福建省福州市蓋山中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析

福建省福州市蓋山中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知等比數(shù)列{an}公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，若S3，S9，S6成等差數(shù)列，則q3等于

A．-

B．1

C．-或1

D．-1或參考答案：A2.已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若=4，則|QF|=（）A． B．3 C． D．2參考答案：B【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求得直線PF的方程，與y2=8x聯(lián)立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：設(shè)Q到l的距離為d，則|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨設(shè)直線PF的斜率為﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直線PF的方程為y=﹣2（x﹣2），與y2=8x聯(lián)立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．3.在平面上，，，，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．參考答案：D根據(jù)條件知A，構(gòu)成一個(gè)矩形以所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，點(diǎn)O的坐標(biāo)為則點(diǎn)P坐標(biāo)為.由得則，又由，得則，即

①.又，得，則；同理由，得，即有②由①②知，所以.,故選,故選D.4.設(shè)f′（x）、g′（x）分別是函數(shù)f（x）、g（x）（x∈R）的導(dǎo)數(shù)，且滿足g（x）＞0，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0．若△ABC中，∠C是鈍角，則（）A．f（sinA）?g（sinB）＞f（sinB）?g（sinA） B．f（sinA）?g（sinB）＜f（sinB）?g（sinA）C．f（cosA）?g（sinB）＞f（sinB）?g（cosA） D．f（cosA）?g（sinB）＜f（sinB）?g（cosA）參考答案：C【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出答案．【解答】解：∵=，當(dāng)x＞0時(shí)，＞0，∴在（0，+∞）遞增，∵∠C是鈍角，∴cosA＞sinB＞0，∴＞，∴f（cosA）g（sinB）＞f（sinB）g（cosA），故選：C．5.設(shè)，若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)（其中i是虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)a等于(

)A.-1

B.0

C.1

D．參考答案：B6.若集合，，則集合等于（A）{－1,0,1}

（B）{－1,0,2} （C）{－1,1,2}

（D）{－1,0,1,2}參考答案：A7.已知集合m={x∈Z|﹣x2+6x＞0}，N={x|x2﹣5＜0}，則M∩N等于（） A．{1，2，3} B． {1，2} C． {2，3} D． {3，4}參考答案：考點(diǎn)： 交集及其運(yùn)算．專題： 集合．分析： 求出M中不等式的整數(shù)解確定出M，求出N中不等式的解集確定出N，找出M與N的交集即可．解答： 解：由M中不等式變形得：x（x﹣6）＜0，解得：0＜x＜6，即M={1，2，3，4，5}；由N中不等式解得：﹣＜x＜，即N=（﹣，），則M∩N={1，2}．故選：B．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．8.某程序框圖如右圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的S的值是（

）A、－3B、－C、D、2參考答案：D9.若方程的根在區(qū)間內(nèi),,則的值為

（

）A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：C10.某幾何體的主視圖與俯視圖如圖所示，左視圖與主視圖相同，且圖中的四邊形都是邊長(zhǎng)為2的正方形，兩條虛線互相垂直，則該幾何體的體積為（

）A

B

C

6

D

8

參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若的二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為729，則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的值為

▲

．參考答案：160令x=1，則所以因此常數(shù)項(xiàng)為

12.已知為第二象限角，，則=___________；參考答案：略13.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________.

參考答案：14.過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作圓的兩條切線，記切點(diǎn)分別為，雙曲線的左頂點(diǎn)為，若，則雙曲線的離心率

▲；參考答案：略15.已知三棱錐A-BCD中，，當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時(shí)，其外接球的體積為

．參考答案：16.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)等于參考答案：17.若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則____________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w為常數(shù)且＜w＜1），函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱．（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【分析】（1）化簡(jiǎn)f（x），根據(jù)對(duì)稱軸求出ω，得出f（x）的解析式，利用周期公式計(jì)算周期；（2）由f（A）=解出A，利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入面積公式得出面積的最大值．【解答】解：（I）f（x）=cos2ωx﹣[﹣cos（2ωx﹣）]=cos（2ωx﹣）﹣cos2ωx=﹣cos2ωx+sin2ωx=sin（2ωx﹣）．令2ωx﹣=+kπ，解得x=．∴f（x）的對(duì)稱軸為x=，令=π解得ω=．∵＜w＜1，∴當(dāng)k=1時(shí)，ω=．∴f（x）=sin（x﹣）．∴f（x）的最小正周期T=．（2）∵f（）=sin（A﹣）=，∴sin（A﹣）=．∴A=．由余弦定理得cosA===．∴b2+c2=bc+1≥2bc，∴bc≤1．∴S△ABC==≤．∴△ABC面積的最大值是．19.已知f（x）=lnx﹣x+m（m為常數(shù)）．（1）求f（x）的極值；（2）設(shè)m＞1，記f（x+m）=g（x），已知x1，x2為函數(shù)g（x）是兩個(gè)零點(diǎn)，求證：x1+x2＜0．參考答案：【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性，得出f（x）的極值；（2）由g（x1）=g（x2）=0可得，故h（x）=ex﹣x有兩解x1，x2，判斷h（x）的單調(diào)性得出x1，x2的范圍，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明h（x1）﹣h（﹣x1）＜0，在判斷r（x1）=h（x1）﹣h（﹣x1）的單調(diào)性即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣x+m，∴，由f'（x）=0得x=1，且0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0，x＞1時(shí)，f'（x）＜0．故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．所以，函數(shù)f（x）的極大值為f（1）=m﹣1，無(wú)極小值．（2）由g（x）=f（x+m）=ln（x+m）﹣x，∵x1，x2為函數(shù)g（x）是兩個(gè)零點(diǎn)，∴，即，令h（x）=ex﹣x，則h（x）=m有兩解x1，x2．令h'（x）=ex﹣1=0得x=0，∴﹣m＜x＜0時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＞0，∴h（x）在（﹣m，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增．∵h(yuǎn)（x）=m的兩解x1，x2分別在區(qū)間（﹣m，0）和（0，+∞）上，不妨設(shè)x1＜0＜x2，要證x1+x2＜0，考慮到h（x）在（0，+∞）上遞增，只需證h（x2）＜h（﹣x1），由h（x2）=h（x1）知，只需證h（x1）＜h（﹣x1），令r（x）=h（x）﹣h（﹣x）=ex﹣2x﹣e﹣x，則r′（x）=ex+﹣2≥0，∴r（x）單調(diào)遞增，∵x1＜0，∴r（x1）＜r（0）=0，即h（x1）＜h（﹣x1）成立，即x1+x2＜0成立．20.如圖，在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是PC中點(diǎn)，G為AC上一點(diǎn)．

（1）求證：BD⊥FG；

（2）確定點(diǎn)G在線段AC上的位置，使FG//平面PBD，并說(shuō)明理由．

（3）當(dāng)二面角B—PC—D的大小為時(shí)，求PC與底面ABCD所成角的正切值．

參考答案：方法一：（I）面ABCD，四邊形ABCD是正方形，

其對(duì)角線BD，AC交于點(diǎn)E，∴PA⊥BD，AC⊥BD

∴BD⊥平面APC，平面PAC，∴BD⊥FG

…………4分

（II）當(dāng)G為EC中點(diǎn)，即時(shí)，F(xiàn)G//平面PBD，

…………5分

理由如下：

連接PE，由F為PC中點(diǎn)，G為EC中點(diǎn)，知FG//PE，

而FG平面PBD，PB平面PBD，

故FG//平面PBD．

…………8分

（III）作BH⊥PC于H，連結(jié)DH，

∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，

∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，

∴△PCB≌△PCD，

∴DH⊥PC，且DH=BH，

∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角，

…………10分

即

∵PA⊥面ABCD，

∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角

………12分

連結(jié)EH，則

∴PC與底面ABCD所成角的正切值是

…………14分

方法二解：以A為原點(diǎn)，AB，AD，PA所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）

D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,

（I）

…………4分

（II）要使FG//平面PBD，只需FG//EP，

而，

由可得，解得

…Ks5u……7分

故當(dāng)時(shí)，F(xiàn)G//平面PBD

…………8分

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為

則，而

，取z=1，得，

同理可得平面PBC的一個(gè)法向量

設(shè)所成的角為0，

則

即

…………12分

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角，

∴PC與底面ABCD所成角的正切值是

…………14分

21.甲，乙，丙3人投籃，投進(jìn)的概率分別是現(xiàn)3人各投籃1次，求：

（Ⅰ）現(xiàn)有3人各投籃1次，求3人都沒(méi)有投進(jìn)的概率；

（Ⅱ）用ξ表示乙投籃3次的進(jìn)球數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望Eξ.參考答案：解析：（I）記“甲投籃1次投進(jìn)”為事件A1，“乙投藍(lán)1次投進(jìn)”為事件A2，“丙投籃1次投進(jìn)”為事件A3，“3人都沒(méi)有投進(jìn)”為事件A.則

∴3人都沒(méi)有投進(jìn)的概率為.

（II）解法一：隨機(jī)變量ξ的可能值有0，1，2，3.則Eξ=np=3×=.

解法二：ξ的概率分布為ξ0123P

Eξ=0×+1×+2×+3×=.22.如圖，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，PB，PC是⊙O的割線，它們與⊙O分別交于B，D和C，E，延長(zhǎng)CD交PA于M，∠MPC=∠MDP．（Ⅰ）求證：AP∥BE；（Ⅱ）求證：M是AP的中點(diǎn)．參考答案：【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段；相似三角形的性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）由已知題意可得△PMD∽△CMP，