h-w原理的重新論證

h-w原理的重新論證

0lagrange乘子法的正確運用多年來，國內(nèi)外力學(xué)界多次采用lagranga乘法原理，強(qiáng)調(diào)了哈氏原理。在這些論證中，一些人強(qiáng)調(diào)了h-w原則和h-r原則，并強(qiáng)調(diào)了確定或識別乘法部分。為了清楚解釋和深入分析這些問題,正確運用Lagrange乘子法,重新論證H-W原理/H-R原理,需要從與之有關(guān)的彈性體本構(gòu)關(guān)系和能量密度的一些基本性質(zhì)談起.1結(jié)構(gòu)關(guān)系和能量密度的一些性質(zhì)1.1基于切線彈性/柔性向量彈性力學(xué)的應(yīng)力-應(yīng)變/應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系的向量形式為其中ε/σ是自變向量,σ/ε是表示函數(shù)對應(yīng)律的向量函數(shù)的記號,不能與等號左端的因變向量σ/ε相混淆.在非線性彈性力學(xué)中用到的增量本構(gòu)關(guān)系的向量形式為其中切線彈性/柔性矩陣為1.3應(yīng)變/應(yīng)力向量函數(shù)與應(yīng)變能/余應(yīng)變能密度函數(shù)的微分關(guān)系由(1.7)/(1.8)和(1.5)/(1.6)式顯然可得但是,(1.9)/(1.10)式只是應(yīng)變/應(yīng)力向函數(shù)與應(yīng)變能/余應(yīng)變能密度函數(shù)之間的微分關(guān)系,并非直接表明應(yīng)力-應(yīng)變/應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系.只有把(1.9)/(1.10)式代入(1.1)/(1.2)式,方能用應(yīng)變能/余應(yīng)變能密度表示應(yīng)力-應(yīng)變/應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系:1.3應(yīng)變/應(yīng)力法1.1有些文獻(xiàn)把應(yīng)變能密度和余應(yīng)變能密度的關(guān)系表示為其實,此式在一般情況下并不成立,而只有在滿足應(yīng)力-應(yīng)變/應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系,即把(1.1)/(1.2)式代入(1.15)式后才能成立:1.4變分形式對比由(1.7)/(1.8)和(1.9)/(1.10)式可得其中(1.18)/(1.19)式的變分形式既表明了向量函數(shù)與因變向量的區(qū)別,又體現(xiàn)了自變向量函數(shù)與相應(yīng)的因變向的聯(lián),所以它比(1.20)/(1.21)式的變分形式優(yōu)越.2讓我們從本質(zhì)上證明這一點2.1在概念最小勢能原則的基礎(chǔ)上泛函為約束條件為其中L為應(yīng)變-位移關(guān)系的線性微分算子.2.2廣義勢能原理的建立為了解除最小勢能原理中的兩個約束條件,我們用Lagrange乘子向量λ和μ分別把(2.2)和(2.3)式吸收到(2.1)式中去,得到一個新范函在確定乘子向量時,可以暫時假定λ和μ不變.由于而由Green定理有其中n為彈性體邊界外法線方向余弦.把(1.18)和(2.6)式代入(2.5)式得到這樣,由δ∏*=0可得于是,把(2.8)和(2.9)式代入(2.4)式便得廣義勢能原理的泛函2.3彈性力學(xué)基本方程由(2.10)式可得而由Green定理有把(1.5)、(1.18)和(2.12)式代入(2.11)式得到于是,由δ∏這些就是消去了應(yīng)力的彈性力學(xué)基本方程.2.4一些討論1)如果按文獻(xiàn)2)文獻(xiàn)3)如果真的像文獻(xiàn)4)文獻(xiàn)3滾軸原理的演示3.1最小余能原理的h-r原理H-R原理是國際上公認(rèn)的二類變量廣義余能原理,而最小余能原理只有受平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件約束的應(yīng)力σ這一類變量.因此,欲在最小余能原理基礎(chǔ)上,用識別的Lagrange乘子法,得到二類變量的H-R原理,必須修正最小余能原理的原有提法.我們知道,最小余能原理的原有泛函中的邊界項,可以看成是對彈性體內(nèi)部余能的一種約束,而這種約束作用又僅僅體現(xiàn)在位移邊界條件上,即u=u(在S約束條件為3.2廣義余能原理的建立為了解除最小余能原理修正的提法中的3個約束條件,我們用Legrange乘子向量λ、μ和上分別把(3.2)、(3.3)和(3.4)式吸收到(3.1)式中去,得到一個新泛函在確定乘子向量時,我們可以暫時假定λ、μ和v不變.由于而由Green定理有所以,把(1.19)和(3.7)式代入(3.6)式得到這樣,由δΓ于是,把(3.9)～(3.11)式代入(3.5)式便得廣義余能原理的泛函3.3應(yīng)變彈性基本方程由(3.12)式可得而由Green定理有把(1.19)和(3.14)代入(3.13)式得到于是,由δΓ這些就是消去了應(yīng)變的彈性力學(xué)基本方程.3.4lagrange乘子法1)由本文論證結(jié)果可知,如果用識別的Lagrange乘子法在最小余能原理基礎(chǔ)上,建立廣義余能原理,只有以(3.1)式為泛函,以(3.2)～(3.4)式為約束條件,才能真正確定或識別乘子,從而得到新泛函為(3.12)式且駐值方程為(3.16)～(3.19)式的廣義余能原理—Hellinger-Reissner原理.2)文獻(xiàn)[1]是在最小余能原理原有提法基礎(chǔ)上,用Lagrange乘子法對H-R原理進(jìn)行論證的.但是,雖然強(qiáng)調(diào)乘子已被識別,“新相識”已變?yōu)椤袄舷嘧R”,然而從新泛函的獨立變量和駐值方程看,乘子并未被識別,只不過“把(乘子)λ(的記號)改為(位移向量的記號)u”.也就是說,如果把這樣得到的廣義原理看作是具有二類變量的H-R原理,那么H-R泛函及其駐值方程中,除應(yīng)力σ這一類變量外,還沒有未被確定的乘子λ(μ=-λ)這一類變量,只不過把乘子改用了位移的記號,且含乘子的兩個駐值方程在形式上恰好與彈性力學(xué)的應(yīng)變-位移關(guān)系和位移邊界條件相同.3)文獻(xiàn)[2～6]都討論過H-W原理與H-R原理之間的關(guān)系,其實這兩個原理的泛函本身并沒有直接關(guān)系.為了便于討論,我們可利用Green定理推導(dǎo)出與(3.12)式泛函等