線性空間定義課件

第三章線性空間

3.1線性空間的定義

3.2線性空間基與維數

3.3線性映射與線性變換

3.4特征向量與矩陣的對角化第三章線性空間3.1線性空間的定義

3.1線性空間的定義一線性空間定義二線性空間例子三線性空間的子空間3.1線性空間的定義一線性空間定義二設V是一個非空集合，在V上任意兩元素元運算+滿足如下性質：交換律有結合律有使得對任意對任意存在使得1）2）3）存在4）一線性空間定義定義1對任意的對任意的有定義運算并記為且設R為實數域，對V中的任意元素及R中的任意元素k定義運算并記為且運算

滿足如下性質：設V是一個非空集合，在V上任意兩元素元運算+滿足如下”

“1律”5）結合律6）都有7）分配律都有8）分配律都有則稱V為R上的一個線性空間，簡稱為實線性空間，線性空間中的元素稱為向量。對任意的對任意的對任意的運算+稱為加法運算，稱為數乘運算，它們統(tǒng)稱為線性運算。稱為零向量，若則稱為的負向量，并把的負向量記為?！薄?律”5）結合律6）都有7）分配律都有8）分配律都有則注（1）零向量是唯一；設也是零向量，則由零向量可得設都是的負向量，則（3）由負向量我們可以定義向量間的減法“-”：（2）負向量是唯一的；注（1）零向量是唯一；設也是零向量，則由零向量（4）對數零及任意向量有（5）若數對有則必有（6）

思考是否存在只有一個向量的線性空間？若存在只有一個向量的線性空間------這唯一的會是誰？稱這樣的空間為零空間。存在----這唯一的向量不是別的只能是零向量，（4）對數零及任意向量有（5）若數對有則必有（6）思（4）對數零及任意向量有（5）（6）稱這樣的空間為零空間。進一步思考實向量空間的向量個數。

思考是否存在一個向量的實線性空間？存在----這唯一的向量不是別的只能是零向量，要么一個（零空間），要么無數個（非零空間）。（4）對數零及任意向量有（5）（6）稱這樣的空間為零空（7）若實線性空間不是零空間，（零空間），則實線性空間必要無數個向量。設實線性空間V不是零空間，則存在非零向量對不同實數必有（若這意味著導致矛盾）。對實數當實數遍歷所有實數時在中產生無數個向量。綜上所述對于實線性空間----要么只有一個向量要么無數個向量（非零空間）。（7）若實線性空間不是零空間，（零空間），則實線性空間必要（8）定義中的實數域可以是其它域如復數域、有限域,相應地稱V為復數域、有限域上的線性空間。本書不作聲明，都是指實數域上線性空間。簡稱線性空間。不過本書關于實數域上線性空間大部分理論對于一般域上線性空間也成立?。?）定義中的實數域可以是其它域如復數域、有限域,相應地稱二線性空間例子例1表示全體n維實向量形成的集合，即關于n維實向量加法和數乘是線性空間。即對二線性空間例子例1表示全體n維實向量形成的集合，顯然在零向量向量的負向量注是最重要的實線性空間。類似有復線性空間顯然在零向量向量的負向量注是最重要的實線性空間。例2設是復數集，則復數集關于復數的加法和實數乘復數為一個實線性空間。其中則在實線性空間中零向量為數字0；的負向量例2設是復數集，則復數集關于復數的加法和實數乘復數為一個實例3階實矩陣全體關于矩陣線性運算是一個線性空間(實矩陣空間）。特別的階實方陣全體關于矩陣線性運算是一個線性空間。例3階實矩陣全體關于矩陣線性運算是一個線性空間(實矩陣空間中的零向量為零矩陣。向量的負向量注是實矩陣空間中的零向量為零矩陣。向量的負向量注是實矩陣空間

例4定義在集合實值函數全體記為對定義則關于“+”與成為一個線性空間(函數空間）。在函數空間零向量為常值函數0，即對任意有向量的負向量是例4定義在集合實值函數全體記為對定義則關于“+”與成為一個例5實系數多項式全體記為則關于多項式的加法于數乘多項式成為一個線性空間.不妨假設中零向量為零多項式向量的負向量例5實系數多項式全體記為則關于多項式的加法于數乘多項式成為例6設為V為空間里有向線段全體形成的集合有向線段定義+：定義數乘長度是長度的倍。方向是當時與相同;當時與相反?？臻g的有向線段集V關于加法數乘是一個線性空間V中的零向量為零線段（長對為零的線段）的負向量例6設為V為空間里有向線段全體形成的集合有向線段定義+：定設V是一個線性空間，V的非空子集W關于V的三線性空間的子空間定義2加法與數乘成為一個線性空間，則稱W是線性空間V的一個線性子空間，（簡稱子空間）。注（1）子空間本身就是一個線性空間。為子空間是它在一個更大的線性空間里，之所以稱其而且兩者線性運算一樣。（2）任何線性空間V都有子空間V和（零子空間），它兩成為V的平凡子空間。三線性空間的子空間設V是一個線性空間，V的非空子集W關于V的三線性線性空間V任意子集W未必是V的子空間。

例線性空間的子集不是的子空間。（為什么？）思考線性空間的一個子集不含零向量，這個子集是否有可能成為子空間。線性空間V任意子集W未必是V的子空間。例線性空間的子集不定理1線性空間V的非空子集W是V的子空間當且僅當1）對任意的有2）對任意的有注（1）線性空間V的非空子集W是V的子空間當且僅當對加法與數乘封閉。（2）若則W一定不是V的子空間（為什么？）。推論1線性空間V的非空子集W是V的子空間當且僅當對任意的有推論1*線性空間V的非空子集W是V的子空間當且僅當對任意的有定理1線性空間V的非空子集W是V的子空間當且僅當1）對任意例7設S是n元齊次線性方程組解向量集，即其中為方程組的系數矩陣。顯然是的非空子集，且有對任意即對任意有即定理2n元齊次線性方程組解向量集是的子空間。思考n元非齊次線性方程組解向量集是否是的子空間。例7設S是n元齊次線性方程組解向量集，即其中為方程組的系數例9階上（下）三角方陣全體是思考的一個非平凡線性子空間。記該子空間為（1）請舉出一的個非平凡線性子空間，這樣的子空間是的一個非平凡線性子空間嗎？（2）一般地，若是的一個（非平凡）子空間，是的一個（非平凡）子空間,那么是否是的一個（非平凡）子空間？例8復數集關于復數的加法與實數乘復數成實線性空間，的真子集實數集是的一個非平凡線性子空間。例9階上（下）三角方陣全體是思考的一個非平凡線性子空間。記例10定義在區(qū)間若實值函數全體，我們前面知道它關于函數的加法與常數乘函數形成線性空間。用表示定義在區(qū)間連續(xù)實值函數全體；表示定義在區(qū)間可導實值函數全體。則是的一個非平凡線性子空間；是的一個非平凡線性子空間；是的一個非平