【解析】(滬教版五四制)2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)七年級上冊9.14 公式法 同步分層訓(xùn)練基礎(chǔ)卷

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(滬教版五四制)2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)七年級上冊9.14公式法同步分層訓(xùn)練基礎(chǔ)卷

一、選擇題

1．（2023七下·溫州期末）下列因式分解正確的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知識點(diǎn)】因式分解﹣公式法

【解析】【解答】解：∵（x+2）2=x2+4x+4，

∴A、B、C選項(xiàng)都是錯(cuò)誤的，不符合題意，只有D選項(xiàng)正確，符合題意.

故答案為：D.

【分析】將一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的乘積形式的恒等變形就是因式分解，由于四個(gè)選項(xiàng)的右邊都是一樣的，故利用完全平方公式將幾個(gè)選項(xiàng)的右邊展開即可判斷得出答案.

2．（2023八下·連平期末）下列各多項(xiàng)式的因式分解中，正確的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知識點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法

【解析】【解答】解：A、a2-6a+9=（a-3）2，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、a2-4b2=（a-2b）（a+2b），故此選項(xiàng)正確，符合題意；

C、8x2+12x=4x（2x+3），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D、x2+4y2不能進(jìn)行因式分解，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)完全平方公式a2-2ab+b2=（a-b）2，可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)a2-b2=(a-b)(a+b)可判斷B、D選項(xiàng)；根據(jù)提取公因式法分解因式及因式分解必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止，可判斷C選項(xiàng).

3．（2023·杭州）分解因式：（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知識點(diǎn)】因式分解﹣公式法

【解析】【解答】解：4a2-1=（2a）2-1=（2a-1）（2a+1）.

故答案為：A.

【分析】直接利用平方差公式分解即可.

4．（2023七下·嘉興期末）下列由左邊到右邊的變形中，屬于因式分解的是()

A．B．

C．D．

【答案】D

【知識點(diǎn)】因式分解的定義；因式分解﹣公式法

【解析】【解答】解：A、x2-2x+1=（x-1）2，故A不符合題意；

B、x+2y=（x+y）+y，不是因式分解，故B不符合題意；

C、（x+2）2=x2+4x+4，不是因式分解，故C不符合題意；

D、x2-1=（x+!）（x-1），是因式分解，故D符合題意；

故答案為：D

【分析】因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積形式，再對各選項(xiàng)逐一判斷.

5．（2023八下·二七期末）小南是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：分別對應(yīng)下列六個(gè)字：你、愛、中、數(shù)、學(xué)、國，現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）

A．你愛數(shù)學(xué)B．你愛學(xué)C．愛中國D．中國愛你

【答案】D

【知識點(diǎn)】因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法

【解析】【解答】解：，

，

，

對應(yīng)的字為：中、愛、國、你，

故答案為：D.

【分析】先提取公因式，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解，然后找到對應(yīng)的字得到密碼信息.

6．（2023七下·寶應(yīng)期末）下列因式分解正確的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知識點(diǎn)】因式分解的定義；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法

【解析】【解答】解：A右邊不是乘積的形式，故不是因式分解；

B、3a+3b=3(a+b)，屬于因式分解，且正確，符合題意；

C、a2+4a+4=(a+2)2，故錯(cuò)誤；

D、a2-b2=(a+b)(a-b)，故錯(cuò)誤.

故答案為：B.

【分析】把一個(gè)多項(xiàng)式在一個(gè)范圍化為幾個(gè)整式的積的形式，這種式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式，據(jù)此判斷即可.

7．（2023七下·義烏期末）下列多項(xiàng)式中，能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（）

A．m2-4B．-m2-4C．m2+4D．m2+m

【答案】A

【知識點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法

【解析】【解答】解：A、，屬于用平方差公式進(jìn)行因式分解，A正確；

B、不能因式分解，B錯(cuò)誤；

C、不能因式分解，C錯(cuò)誤；

D、，屬于提取公因式進(jìn)行因式分解，D錯(cuò)誤，

故答案為：A.

【分析】兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積；

如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么可把該公因式提取出來進(jìn)行因式分解，這種分解因式的方法，叫做提取公因式法.

8．（2023七下·義烏期末）定義：兩個(gè)自然數(shù)的平方和加上這兩個(gè)自然數(shù)乘積的兩倍即可得到一個(gè)新的自然數(shù)，我們把這個(gè)新的自然數(shù)稱為“完全數(shù)”.例如：22+32+2×2×3＝25，其中“25”就是一個(gè)“完全數(shù)”.則任取兩個(gè)自然數(shù)可得到小于200且不重復(fù)的“完全數(shù)”的個(gè)數(shù)有（）

A．14個(gè)B．15個(gè)C．26個(gè)D．60個(gè)

【答案】B

【知識點(diǎn)】因式分解﹣公式法

【解析】【解答】解：設(shè)兩個(gè)自然數(shù)分別為、，

則，

小于200且不重復(fù)的''完全數(shù)''可以是：

0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，

共15個(gè)，

故答案為：B.

【分析】根據(jù)新定義所給的計(jì)算公式可知，完全數(shù)等于某個(gè)自然數(shù)的平方.

二、填空題

9．（2023·北京）分解因式：=.

【答案】

【知識點(diǎn)】因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法

【解析】【解答】解：由題意得，

故答案為：

【分析】根據(jù)提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解，進(jìn)而即可求解。

10．（2023七下·玄武期末）分解因式的結(jié)果是

【答案】

【知識點(diǎn)】因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法

【解析】【解答】解：m3-4m=m(m2-4)=m(m+2)(m-2).

故答案為：m(m+2)(m-2).

【分析】首先提取公因式m，然后利用平方差公式進(jìn)行分解.

11．（2023七下·平南期末）在日常生活中常用到密碼，如取款、上網(wǎng)等，有一種“因式分解”法產(chǎn)生密碼，方便記憶.如：對于多項(xiàng)式，因式分解的結(jié)果是，若取，時(shí)，則各個(gè)因式的值是：，，.于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼，對于多項(xiàng)式，取，時(shí)，用上述方法產(chǎn)生的密碼是（寫出一個(gè)即可）

【答案】801030

【知識點(diǎn)】因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法

【解析】【解答】解：，

，，

，，，

密碼是801030，

故答案為：801030.

【分析】先對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，再代入x、y求每個(gè)因式的值，然后排列成密碼.

12．（2023七下·平南期末）因式分解

【答案】

【知識點(diǎn)】因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法

【解析】【解答】解：，

故答案為：.

【分析】先提取公因式，再運(yùn)用完全平方公式分解因式.

三、計(jì)算題

13．（2023七下·嘉興期末）分解因式：

（1）

（2）

【答案】（1）解：=；

（2）解：

【知識點(diǎn)】因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法

【解析】【分析】（1）觀察此多項(xiàng)式的特點(diǎn)：含有兩項(xiàng)，都能化成平方形式，且符號相反，因此利用平方差公式分解因式.

（2）觀察此多項(xiàng)式的特點(diǎn)：含有三項(xiàng)，且含有公因數(shù)2，因此先提取公因數(shù)，再利用完全平方公式分解因式.

四、解答題

14．（2023八下·高州月考）張明和李曉一起將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式，張明因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成，李明因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)而分解成，那么請你將原多項(xiàng)式寫出來，并將因式分解正確的結(jié)果寫出來．

【答案】解：∵，

，

∴原多項(xiàng)式為，

∴

【知識點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法

【解析】【分析】根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則可得2(x-9)(x-1)=2x2-20x+18，2(x-4)(x-2)=2x2-12x+16，據(jù)此可得多項(xiàng)式，然后分解即可.

15．（2022七上·黃浦期中）.

【答案】解：

．

【知識點(diǎn)】因式分解﹣公式法

【解析】【分析】將當(dāng)作整體，利用完全平方公式因式分解即可。

五、綜合題

16．（2023八下·高陵月考）某數(shù)學(xué)老師在講因式分解時(shí)，為了提高同學(xué)們的思維能力，他補(bǔ)充了一道這樣的題：對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．有個(gè)學(xué)生解答過程如下：

解：設(shè)．

原式第一步

第二步

第三步

第四步

根據(jù)以上解答過程回答下列問題：

（1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的哪種方法？____（填選項(xiàng)）．

A．提取公因式B．平方差公式

C．兩數(shù)和的完全平方公式D．兩數(shù)差的完全平方公式

（2）對第四步的結(jié)果繼續(xù)因式分解得到結(jié)果為．

（3）請你模仿以上方法對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．

【答案】（1）C

（2）

（3）解：設(shè)．

原式

．

【知識點(diǎn)】因式分解﹣公式法

【解析】【解答】解：（1）分析可得：第二步到第三步運(yùn)用了兩數(shù)和的完全平方公式；

（2）(a2+4a+4)2=(a+2)4.

【分析】（1）分析第二步到第三步的過程即可判斷；

（2）對第四步括號中的式子利用完全平方公式分解即可；

（3）設(shè)x2-6x=b，則原式=b(b+18)+81=b2+18b+81，再利用完全平方公式進(jìn)行分解.

17．（2023七下·石阡期中）（1）運(yùn)用整式乘法公式簡便計(jì)算：；

（2）因式分解：．

【答案】（1）解：

；

（2）解：

【知識點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用；因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法

【解析】【分析】（1）利用完全平方公式計(jì)算求解即可；

（2）利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。

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一、選擇題

1．（2023七下·溫州期末）下列因式分解正確的是（）

A．B．

C．D．

2．（2023八下·連平期末）下列各多項(xiàng)式的因式分解中，正確的是（）

A．B．

C．D．

3．（2023·杭州）分解因式：（）

A．B．

C．D．

4．（2023七下·嘉興期末）下列由左邊到右邊的變形中，屬于因式分解的是()

A．B．

C．D．

5．（2023八下·二七期末）小南是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：分別對應(yīng)下列六個(gè)字：你、愛、中、數(shù)、學(xué)、國，現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）

A．你愛數(shù)學(xué)B．你愛學(xué)C．愛中國D．中國愛你

6．（2023七下·寶應(yīng)期末）下列因式分解正確的是（）

A．B．

C．D．

7．（2023七下·義烏期末）下列多項(xiàng)式中，能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（）

A．m2-4B．-m2-4C．m2+4D．m2+m

8．（2023七下·義烏期末）定義：兩個(gè)自然數(shù)的平方和加上這兩個(gè)自然數(shù)乘積的兩倍即可得到一個(gè)新的自然數(shù)，我們把這個(gè)新的自然數(shù)稱為“完全數(shù)”.例如：22+32+2×2×3＝25，其中“25”就是一個(gè)“完全數(shù)”.則任取兩個(gè)自然數(shù)可得到小于200且不重復(fù)的“完全數(shù)”的個(gè)數(shù)有（）

A．14個(gè)B．15個(gè)C．26個(gè)D．60個(gè)

二、填空題

9．（2023·北京）分解因式：=.

10．（2023七下·玄武期末）分解因式的結(jié)果是

11．（2023七下·平南期末）在日常生活中常用到密碼，如取款、上網(wǎng)等，有一種“因式分解”法產(chǎn)生密碼，方便記憶.如：對于多項(xiàng)式，因式分解的結(jié)果是，若取，時(shí)，則各個(gè)因式的值是：，，.于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼，對于多項(xiàng)式，取，時(shí)，用上述方法產(chǎn)生的密碼是（寫出一個(gè)即可）

12．（2023七下·平南期末）因式分解

三、計(jì)算題

13．（2023七下·嘉興期末）分解因式：

（1）

（2）

四、解答題

14．（2023八下·高州月考）張明和李曉一起將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式，張明因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成，李明因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)而分解成，那么請你將原多項(xiàng)式寫出來，并將因式分解正確的結(jié)果寫出來．

15．（2022七上·黃浦期中）.

五、綜合題

16．（2023八下·高陵月考）某數(shù)學(xué)老師在講因式分解時(shí)，為了提高同學(xué)們的思維能力，他補(bǔ)充了一道這樣的題：對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．有個(gè)學(xué)生解答過程如下：

解：設(shè)．

原式第一步

第二步

第三步

第四步

根據(jù)以上解答過程回答下列問題：

（1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的哪種方法？____（填選項(xiàng)）．

A．提取公因式B．平方差公式

C．兩數(shù)和的完全平方公式D．兩數(shù)差的完全平方公式

（2）對第四步的結(jié)果繼續(xù)因式分解得到結(jié)果為．

（3）請你模仿以上方法對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．

17．（2023七下·石阡期中）（1）運(yùn)用整式乘法公式簡便計(jì)算：；

（2）因式分解：．

答案解析部分

1．【答案】D

【知識點(diǎn)】因式分解﹣公式法

【解析】【解答】解：∵（x+2）2=x2+4x+4，

∴A、B、C選項(xiàng)都是錯(cuò)誤的，不符合題意，只有D選項(xiàng)正確，符合題意.

故答案為：D.

【分析】將一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的乘積形式的恒等變形就是因式分解，由于四個(gè)選項(xiàng)的右邊都是一樣的，故利用完全平方公式將幾個(gè)選項(xiàng)的右邊展開即可判斷得出答案.

2．【答案】B

【知識點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法

【解析】【解答】解：A、a2-6a+9=（a-3）2，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、a2-4b2=（a-2b）（a+2b），故此選項(xiàng)正確，符合題意；

C、8x2+12x=4x（2x+3），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D、x2+4y2不能進(jìn)行因式分解，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)完全平方公式a2-2ab+b2=（a-b）2，可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)a2-b2=(a-b)(a+b)可判斷B、D選項(xiàng)；根據(jù)提取公因式法分解因式及因式分解必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止，可判斷C選項(xiàng).

3．【答案】A

【知識點(diǎn)】因式分解﹣公式法

【解析】【解答】解：4a2-1=（2a）2-1=（2a-1）（2a+1）.

故答案為：A.

【分析】直接利用平方差公式分解即可.

4．【答案】D

【知識點(diǎn)】因式分解的定義；因式分解﹣公式法

【解析】【解答】解：A、x2-2x+1=（x-1）2，故A不符合題意；

B、x+2y=（x+y）+y，不是因式分解，故B不符合題意；

C、（x+2）2=x2+4x+4，不是因式分解，故C不符合題意；

D、x2-1=（x+!）（x-1），是因式分解，故D符合題意；

故答案為：D

【分析】因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積形式，再對各選項(xiàng)逐一判斷.

5．【答案】D

【知識點(diǎn)】因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法

【解析】【解答】解：，

，

，

對應(yīng)的字為：中、愛、國、你，

故答案為：D.

【分析】先提取公因式，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解，然后找到對應(yīng)的字得到密碼信息.

6．【答案】B

【知識點(diǎn)】因式分解的定義；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法

【解析】【解答】解：A右邊不是乘積的形式，故不是因式分解；

B、3a+3b=3(a+b)，屬于因式分解，且正確，符合題意；

C、a2+4a+4=(a+2)2，故錯(cuò)誤；

D、a2-b2=(a+b)(a-b)，故錯(cuò)誤.

故答案為：B.

【分析】把一個(gè)多項(xiàng)式在一個(gè)范圍化為幾個(gè)整式的積的形式，這種式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式，據(jù)此判斷即可.

7．【答案】A

【知識點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法

【解析】【解答】解：A、，屬于用平方差公式進(jìn)行因式分解，A正確；

B、不能因式分解，B錯(cuò)誤；

C、不能因式分解，C錯(cuò)誤；

D、，屬于提取公因式進(jìn)行因式分解，D錯(cuò)誤，

故答案為：A.

【分析】兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積；

如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么可把該公因式提取出來進(jìn)行因式分解，這種分解因式的方法，叫做提取公因式法.

8．【答案】B

【知識點(diǎn)】因式分解﹣公式法

【解析】【解答】解：設(shè)兩個(gè)自然數(shù)分別為、，

則，

小于200且不重復(fù)的''完全數(shù)''可以是：

0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，

共15個(gè)，

故答案為：B.

【分析】根據(jù)新定義所給的計(jì)算公式可知，完全數(shù)等于某個(gè)自然數(shù)的平方.

9．【答案】

【知識點(diǎn)】因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法

【解析】【解答】解：由題意得，

故答案為：

【分析】根據(jù)提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解，進(jìn)而即可求解。

10．【答案】

【知識點(diǎn)】因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法

【解析】【解答】解：m3-4m=m(m2-4)=m(m+2)(m-2).

故答案為：m(m+2)(m-2).

【分析】首先提取公因式m，然后利用平方差公式進(jìn)行分解.

11．【答案】801030

【知識點(diǎn)】因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法

【解析】【解答】解：，

，，

，，，

密碼是801030，

故答案為：801030.

【分析】先對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，再代入x、