2011-2020年高考數(shù)學真題分類匯編 專題19 數(shù)列的求和問題（教師版含解析）

專題19數(shù)列的求和問題十年大數(shù)據(jù)*全景展示年份題號考點考查內(nèi)容2011理17拆項消去求和法等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì)、等差數(shù)列的前項和公式及拆項相消求和法，運算求解能力2012理16公式法與分組求和法靈活運用數(shù)列知識求數(shù)列問題能力2013卷2理16數(shù)列綜合問題等差數(shù)列的前項和公式及數(shù)列最值問題，函數(shù)與方程思想卷1文17拆項消去求和法等差數(shù)列的通項公式、前項和公式及列項求和法，方程思想卷1理12數(shù)列綜合問題遞推數(shù)列、數(shù)列單調(diào)性、余弦定理、基本不等式應用等基礎知識，綜合利用數(shù)學知識分析解決問題能力2014卷1文17錯位相減法等差數(shù)列的通項公式及錯位相減法，方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想2015卷1理17拆項消去求和法利用數(shù)列利用前項和與關(guān)系求通項公式、等差數(shù)列定義及通項公式、利用拆項消去法數(shù)列求和2016卷3理12數(shù)列綜合問題對新概念的理解和應用新定義列出滿足條件的數(shù)列卷1理17公式法與分組求和法等差數(shù)列通項公式與前項和公式、對新概念的理解與應用，分組求和法2017卷3文17拆項消去求和法利用數(shù)列利用前項和與關(guān)系求通項公式及利用拆項消去法數(shù)列求和卷2理15拆項消去求和法等差數(shù)列基本量的運算等差數(shù)列通項公式、前項和公式及拆項消去求和法，方程思想卷1理12數(shù)列綜合問題等比數(shù)列的前項和公式、等差數(shù)列前項和公式，邏輯推理能力2020卷2文12等差數(shù)列等差數(shù)列通項公式、前項和公式卷3理17數(shù)列綜合問題數(shù)學歸納法，錯位相減法求數(shù)列的和文17等差數(shù)列與等比數(shù)列等比數(shù)列通項公式，等差數(shù)列前項和公式大數(shù)據(jù)分析*預測高考考點出現(xiàn)頻率2021年預測考點61公式法與分組求和法1/132021年高考數(shù)列求和部分仍將重點拆線消去法和錯位相減法及與不等式恒成立等相關(guān)的數(shù)列綜合問題，求和問題多為解答題第二問，難度為中檔，數(shù)列綜合問題為小題壓軸題，為難題考點62裂項相消法求和5/13考點63錯位相減法2/13考點64并項法與倒序求和法1/13考點65數(shù)列綜合問題4/13十年試題分類*探求規(guī)律考點61公式法與分組求和法1．(2020全國Ⅱ文14)記為等差數(shù)列的前項和，若，則．【答案】【思路導引】∵是等差數(shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前項和，即可求得答案．【解析】是等差數(shù)列，且．設等差數(shù)列的公差，根據(jù)等差數(shù)列通項公式：，可得，即：，整理可得：，解得：．根據(jù)等差數(shù)列前項和公式：，可得：，．故答案為：．2．(2020浙江11)已知數(shù)列滿足，則．【答案】10【思路導引】根據(jù)通項公式可求出數(shù)列的前三項，即可求出．【解析】由題意可知，，，，故答案為：10．3．(2020山東14)將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則的前項和為．【答案】【思路導引】首先判斷出數(shù)列與項的特征，從而判斷出兩個數(shù)列公共項所構(gòu)成新數(shù)列的首項以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結(jié)果．【解析】因為數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個數(shù)列的公共項所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項和為，故答案為：．4．(2012新課標，理16)數(shù)列{}滿足，則{}的前60項和為．【答案】1830【解析】由題設知，=1，①=3②=5③=7，=9，=11，=13，=15，=17，=19，，……，∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，…，∴，，，…，是各項均為2的常數(shù)列，，，，…是首項為8，公差為16的等差數(shù)列，∴{}的前60項和為=1830．5．(2020山東18)已知公比大于的等比數(shù)列滿足，．(1)求的通項公式；(2)記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)；(2)．【思路導引】(1)利用基本元的思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，求解出，由此求得數(shù)列的通項公式；(2)通過分析數(shù)列的規(guī)律，由此求得數(shù)列的前項和．【解析】(1)由于數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，設首項為，公比為，依題意有，解得，所以，所以數(shù)列的通項公式為．(2)由于，所以對應的區(qū)間為：，則；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個．所以．6．(2016?新課標Ⅱ，理17)為等差數(shù)列的前項和，且，，記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，．(Ⅰ)求，，；(Ⅱ)求數(shù)列的前1000項和．【解析】(Ⅰ)為等差數(shù)列的前項和，且，，．可得，則公差．，，則，，．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，．，．數(shù)列的前1000項和為：．7．(2015湖南)設數(shù)列的前項和為，已知，且．(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)求．【解析】(Ⅰ)由條件，對任意，有，因而對任意，有，兩式相減，得，即，又，所以，故對一切，．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，所以，于是數(shù)列是首項，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列是首項，公比為3的等比數(shù)列，所以，于是．從而，綜上所述，8．(2013安徽)設數(shù)列滿足，，且對任意，函數(shù)，滿足(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式；(Ⅱ)若，求數(shù)列的前項和．【解析】(Ⅰ)由，所以，∴是等差數(shù)列．而，，，，(Ⅱ)考點62裂項相消法求和1．(2020浙江20)已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．(Ⅰ)若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與an的通項公式；(Ⅱ)若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．【答案】(I)；(II)證明見解析【思路導引】(I)根據(jù)，求得，進而求得數(shù)列的通項公式，利用累加法求得數(shù)列的通項公式．(II)利用累乘法求得數(shù)列的表達式，結(jié)合裂項求和法證得不等式成立．【解析】(I)依題意，而，即，由于，∴解得，∴．∴，故，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴．∴．∴，故()．∴．(II)依題意設，由于，∴，故．∴．由于，∴，∴，即．2．(2017?新課標Ⅱ，理15)等差數(shù)列的前項和為，，，則．【答案】【解析】等差數(shù)列的前項和為，，，，可得，數(shù)列的首項為1，公差為1，∴，∴，則．3．(2017?新課標Ⅲ，文17)設數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【解析】(1)數(shù)列滿足．時，．．．當時，，上式也成立．．(2)．數(shù)列的前項和．4．(2015新課標Ⅰ，理17)為數(shù)列{}的前n項和．已知＞0，=QUOTE．(Ⅰ)求{}的通項公式：(Ⅱ)設QUOTE,求數(shù)列QUOTE}的前n項和【解析】(Ⅰ)當時，，因為，所以=3，當時，==，即，因為，所以=2，所以數(shù)列{}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，所以=；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，=，所以數(shù)列{}前n項和為==．5．(2013新課標Ⅰ，文17)已知等差數(shù)列｛｝的前n項和滿足=0，=-5．(Ⅰ)求｛｝的通項公式；(Ⅱ)求數(shù)列{}的前n項和．【解析】(Ⅰ)由=0，=-5得，，，解得=1，=-1，∴=；(Ⅱ)由已知=，∴==，∴數(shù)列{}的前n項和為===．6．(2011新課標，理17)等比數(shù)列{}的各項均為整數(shù)，且=1，=，(Ⅰ)求數(shù)列{}的通項公式；(Ⅱ)設=，求數(shù)列{}的前項和．【解析】(Ⅰ)設數(shù)列{}的公比為，由=得=，所以=，由條件可知＞0，故=．由=1得=1，所以=，故數(shù)列{}的通項公式為=．(Ⅱ)===故==，==所以數(shù)列{}的前項和為．7．(2016年天津高考)已知是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為，對任意的，是和的等差中項．(Ⅰ)設，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(Ⅱ)設，求證：【解析】(Ⅰ)由題意得，有，因此，所以數(shù)列是等差數(shù)列．(Ⅱ) ．所以．8．(2011安徽)在數(shù)1和100之間插入個實數(shù)，使得這個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個數(shù)的乘積記作，再令．(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式；(Ⅱ)設求數(shù)列的前項和．【解析】(Ⅰ)設構(gòu)成等比數(shù)列，其中則①②①×②并利用(Ⅱ)由題意和(Ⅰ)中計算結(jié)果，知另一方面，利用得所以9．(2014山東)已知等差數(shù)列的公差為2，前項和為，且，，成等比數(shù)列．(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式；(Ⅱ)令=求數(shù)列的前項和．【解析】(Ⅰ)解得(Ⅱ)，當為偶數(shù)時．10．(2013廣東)設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足，，且構(gòu)成等比數(shù)列．(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)求數(shù)列的通項公式；(Ⅲ)證明：對一切正整數(shù)，有．【解析】(Ⅰ)當時，，(Ⅱ)當時，，,當時，是公差的等差數(shù)列．構(gòu)成等比數(shù)列，，，解得,由(Ⅰ)可知，是首項,公差的等差數(shù)列．數(shù)列的通項公式為．(Ⅲ)考點63錯位相減法1．(2020全國Ⅲ理17)設等差數(shù)列滿足．(1)計算，猜想的通項公式并加以證明；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)；(2)．【思路導引】(1)利用遞推公式得出，猜想得出的通項公式，利用數(shù)學歸納法證明即可；(2)由錯位相減法求解即可．【解析】(1)由，，，，…猜想的通項公式為．證明如下：(數(shù)學歸納法)當時，顯然成立；(1)假設時，即成立；其中，由(2)故假設成立，綜上(1)(2)，∴(2)解法一：令，則前項和(1)由(1)兩邊同乘以2得：(2)由(1)(2)的，化簡得．解法二：由(1)可知，，①，②由①②得：，即．2．(2014新課標I，文17)已知{}是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根。(=1\*ROMANI)求{}的通項公式；(=2\*ROMANII)求數(shù)列{}的前項和．【解析】(=1\*ROMANI)設數(shù)列{}的公差為，方程兩根為2,3，由題得=2，=3，在-=2，故=，∴=，∴數(shù)列{}的通項公式為=．……6分(=2\*ROMANII)設數(shù)列{}的前項和為，由(=1\*ROMANI)知，=，則=，①=，②①-②得===，∴=．……12分3．(2015浙江)已知數(shù)列和滿足，，，，．(Ⅰ)求與；(Ⅱ)記數(shù)列的前項和為，求．【解析】(Ⅰ)由，，得．當時，故．當時，整理得所以．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，故，，所以．4．(2013湖南)設為數(shù)列{}的前項和，已知，2，N(Ⅰ)求，，并求數(shù)列的通項公式；(Ⅱ)求數(shù)列｛｝的前項和．【解析】(Ⅰ)-(Ⅱ)上式左右錯位相減：。5．(2016年山東高考)已知數(shù)列的前n項和，是等差數(shù)列，且(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式；(Ⅱ)令求數(shù)列的前n項和Tn．【解析】(Ⅰ)因為數(shù)列的前項和，所以，當時，，又對也成立，所以．又因為是等差數(shù)列，設公差為，則．當時，；當時，，解得，所以數(shù)列的通項公式為．(Ⅱ)由，于是，兩邊同乘以２，得，兩式相減，得．6．(2015湖北)設等差數(shù)列的公差為，前項和為，等比數(shù)列的公比為．已知，，，．(Ⅰ)求數(shù)列，的通項公式；(Ⅱ)當時，記，求數(shù)列的前項和．【解析】(Ⅰ)由題意有，，即．解得或，故或．(Ⅱ)由，知，，故，于是，①．②①-②可得，故．7．(2013山東)設等差數(shù)列的前項和為，且，．(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式；(Ⅱ)設數(shù)列的前項和,且(λ為常數(shù))，令()．求數(shù)列的前項和．【解析】(Ⅰ)設等差數(shù)列的首項為，公差為，由，得，解得，，．因此．(Ⅱ)由題意知：所以時，故，所以，則兩式相減得整理得，所以數(shù)列的前項和．8．(2017山東)已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，．(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式；(Ⅱ)如圖，在平面直角坐標系中，依次連接點，，…，得到折線…，求由該折線與直線，，所圍成的區(qū)域的面積．【解析】(Ⅰ)設數(shù)列的公比為，由已知．由題意得，所以，因為,所以，因此數(shù)列的通項公式為(Ⅱ)過…，向軸作垂線，垂足分別為…，,由(Ⅰ)得記梯形的面積為．由題意，所以…+=…+①又…+②①②得=所以9．(2017天津)已知為等差數(shù)列，前n項和為，是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，,，．(Ⅰ)求和的通項公式；(Ⅱ)求數(shù)列的前n項和．【解析】(Ⅰ)設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為．由已知，得，而，所以．又因為，解得．所以，．由，可得①．由，可得②，聯(lián)立①②，解得，，由此可得．所以，數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為．(Ⅱ)設數(shù)列的前項和為，由，，有，故，，上述兩式相減，得得．所以，數(shù)列的前項和為．10．(2015湖北)設等差數(shù)列的公差為d，前n項和為，等比數(shù)列的公比為q．已知，，，．(Ⅰ)求數(shù)列，的通項公式；(Ⅱ)當時，記，求數(shù)列的前n項和．【解析】(Ⅰ)由題意有，，即．解得或，故或．(Ⅱ)由，知，，故，于是，①．②①-②可得，故．11．(2014四川)設等差數(shù)列的公差為，點在函數(shù)的圖象上()．(Ⅰ)若，點在函數(shù)的圖象上，求數(shù)列的前項和；(Ⅱ)若，函數(shù)的圖象在點處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項和．【解析】(Ⅰ)點在函數(shù)的圖象上，所以，又等差數(shù)列的公差為，所以．因為點在函數(shù)的圖象上，所以，所以．又，所以．(Ⅱ)由，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為所以切線在軸上的截距為，從而，故從而，，所以故．12．(2012浙江)已知數(shù)列的前項和為，且=，n∈N﹡，數(shù)列滿足，．(Ⅰ)求；(Ⅱ)求數(shù)列的前項和．【解析】(Ⅰ)由=，得當=1時，；當2時，，．由，得，．(Ⅱ)由(1)知，所以，，，．考點64并項法與倒序求和法1．(2011安徽)若數(shù)列的通項公式是,則=A．15B．12C．－12D．－15【答案】A【解析】．考點65數(shù)列綜合問題1．(2017?新課標Ⅰ，理12)幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件．為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，其中第一項是，接下來的兩項是，，再接下來的三項是，，，依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù)且該數(shù)列的前項和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是A．440 B．330 C．220 D．110【解析】設該數(shù)列為，設，，則，由題意可設數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，則，可知當為時，數(shù)列的前項和為數(shù)列的前項和，即為，容易得到時，，項，由，，可知，故項符合題意．項，仿上可知，可知，顯然不為2的整數(shù)冪，故項不符合題意．項，仿上可知，可知，顯然不為2的整數(shù)冪，故項不符合題意．項，仿上可知，可知，顯然不為2的整數(shù)冪，故項不符合題意．故選．2．(2016?新課標Ⅲ，理12)定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：共有項，其中項為0，項為1，且對任意，，，，中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)，若，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有A．18個 B．16個 C．14個 D．12個【答案】C【解析】由題意可知，“規(guī)范01數(shù)列”有偶數(shù)項項，且所含0與1的個數(shù)相等，首項為0，末項為1，若，說明數(shù)列有8項，滿足條件的數(shù)列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14個，故選．3．(2013新課標Ⅰ，理12)設△AnBnCn的三邊長分別為an,bn,cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1,2,3,…若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝eq\f(cn＋an,2)，cn＋1＝eq\f(bn＋an,2)，則( )A．{Sn}為遞減數(shù)列 B。{Sn}為遞增數(shù)列QUOTE C．{S2n－1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列D．{S2n－1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列 【答案】B【解析】∵=，∴=，∵=，=，∴+=，∴+-=，∵，∴=，由余弦定理得===，∴==，∴==，∵===＞(∵)，∴＞，故為遞增數(shù)列，故選B．4．(2019浙江10)設a，b∈R，數(shù)列{an}中an=a，an+1=an2+b，,則A．當b=時，a10＞10 B．當b=時，a10＞10 C．當b=-2時，a10＞10 D．當b=-4時，a10＞10【答案】A【解析】對于B，令QUOTEx2-λ+14=0，得QUOTEλ=12，

取QUOTEa1=12，所以QUOTE∴a2=12,…,an=12<10，

所以QUOTE∴當QUOTEb=14時，QUOTEa10<10，故B錯誤；

對于C，令QUOTEx2-λ-2=0，得QUOTEλ=2或QUOTEλ=-1，

取QUOTEa1=2，所以QUOTE∴a2=2，所以QUOTE∴當QUOTEb=-2時，QUOTEa10<10，故C錯誤；

對于D，令QUOTEx2-λ-4=0，得QUOTEλ=1±172，取QUOTEa1=1+172，所以QUOTE∴a2=1+172，QUOTE……，QUOTEan=1+172<10，

所以當QUOTEb=-4時，QUOTEa10<10，故D錯誤；

對于A，QUOTEa2=a2+12≥12，QUOTEa3=(a2+12)2+12≥34，QUOTEa4=(a4+a2+34)2+12≥916+12=1716>1，

QUOTEan+1-an>0，QUOTE{an}遞增，當QUOTEn≥4時，QUOTEan+1an=an+12an>1+12=32，所以QUOTE∴a5a4>32a4a5>32???a10a9>32，所以QUOTE∴a10a4>(32)6，所以QUOTE∴a10>72964>10.故A正確．故選A．5．(2015湖北)設，．若p：成等比數(shù)列；q：，則A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件【答案】A【解析】對命題p：成等比數(shù)列，則公比且；對命題，①當時，成立；②當時，根據(jù)柯西不等式，等式成立，則，所以成等比數(shù)列，所以是的充分條件，但不是的必要條件．6．(2020全國Ⅲ文17)設等比數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；(2)設為數(shù)列的前項和．若，求．【答案】(1)；(2)．【思路導引】(1)設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，列出方程組，求得首項和公比，進而求得通項公式；(2)由(1)求出的通項公式，利用等差數(shù)列求和公式求得，根據(jù)已知列出關(guān)于的等量關(guān)系式，求得結(jié)果．【解析】(1)設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，有，解得，所以．(2)令，所以，根據(jù)，可得，整理得，因為，所以．7(2014浙江)設函數(shù)，，，，記，則A．B．C．D．【答案】B【解析】∵在上單調(diào)遞增，可得，，…，，∴=∵在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減∴，…，，，，…，∴===∵在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，可得因此．8．(2013新課標Ⅱ，理16)等差數(shù)列{}前n項和為，=0，=25，則的最小值為．【答案】-49【解析】由題知，，解得，∴=，∴=，設=，∴==，當0≤≤6時，＜0，當≥7時，＞0，=-49＞=－24，故的最小值為-49．9.(2018江蘇)已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列．記為數(shù)列的前項和，則使得成立的的最小值為．【答案】27【解析】所有的正奇數(shù)和()按照從小到大的順序排列構(gòu)成，在數(shù)列中，前面有16個正奇數(shù)，即，．當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；……；當時，=441+62=503<，不符合題意；當時，=484+62=546>=540，符合題意．故使得成立的的最小值為27．10．(2015陜西)中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2015，則該數(shù)列的首項為．【答案】5【解析】設數(shù)列的首項為，則，所以，故該數(shù)列的首項為．11．(2019江蘇20)定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”．(1)已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證：數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；(2)已知數(shù)列{bn}滿足：，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項和．①求數(shù)列{bn}的通項公式；②設m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}，對任意正整數(shù)k，當k≤m時，都有成立，求m的最大值．【解析】(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q，所以a1≠0，q≠0．由，得，解得．因此數(shù)列為“M—數(shù)列”．(2)①因為，所以．由，得，則．由，得，當時，由，得，整理得．所以數(shù)列{bn}是首項和公差均為1的等差數(shù)列．因此，數(shù)列{bn}的通項公式為bn=n．②由①知，bk=k，．因為數(shù)列{cn}為“M–數(shù)列”，設公比為q，所以c1=1，q>0．因為ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m．當k=1時，有q≥1；當k=2，3，…，m時，有．設f(x)=，則．令，得x=e．列表如下：xe(e，+∞)+0–f(x)極大值因為，所以．取，當k=1，2，3，4，5時，，即，經(jīng)檢驗知也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分別取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，從而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在．因此所求m的最大值小于6．綜上，所求m的最大值為5．12．(2014廣東)設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且滿足．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求數(shù)列的通項公式；(Ⅲ)證明：對一切正整數(shù)，有【解析】(Ⅰ)，所以(Ⅱ)(Ⅲ)當時，13．(2019江蘇20)定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”．(1)已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證：數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；(2)已知數(shù)列{bn}滿足：，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項和．①求數(shù)列{bn}的通項公式；②設m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}，對任意正整數(shù)k，當k≤m時，都有成立，求m的最大值．【解析】(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q，所以a1≠0，q≠0．由，得，解得．因此數(shù)列為“M—數(shù)列”．(2)①因為，所以．由，得，則．由，得，當時，由，得，整理得．所以數(shù)列{bn}是首項和公差均為1的等差數(shù)列．因此，數(shù)列{bn}的通項公式為bn=n．②由①知，bk=k，．因為數(shù)列{cn}為“M–數(shù)列”，設公比為q，所以c1=1，q>0．因為ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m．當k=1時，有q≥1；當k=2，3，…，m時，有．設f(x)=，則．令，得x=e．列表如下：xe(e，+∞)+0–f(x)極大值因為，所以．取，當k=1，2，3，4，5時，，即，經(jīng)檢驗知也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分別取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，從而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在．因此所求m的最大值小于6．綜上，所求m的最大值為5．14．(2018江蘇)設是首項為，公差為的等差數(shù)列，是首項為，公比為的等比數(shù)列．(1)設，若對均成立，求的取值范圍；(2)若，證明：存在，使得對均成立，并求的取值范圍(用表示)．【解析】(1)由條件知：,．因為對=1，2，3，4均成立，即對=1，2，3，4均成立，即11，13，35，79，得．因此，的取值范圍為．(2)由條件知：,．若存在，使得(=2，3，···，+1)成立，即(=2，3，···，+1)，即當時，滿足．因為，則，從而，，對均成立．因此，取=0時，對均成立．下面討論數(shù)列的最大值和數(shù)列的最小值()．①當時，，當時，有，從而．因此，當時，數(shù)列單調(diào)遞增，故數(shù)列的最大值為．②設，當時，，所以單調(diào)遞減，從而．當時，，因此，當時，數(shù)列單調(diào)遞減，故數(shù)列的最小值為．因此，的取值范圍為．15．(2016年四川高考)已知數(shù)列{}的首項為1，為數(shù)列{}的前n項和，，其中q>0，．(I)若成等差數(shù)列，求的通項公式；(Ⅱ)設雙曲線的離心率為，且，證明：．【解析】(Ⅰ)由已知，兩式相減得到．又由得到，故對所有都成立．所以