彈性力學(xué)變分原理的一致性原理

彈性力學(xué)變分原理的一致性原理

廣泛用于數(shù)學(xué)、物理和工程許多領(lǐng)域的變分法是數(shù)學(xué)和物理方法的基本和重要方法。最小勢能原理（以下簡稱pmei）是彈性力學(xué)的典型變分原理。1變分理論的一致性原理彈性力學(xué)變分原理中變量的獨立性問題,是一個爭論的焦點問題.爭論的雙方各執(zhí)一詞,爭執(zhí)不下.筆者認為,討論這個問題,必須站在更高的理論角度來分析.彈性力學(xué)變分理論作為一個數(shù)學(xué)理論,必須滿足數(shù)學(xué)理論的一般性要求或基本要求,這個必要條件就是理論系統(tǒng)的一致性.因而,本文提出了變分理論的一致性原理:當且僅當變分理論的邏輯系統(tǒng)中不存在邏輯矛盾時,該變分理論是一致的.2彈性力學(xué)的基本方程2.1應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系(1)平衡方程:(2)幾何方程(應(yīng)變-位移關(guān)系):(3)物理方程(應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系):或(4)應(yīng)力邊界條件:(5)位移邊界條件:式(1)~(5)中應(yīng)用了愛因斯坦慣例,如2.2本文討論了彈性力學(xué)的變分原理指定泛函3拉爾夫理論的不一致性3.1拉士維子的理論3.1.1變分原理與變分原理P1泛函由(7)~(11)式表達的彈性力學(xué)變分原理.P2方程(1),(2),(3a)或(3b),(4)和(5)(本節(jié)中表為(1~5)).P3唯一性定理P4變量獨立性的矛盾律對所討論的任一變分原理而言,任一變量(σP5變量獨立性的排中律對所討論的任一變分原理而言,每一變量(σP6約束性的矛盾律對所討論的任一變分原理而言,由(1~5)式表達的任一方程不能既是約束條件又是自然條件.P7約束性的排中律對所討論的任一變分原理而言,由(1~5)式表達的每一方程必須是約束條件或是自然條件.P8變分原理身份的矛盾律對所討論的彈性力學(xué)問題(1~5)而言,由P1指定的任一變分原理不能既是有約束的變分原理又是無約束的、完全的廣義變分原理.P9變分原理身份的排中律對所討論的彈性力學(xué)問題(1~5)而言,由P1指定的每一變分原理必須是有約束的變分原理或是無約束的、完全的廣義變分原理.3.1.2變分原理的關(guān)系D1對所討論的變分原理而言,當且僅當變量不受由D2和D3定義的任何約束條件的約束時,該變量是獨立的變量.D2在進行正推理(見D5)、逆推理或半逆推理(見D6)的過程中,如果必須把一個代數(shù)方程或者一個微分方程用代入法代入變分原理或者該變分原理的歐拉方程,該代數(shù)方程或者微分方程是該變分原理的約束條件.D3任何兩個泛函由(7)~(11)式表達的變分原理,如果該二泛函的和或差等于0,則該二變分原理等價.使得該等價關(guān)系成立而必須滿足的代數(shù)方程是該二變分原理共同的約束條件.D4變分原理的自然條件是變分原理通過正推理(見D5)而得到的代數(shù)方程或微分方程.D5正推理是從變分原理及其約束條件(如果有的話)出發(fā),按照3.1.3節(jié)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)規(guī)則推導(dǎo)出變分原理的歐拉方程及其后繼方程的推理過程.D6逆推理是從(1~5)式出發(fā),按照3.1.3節(jié)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)規(guī)則推導(dǎo)出變分原理的推理過程.半逆推理是從變分原理出發(fā),按照3.1.3節(jié)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)規(guī)則推導(dǎo)出變形的變分原理的推理過程.D7約束變分原理是具有至少一個約束條件的變分原理.D8廣義變分原理是用拉格朗日乘子法解除約束而建立的變分原理.完全的廣義變分原理是用拉氏乘子法和/或高階拉氏乘子法解除了所有約束條件而建立的變分原理.D9證明是根據(jù)公設(shè)P1~P9和定義D1~D9并遵循推導(dǎo)和推理規(guī)則R1~R9進行的數(shù)學(xué)邏輯推理過程.3.1.3高階拉氏乘子理論中等定理和變分運算規(guī)則R1變分法基本引理(FundamentalLemmaofthecalculusofvariationsR2微分學(xué)的高斯定理(GaussTheorem).R3彈性力學(xué)的剪應(yīng)力互等定理(σR4代數(shù)、微分、積分和變分運算規(guī)則.R5正推理(見D5)中的代入法.這是一種解除約束的方法.R6拉氏乘子法(一階的和高階的).這是半逆推理(見D6)中解除約束的方法.R7逆推理或半逆推理(見D6)中的代入法.這是向變分原理引入約束條件的方法.R8逆推理(見D6)中的權(quán)余法(weighted-residualmethod).這是給變分原理引入自然條件的方法.R9在一個約束條件中,至少有一個變量是受到約束的,因而該變量是不獨立的.在3.2~3.6節(jié)中,我們將在高階拉氏乘子理論的框架內(nèi)給出一些定理及其證明,表明高階拉氏乘子理論存在著矛盾.3.2p3和p8之間的矛盾：理性、證明和評論3.2.1高階拉氏乘子法定理1彈性力學(xué)至少存在著兩個具有約束條件(13)的變分原理的泛函證明(1)由錢根據(jù)D3證明,H-R原理和H-W原理等價,它們都有約束條件(2)錢用高階拉氏乘子法建立了完全的廣義變分原理(3)現(xiàn)在,本文遵照R6用高階拉氏乘子法解除H-R原理的約束,結(jié)果建立起H-W原理:式中λ綜合以上證明1,2,3,定理得證.3.2.23.2.1中的定義定理2H-W原理(泛函為3.2.33.2.1和3.2.2段的評論評述Re3.2定理1和公設(shè)P3矛盾;定理2和公設(shè)P8矛盾.3.3相關(guān)限制的矛盾：理性、證明和評論3.3.1和3式引入變分原理定理3式(1)、(3a)和(4)既是MPEP的約束條件,又是MPEP的自然條件.證明(1)錢先生用權(quán)余法把(1)和(4)式引入變分原理,用代入法把(2),(3a)和(5)式引入變分原理.根據(jù)R8,式(1)和(4)成為MPEP的自然條件;根據(jù)R7,式(2)、(3a)和(5)成為MPEP的約束條件(2)現(xiàn)在,本文用權(quán)余法把(3a)引入變分原理,而用代入法把(1)、(2)、(4)和(5)引入變分原理:代(2)入(15)得到于是代(1)入(17),得到式中使用了高斯定理.把(4)和(5)代入(18)從而根據(jù)R8,式(3a)成為MPEP的自然條件;根據(jù)R7,式(1)、(2)、(4)和(5)成為MPEP的約束條件.綜合以上證明1,2,定理得證.3.3.23.3.1段的評論如下評述Re3.3.定理3和公設(shè)P6矛盾.3.4與限制的另一個矛盾：理性、證明和評論3.4.1從約束條件3到mpep的建立定理4式(3a)既是MPEP的約束條件,又是MPEP的自然條件.證明(1)錢偉長給出由(7)并遵照R4,有代(2)入(21)按照R2和R4,得到此式已滿足(5).于是,按照R1得到其歐拉方程(Eulerequations)和根據(jù)P7,必須把應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系(3a)代入(24)和(25),從而使(1)和(4)成為MPEP的自然條件(見D4).根據(jù)D2,式(3a)是一個約束條件.(2)現(xiàn)在,本文給出:由(7)并遵照R4,有由R2、R4,有代(27)入(26),得到根據(jù)P7,必須把(2)和(5)代入(28).根據(jù)D2,它們是約束條件.用代入法(見R5)解除約束,我們得到式中e綜合以上證明1,2,定理得證.3.4.2評論評述Re3.4.定理4和公設(shè)P6矛盾.3.5相關(guān)變量的獨立：理性、證明和評論3.5.1給出和證明定理5變量σ證明錢偉長證明了(3a)是MPEP的約束條件,從而由R9判定σ綜合這兩個證明,定理得證.3.5.2評論3.6變分原則身份的矛盾：肯定、證明和評論3.6.1給出和證明定理6證明錢偉長證明了根據(jù)D3,(30)式意味著(13)式是3.6.2評論評述Re3.6定理6和公設(shè)P8矛盾.3.7錢偉長的邏輯關(guān)系和公設(shè)評述Re3.7彈性力學(xué)變分原理的高階拉格朗日乘子理論是不一致的