北師大高中數(shù)學選擇性必修第一冊第三章課時作業(yè)23 從平面向量到空間向量（含解析）

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第三章課時作業(yè)23從平面向量到空間向量(原卷版)

角

一、選擇題

1.下列說法中正確的是(D)

A.兩個有共同起點且相等的向量，其終點可能不同

B.若非零向量和是共線向量，則A，B，C，D四點共線

C.在空間中，任意兩個單位向量都相等

D.零向量與任意向量平行

2.如圖，在四棱柱的上底面ABCD中，，則下列向量相等的是(D)

A.與

B.與

C.與

D.與

3.下列命題中，假命題是(D)

A.向量與的長度相等

B.兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同

C.只有零向量的模等于0

D.在同一條直線上的單位向量都相等

4.在四邊形ABCD中，若，且|AC|＝|BD|，則四邊形ABCD為(B)

A.菱形B.矩形

C.正方形D.不確定為矩形.故選B.

5.下列命題中，假命題是(D)

A.同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小

B.兩個相等的向量，一定是平行的

C.單位向量的模都為1

D.共線的單位向量都相等

6.在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量是(C)

A.有相同起點的向量

B.等長向量

C.共面向量

D.不共面向量故選C.

7.空間中，起點相同的所有單位向量的終點構(gòu)成的圖形是(D)

A.圓B.球

C.正方形D.球面以起點為球心，半徑為1的球面上.

8.(多選題)給出下列四個命題，真命題是(CD)

A.兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同

B.若空間兩向量a，b滿足|a|＝|b|，則a＝b

C.在正方體ABCD－A1B1C1D1中必有

D.若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p

二、填空題

9.已知正方形ABCD的邊長為4，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，則向量的模為6；向量的模為2.

10.如圖所示，a，b是兩個空間向量，則與是相等向量，與是相反向量.

11.下列命題中：

(1)零向量都相等；

(2)任一向量與它的相反向量不相等；

(3)模為0是一個向量方向不確定的充要條件.正確的是(1)(3).

三、解答題

12.一飛機從地面以45°傾角斜著升空，再水平向東飛行一段距離后，然后又水平向正北方向飛行，這樣三次移動是三個空間向量.問三個向量中哪個與水平面平行

13.如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，在以長方體的八個頂點為始點和終點的向量中：

(1)單位向量共有多少個

(2)試寫出模為的所有向量；

(3)試寫出與向量相等的所有向量；

(4)試寫出向量的相反向量.

14.下列命題錯誤的是(B)

A.空間向量與的長度相等

B.零向量沒有長度，所以它不是空間向量

C.同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量

D.若a＝b，b＝c，則a＝c

15.在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，下列說法錯誤的是(A)

A.和和是共面向量

B.

C.和是平行向量

D.與是平行向量

16.如圖所示是棱長為1的正三棱柱ABC－A1B1C1.

(1)在分別以正三棱柱的任意兩個頂點為起點和終點的向量中，舉出與向量相等的向量；

(2)在分別以正三棱柱的任意兩個頂點為起點和終點的向量中，舉出向量的相反向量；

(3)若E是BB1的中點，舉出與向量平行的向量.

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第三章課時作業(yè)23從平面向量到空間向量(解析版)

一、選擇題

1.下列說法中正確的是(D)

A.兩個有共同起點且相等的向量，其終點可能不同

B.若非零向量和是共線向量，則A，B，C，D四點共線

C.在空間中，任意兩個單位向量都相等

D.零向量與任意向量平行

解析：A項錯誤，因為兩個向量起點相同，且是相等的向量，所以終點必相同；B項錯誤，由已知AB和CD可能平行；C項錯誤，單位向量的模相等，但方向不一定相同.故選D.

2.如圖，在四棱柱的上底面ABCD中，，則下列向量相等的是(D)

A.與

B.與

C.與

D.與

解析：對于A，與的方向相反，因而不是相等向量，所以A錯誤；對于B，與的方向相反，因而不是相等向量，所以B錯誤；對于C，與的方向不是相同方向，因而不是相等向量，所以C錯誤；對于D，與的方向相同，大小相等，屬于相等向量，因而D正確.故選D.

3.下列命題中，假命題是(D)

A.向量與的長度相等

B.兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同

C.只有零向量的模等于0

D.在同一條直線上的單位向量都相等

解析：在同一條直線上的單位向量方向可能相同，也可能相反.故選D.

4.在四邊形ABCD中，若，且|AC|＝|BD|，則四邊形ABCD為(B)

A.菱形B.矩形

C.正方形D.不確定

解析：若，則|AB|＝|DC|，且AB∥DC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，又|AC|＝|BD|，∴四邊形ABCD為矩形.故選B.

5.下列命題中，假命題是(D)

A.同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小

B.兩個相等的向量，一定是平行的

C.單位向量的模都為1

D.共線的單位向量都相等

解析：對于A，向量是有向線段，不能比較大小.真命題；對于B，兩向量相等，則方向相同，平行.真命題；對于C，單位向量：模長為1的向量.真命題；對于D，共線的單位向量是相等向量或相反向量.假命題.故選D.

6.在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量是(C)

A.有相同起點的向量

B.等長向量

C.共面向量

D.不共面向量

解析：先畫出平行六面體的圖象(圖略)，可看出向量、在平面ACD1上，由于向量平行于，所以向量經(jīng)過平移可以移到平面ACD1上，因此向量為共面向量.故選C.

7.空間中，起點相同的所有單位向量的終點構(gòu)成的圖形是(D)

A.圓B.球

C.正方形D.球面

解析：根據(jù)模的概念知終點在以起點為球心，半徑為1的球面上.

8.(多選題)給出下列四個命題，真命題是(CD)

A.兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同

B.若空間兩向量a，b滿足|a|＝|b|，則a＝b

C.在正方體ABCD－A1B1C1D1中必有

D.若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p

解析：對于A，當空間兩個向量的起點、終點分別相同時，這兩個向量必相等，但兩個相等向量的起點不一定相同，終點也不一定相同，故A錯誤；對于B，根據(jù)向量相等的定義，要保證兩向量相等，不僅它們的模要相等，而且方向也要相同，但B中向量a與b的方向不一定相同，故B錯誤；對于C，根據(jù)正方體的性質(zhì)，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，向量和不但方向相同而且長度相等，故必有，所以C正確；對于D，顯然正確.

二、填空題

9.已知正方形ABCD的邊長為4，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，則向量的模為6；向量的模為2.

解析：GC⊥平面ABCD，所以GC⊥AC，GC⊥BC.在Rt△GAC中，AC＝4，GC＝2，所以AG＝＝6，即＝6.同理，在Rt△GBC中，＝2.

10.如圖所示，a，b是兩個空間向量，則與是相等向量，與是相反向量.

解析：＝a，＝b，∴ABC－A'B'C'為三棱柱.

∴.

11.下列命題中：

(1)零向量都相等；

(2)任一向量與它的相反向量不相等；

(3)模為0是一個向量方向不確定的充要條件.正確的是(1)(3).

解析：(1)正確，零向量的模均相等且為0；

(2)不正確，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的；

(3)正確，若一個向量的模為0，則該向量為零向量，該向量的方向不確定.

三、解答題

12.一飛機從地面以45°傾角斜著升空，再水平向東飛行一段距離后，然后又水平向正北方向飛行，這樣三次移動是三個空間向量.問三個向量中哪個與水平面平行

解：應(yīng)把實際問題抽象為數(shù)學問題，飛機水平飛行時與水平面平行，如圖.由圖可知向量與在同一平面內(nèi)，并且向量垂直于這個平面.飛機水平飛行時所經(jīng)過的路線與水平面平行，因而三個向量中和平行于水平面α.

13.如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，在以長方體的八個頂點為始點和終點的向量中：

(1)單位向量共有多少個

(2)試寫出模為的所有向量；

(3)試寫出與向量相等的所有向量；

(4)試寫出向量的相反向量.

解：(1)由于長方體的高為1，所以長方體4條高所對應(yīng)的向量都是單位向量，而其他向量的模均不為1，故單位向量共8個.

(2)由于這個長方體的左右兩側(cè)面的對角線長均為，故模為的向量有，共8個.

(3)與向量相等的所有向量(除它自身之外)共有及，共3個.

(4)向量的相反向量為.

14.下列命題錯誤的是(B)

A.空間向量與的長度相等

B.零向量沒有長度，所以它不是空間向量

C.同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量

D.若a＝b，b＝c，則a＝c

解析：A選項中的兩個向量互為相反向量，所以它們長度相等；空間向量并不是一個立體圖形，只要是存在于立體空間內(nèi)的向量都是空間向量，所以B選項錯誤；C選項是相等向量定義的另外一個說法；我們研究的向量是自由向量，只要向量相等都可以移動到同一起點，所以D選項正確.

15.在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，下列說法錯誤的是(A)

A.和和是共面向量

B.

C.和是平行向量

D.與是平行向量

解析：和和不是平行向量，A錯誤；因為AD1與BC1是面對角線，故，故B正確；AA1∥B1B，故和是平行向量，故C正確；由于AD