程y=-20x+34。(2)產(chǎn)品單價的最大利潤根據(jù)題意，銷量與單價仍然服從線性回歸方程y^=bx+a，且該產(chǎn)品的成本是4元/件。為了使工廠獲得最大利潤，我們需要確定該產(chǎn)品的單價。設(shè)該產(chǎn)品的單價為p元/件，則銷售收入為py，成本為4y，利潤為py-4y=(p-4)y。因此，當(dāng)p-4的值最大時，利潤也最大。由于回歸直線方程為y=-20x+34，我們可以將x代入求解：p-4=-20x+34x=(34-p)/20因