無錫市某實(shí)驗中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高一年級上冊期末檢測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的

1.下列函數(shù)中在定義域上為減函數(shù)的是（）

A.y=xB.y=lgx

C.y=2rD.y=/

2.函數(shù)y=的定義域為。

2x——3x—2

A(-oo,3]

C.（0,2）u（2,3）D.[0,2）U（2,3]

3.祖晅原理也稱祖氏原理，一個涉及幾何求積的著名命題.內(nèi)容為：“幕勢既同，則積不容異”.“幕”是截面積，“勢”

是幾何體的高.意思是兩個等高的幾何體，如在等高處的截面積相等，體積相等.設(shè)A,5為兩個等高的幾何體，p：

A、8的體積相等，q：A、8在同一高處的截面積相等.根據(jù)祖瞄原理可知，p是g的（）

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.計算2sin2105°-1的結(jié)果等于（

5.含有三個實(shí)數(shù)的集合可表示為｛a,也可表示為｛a?,a+b,0｝,則az顯示2。13的值為（）

D+1

6.G_i_B，Ia1=2,仍|=3,且（3?+2&）,LUa-b則入等于（）

33

A.-B.一一

22

3

C.±—D.1

2

7.在AABC中，AB=c>AC=b.若點(diǎn)。滿足麗=2反，則赤=（）

21-5-2r

A.—br+—cB.—c——b

3333

2f1-12-

C.—b——cD.—br+—c

3333

8.函數(shù)〃x）=log“（x+2）-2（a>0,且aHl）的圖象必過定點(diǎn)

A.（l,o）2）

3i_1o_1

9.比較a=log[5，b=（§）5,c=（§）5的大?。ǎ?/p>

\.c<b<aB.c<a<b

C.a<b<cD.a<c<b

10.“a>0,Z?>0"是“ah>0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C充要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11.命題“天。eR,片—/+1=0”的否定是

12.學(xué)校某研究性學(xué)習(xí)小組在對學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其在40分鐘的一節(jié)課中，注意力指數(shù)y與

聽課時間x（單位：分鐘）之間的關(guān)系滿足如圖所示的圖象，當(dāng)xe（0,12］時，圖象是二次函數(shù)圖象的一部分，其中頂

點(diǎn)A（10,80）,過點(diǎn)8（12,78）；當(dāng)xe［12,40］時，圖象是線段BC,其中C（40,50）.根據(jù)專家研究，當(dāng)注意力指數(shù)大于

62時，學(xué)習(xí)效果最佳.要使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳，則教師安排核心內(nèi)容的時間段為.（寫成區(qū)間形式）

則〃2）=

14.寫出一個定義域為R,周期為兀的偶函數(shù)/（x）=

15.如圖所示，正方體的棱長為1,B'CCBC=0,則/0與HC所成角的度數(shù)為

x2,x<0

16.已知函數(shù)/(x)=<4x，若關(guān)于x方程.產(chǎn)（司+（加一3）"（力+加=。恰好有6個不相等的實(shí)數(shù)解,

X+1

則實(shí)數(shù)團(tuán)的取值范圍為.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知定義在（F,-1）D（L”）上的奇函數(shù)“X）滿足：

①/⑶=1;

②對任意的X〉2均有/（x）>0；

③對任意的x>0,y>0,均有/(x+l)+/(y+l)=/(肛+1).

（1）求,”2）的值;

（2）證明〃x）在（1,+8）上單調(diào)遞增;

（3）是否存在實(shí)數(shù)。，使得/（cos2e+asin6）<3對任意的乃）恒成立？若存在，求出。的取值范圍；若不存

在，請說明理由.

|JT

18.已知函數(shù)/(x)=2sin(5X-]),xeR,

77r

(1)求/(三)的值；

(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(3)求/(%)在區(qū)間［三,2m上的最大值和最小值

3

19.計算求值:

,+,og23

(1)In五+2"+(logs3)x(log95)+1g乃°

,、H八4sina+2cosa_

(2)若tana=2,求---------------的值.

3sina-2cosa

20.已知集合4=x|1<x<31,集合3=｛司2/篦<x<1—

(1)當(dāng)m=一1時，求AIJB；

(2)若A=求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍;

(3)若406=0,求實(shí)數(shù)”的取值范圍

21.已知a>0且函數(shù)/(x)=log“(l+x)+log〃(l-x).

(1)求/(x)的定義域;

(2)判斷“X)的奇偶性，并用定義證明;

(3)求使y(x)>o的x取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的

1、C

【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷各個選項即可得出答案.

【詳解】對于A,由函數(shù)y=x,定義域為/?,且在R上遞增，故A不符題意;

對于B,由函數(shù)y=lgx,定義域為(0,+8),且在(0,+8)上遞增，故B不符題意;

對于C,由函數(shù)y=2-',定義域為R,且在A上遞減，故C符合題意

對于D,由函數(shù)y=d,定義域為R,且在R上遞增，故D不符題意.

故選：c

2、D

【解析】由函數(shù)解析式可得關(guān)于自變量的不等式組，其解集為函數(shù)的定義域.

3JC-X2>0r、/[

【詳解】由題設(shè)可得：2，故xe0,2）U（2,3,

2x~-3x-2*0

故選：D.

3、C

【解析】根據(jù)〃與4的推出關(guān)系判斷

【詳解】已知A,8為兩個等高的幾何體，由祖瞄原理知4=〃，而〃不能推出4,可舉反例，兩個相同的圓錐，一

個正置，一個倒置，此時兩個幾何體等高且體積相等，但在同一高處的截面積不相等，則。是q的必要不充分條件

故選：C

4、D

【解析】2sin21050-1=-cos21Ou=cos30=—.選D

2

5,B

bb

【解析】根據(jù)題意，由{a,l}={a2,a+b,0}可得a=0或一=0,

aa

bb

又由一的意義，則際0,必有一二0,

aa

貝！Jb=0,

則{a,0,l}={a2,a,0},則有即a=l或a=?L

集合{a,0,1}中,arl,則必有a=?l,

貝（Ja2012+b2°13=（-1）2012+02013=1,

故選B

點(diǎn)睛：集合的三要素是：確定性、互異性和無序性，集合的表示常用的有三種形式：列舉法，描述法，Verm圖法.研

究一個集合，我們首先要看清楚它的研究對象，是實(shí)數(shù)還是點(diǎn)的坐標(biāo)還是其它的一些元素，這是很關(guān)鍵的一步.

6、A

【解析】利用向量垂直的充要條件列出方程，利用向量的運(yùn)算律展開并代值，即可求出入

【詳解】?：萬5，；,1?6=0,,??（3^+255），，（3日+2瓦）?（幺萬一5）=0,

3

即32M2+（22-3）a-h-2^2=0,A122-18=0,解得后,

故選4

7、A

_______2__2_____22]

【解析】石=萬+而=￡+；而k=￡+:港一畫=）'@一￡）=/+尹故選A

8、C

【解析】因為函數(shù)/（x）=log“（x+2）-2,且有l(wèi)og“l(fā)=0（。>0且。。1）,

令x+2=l,則無=-1,y=-2,

所以函數(shù)/U）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1,-2）.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)/。）=1。8<產(chǎn)（。>0且4彳1）恒過定點(diǎn)（1,0）,屬于基礎(chǔ)題目.

9、D

,3八!

【解析】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出a=logi彳<°,再根據(jù)幕函數(shù)丫_尤不在（°，+00）上單調(diào)遞減判斷出

1-12--

（力5>（￡）5>0,即可確定大小關(guān)系.

.3_]」2--

【詳解】因為。=logi2<0,（1）5>（1）5>0,所以“<c</7

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查利用對數(shù)函數(shù)及幕函數(shù)的單調(diào)性比較數(shù)的大小，屬于基礎(chǔ)題.

10、A

【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】???“0>（）,一>0"可推出“">0”,

"必>0"不能推出"a>0,b>On,例如a=-2,匕=-3時，ab>Q>

...“a>0,b>0”是“ab>0”充分不必要條件.

故選：A

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11、Vxe/?,x2-x+10

【解析】特稱命題的否定.

【詳解】命題“三改）€民￥-/+1=0”的否定是VXWRY-X+I工0

【點(diǎn)睛】本題考查特稱命題的否定,屬于基礎(chǔ)題；對于含有量詞的命題的否定要注意兩點(diǎn):一是要改換量詞，即把全稱（特

稱）量詞改為特稱（全稱）量詞，二是注意要把命題進(jìn)行否定.

12、（4,28）

【解析】當(dāng)xe(O,12］時，設(shè)/(x)=a(x-10)2+80,把點(diǎn)(12,78)代入能求出解析式；當(dāng)xe［12,40］時，^y=kx+b,

把點(diǎn)8(12,78)、C(40,50)代入能求出解析式，結(jié)合題設(shè)條件，列出不等式組，即可求解.

詳解】當(dāng)xe(0,12］時，設(shè)/(x)=a(x-10)2+80,

過點(diǎn)(12,78)代入得，a=--

2

則/(x)=-1(X-10)2+80,

當(dāng)xG(12,40］時，

設(shè)尸區(qū)+瓦過點(diǎn)5(12,78)、C(40,50)

'k=-1

得1,即y=-x+90,

，=90

0<x<12

由題意得，11212<x<40

或<

-^(X-10)2+80>62[-x+90>62

得4V爛12或12<x<28,

所以4<x<28,

則老師就在xG(4,28)時段內(nèi)安排核心內(nèi)容，能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳，

故答案為：(4,28)

【點(diǎn)睛】本題考查解析式的求法，考查不等式組的解法，解題時要認(rèn)真審題，注意待定系數(shù)法的合理運(yùn)用，屬于中檔

題

13、0

【解析】令x=l代入即可求出結(jié)果.

【詳解】令x=l,則/(2)=/。+1)=1-1=().

【點(diǎn)睛】本題主要考查求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題型.

14、cos2x(答案不唯一)

【解析】結(jié)合定義域與周期與奇偶性，寫出符合要求的三角函數(shù)即可.

【詳解】y=cos2x滿足定義域為R,最小正周期丁=三27r=兀，且為偶函數(shù)，符合要求.

故答案為：cos2A;

15、30°

【解析】,.KC〃AC,.,.40與所成的角就是NO4c(或其補(bǔ)角).

VOCu平面8877C,48JL平面B877C,

：.OC±AB.XOC±OB,ABnBO=B,

，OC_L平面AB。.又AOu平面ABO,

：.OCA.OA.^Rt^AOC^,OC=—,AC=V2,sinZOAC=—=-，AZ6)AC=30°.

2AC2

即AO與所成角度數(shù)為30。.

點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決,

具體步驟如下:

①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

③計算：求該角的值，常利用解三角形；

④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是,當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角

16、

【解析】作出函數(shù)”x)的簡圖，換元，結(jié)合函數(shù)圖象可知原方程有6根可化為產(chǎn)+(加一3)/+加=0在區(qū)間(0,2)上有

兩個不等的實(shí)根，列出不等式組求解即可.

【詳解】當(dāng)工結(jié)合，，雙勾，，函數(shù)性質(zhì)可畫出函數(shù)"X)的簡圖,如下圖,

X

令t=f(x),

則由已知條件知，方程/+(m-3)，+根=0在區(qū)間(0,2)上有兩個不等的實(shí)根,

△=(加一3)2-4m>0,

c3-mc

0<----<2,

則〈2即實(shí)數(shù)加的取值范圍為

/(0)=m>0,

f(2)=3m-2>0,

故答案為:

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖象，二次方程根的分布，換元法，數(shù)形結(jié)合，屬于難題.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)0；(2)詳見解析；

(3)存在，1<。<9.

【解析】(1)利用賦值法即求；

(2)利用單調(diào)性的定義，由題可得/(』)+/迨二；+1=f(玉一1)『+1=/(々)，結(jié)合條件可得

“與)</5)，即證;

(3)利用賦值法可求/[-||=/(9)=3,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可把問題轉(zhuǎn)化為，是否存在實(shí)數(shù)。，使得『-神-g>0

或1<1-"+4<9在fw(0,1]恒成立，然后利用參變分離法即求.

【小問1詳解】

?.?對任意的x>0,y>Q,均有/(x+l)+/(y+l)=/(肛+1),

令x=y=l,!5iJ/(l+l)+/(l+l)=/(l+l),

???"2)=0；

【小問2詳解】

Vx,,%,e(l,-Fw),且西<々，貝II

-1+1

++l=/(%—1+1)+/^7?+1=于(X')^77=/(工2)

1％—1玉一IXj—1J

又受三+1〉1+1=2,對任意的x〉2均有/(x)>0,

玉一1

???/(')</(9)

函數(shù)/(X)在(1,小)上單調(diào)遞增.

【小問3詳解】

?.?函數(shù)/(x)為奇函數(shù)且在(1,位)上單調(diào)遞增,

函數(shù)/（X）在（e,-1）上單調(diào)遞增,

令x=y=2,可得/（5）=2/（3）=2,令x=2,y=4,可得/（9）=/（3）+/（5）=3,

又八8+1）+/（+1=/8x11+1=0,

8

???/卜1）=/（9）=3'又函數(shù)””在（1,同上單調(diào)遞增’仆）在（—8,-1）上單調(diào)遞增’

:.由/（COS28+asin夕）<3,可得cos?8+asin6<-弓或1<cos2。+asin0<9>

O

。9,、

即是否存在實(shí)數(shù)。,使得cos28+。3118<-6或1<cos2。+asin6<9對任意的夕0（o,乃）恒成立，

O

917

令，=sin。，貝!）￡￡（0,1],則對于cos?^4-6?sin^=l-sin28+Qsin6<——恒成立等價于產(chǎn)一〃--->0在，￡（0,1]

88

恒成立，

1717

即----在（0,1]恒成立，又當(dāng)/―>0時，t--------->—oo,

StSt

9

故不存在實(shí)數(shù)a,使得cos9-。+asin。<-一恒成立，

8

對于1vcos2。+asin6<9對任意的9w（。,4）恒成立，等價于1v1-r+afv9在，￡（。,“恒成立，

8

由1<1一/+〃<9，可得/<〃<，+-在，￡（0,1]恒成立，

t

又京=1，，+學(xué)在，G（0，1]上單調(diào)遞減，卜+$=9

t\，人in

，l<a<9,

綜上可得，存在1<a<9使得/（cos?6+asin。）<3對任意的8w（0,%）恒成立.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是配湊/（百）+/（土[+1]=/1（內(nèi)—1）士?+1]=/（工2）,然后利用條

（內(nèi)-1J-1）

17

件可證；第三問的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為否存在實(shí)數(shù)。，使得/-3-胃>0或1<1—產(chǎn)+〃<9在恒成立，再利用參

O

變分離法解決.

一色+4E,型+4上萬（左eZ）

18、（1）1；（2）

33V7

（3）最大值為2,最小值為-1.

【解析】（1）直接利用函數(shù)的關(guān)系式求出函數(shù)的值;

⑵利用整體代換發(fā)即可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

(3)結(jié)合(2),利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而即可求出函數(shù)的最大、小值.

【小問1詳解】

由./'(x)=2sin(1x-y),

得吟)=2s吟等—。)=1；

【小問2詳解】

令一2+2女乃<—x~—<—+2k7r(keZ),

2232v'

整理，得一方+4左萬W軍+4左萬(％eZ),

<rr5n

故函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為一§+4匕r,丁+4br(ZeZ)；

【小問3詳解】

?r"cIZB1n、兀27r［

32363

jr54

結(jié)合⑵可知，函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為一§+4攵肛1-+4也r(keZ),

jr57r

所以函數(shù)f(x)在［彳,受］上單調(diào)遞增，在［丁,2乃］上單調(diào)遞減，

333

故當(dāng)x=2時，函數(shù)取得最小值，且最小值為

STT57r

當(dāng)x=7時，函數(shù)取得最大值，且最大值為了(手)=2.

19、(1)-

2

(2)1

【解析】(1)利用指數(shù)和對數(shù)運(yùn)算法則直接計算可得結(jié)果;

(2)分子分母同除cosa即可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

原式=；+；x2'叫3+(logs3)x+igi」+2+\。/.

2222

小問2詳解】

sincr+2cosatana+22+2

?「tan。=2,—；------------=----------=-----=11?

3sina-2cosa3tana-26-2

20、(1)AuB=|x|-2<x<3}；(2)(-oo,-2];(3)[(),+oo)

【解析】Q)求出集合B,利用并集的定義可求得集合AUB；

(2)利用A=8可得出關(guān)于實(shí)數(shù)機(jī)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)加的取值范圍；

(3)分8=0和兩種情況討