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文檔簡(jiǎn)介

12.5因式分解1.提公因式法1.理解因式分解的意義和概念及其與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系.(重點(diǎn))2.理解并掌握提公因式法并能熟練地運(yùn)用提公因式法分解因式.(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)運(yùn)用前面所學(xué)的知識(shí)填空:(1)m(a+b+c)=

(2)(x+1)(x-1)=

;(3)(a+b)2=

.ma+mb+mcx2

-1a2+2ab+b2復(fù)習(xí)引入把下列多項(xiàng)式寫(xiě)成乘積的形式(1)ma+mb+mc=()()(2)x2

-

1=()()

(3)a2+2ab+b2=()2都是多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式ma+b+cx+1x-

1a+b因式分解定義:把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式,叫做多項(xiàng)式因式分解,也叫做這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.概念學(xué)習(xí)想一想:整式乘法與因式分解有什么關(guān)系?x2

-

1(x+1)(x-

1)因式分解整式乘法是互為相反的變形,即x2

-

1=(x+1)(x-

1)等式的特征:左邊是多項(xiàng)式,右邊是幾個(gè)整式的乘積辨一辨:在下列等式中,從左到右的變形屬于因式分解的有______________;不是因式分解的,請(qǐng)說(shuō)明為什么.③⑥①

am+bm+c=m(a+b)+c②24x2y=3x

·8xy③(2x+1)2=4x2+4x+1④x2-

1=(x+1)(x-

1)⑤x2+x=x2(1+)⑥2x+4y+6z=2(x+2y+3z)最后不是積的運(yùn)算因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式是整式乘法每個(gè)因式必須是整式這個(gè)多項(xiàng)式有什么特點(diǎn)?pa+pb+pc多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的相同因式,叫做這個(gè)多項(xiàng)式的公因式.相同因式

p因式分解之基本方法—提公因式法如何確定一個(gè)多項(xiàng)式的公因式?例1

找3x2–6xy

的公因式.系數(shù):最大公約數(shù)3字母:相同的字母x

所以公因式是

3x指數(shù):相同字母的最低次數(shù)1一般地,如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,可以把這個(gè)公因式提取出來(lái),將多項(xiàng)式寫(xiě)成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.

(a+b+c)pa+pb+pcp=提公因式法正確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)公因式的關(guān)鍵是:1.定系數(shù):公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).2.定字母:字母取多項(xiàng)式各項(xiàng)中都含有的相同的字母.3.定指數(shù):相同字母的指數(shù)取各項(xiàng)中最小的一個(gè),即字母最低次冪.找一找:下列各多項(xiàng)式的公因式是什么?(1)3x+6y(2)ab-2ac(3)a2

-

a3(4)9m2n

-

6mn

(5)

-

6x2y

-

8xy2

3aa23mn-2xy(1)8a3b2+12ab3c;例2

把下列各式分解因式:分析:提公因式法的步驟(分兩步):第一步:找出公因式;第二步:提取公因式,即將多項(xiàng)式化為兩個(gè)因式的乘積.(2)2a(b+c)-

3(b+c).公因式既可以是一個(gè)單項(xiàng)式的形式,也可以是一個(gè)多項(xiàng)式的形式整體思想是數(shù)學(xué)中一種重要而且常用的思想方法.解:(1)

8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc).如果提出公因式4ab,另一個(gè)因式是否還有公式?另一個(gè)因式將是

2a2b+3b2c,它還有公因式是

b.(2)2a(b+c)-

3(b+c)=(b+c)(2a-

3).如何檢查因式分解是否正確?做整式乘法運(yùn)算去檢驗(yàn).因式分解:(1)3a3c2+12ab3c;(2)2a(b+c)-3(b+c);(3)(a+b)(a-b)-a-b.(3)原式=(a+b)(a-b-1).解:(1)原式=3ac(a2c+4b3).(2)原式=(2a-3)(b+c).針對(duì)訓(xùn)練小明的解法有誤嗎?因式分解:12x2y+18xy2.解:原式

=3xy(4x+6y).錯(cuò)誤公因式?jīng)]有提盡,還可以提出公因式

2注意:公因式要提盡.正確解:原式

=6xy(2x+3y).小亮的解法有誤嗎?因式分解:3x2

-6xy+x.解:原式=x(3x-6y).當(dāng)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)和公因式相同時(shí),提公因式后剩余的項(xiàng)是

1.錯(cuò)誤注意:某項(xiàng)提出莫漏1.正確解:原式=3x·x-6y·x+1·x=x(3x-6y+1)小華的解法有誤嗎?因式分解:-

x2+xy-

xz.解:原式=-

x(x+y-

z).提出負(fù)號(hào)時(shí)括號(hào)里的項(xiàng)沒(méi)變號(hào)錯(cuò)誤注意:首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù).正確解:原式

=-(x2-

xy+xz)=-

x(x-

y+z).1.把下列各式分解因式:(1)

8m2n+2mn=_____________;(2)12xyz-

9x2y2=_____________;(3)p(a2+b2)-

q(a2+b2)=______________;

(4)-x3y3-x2y2-xy=_______________;(5)(x-y)2+y(y-x)=______________.當(dāng)堂練習(xí)2mn(4m+1)3xy(4z-

3xy)(a2+b2)(p-

q)-xy(x2y2+xy+1)(y-

x)(2y-

x)2.分解因式:(x-

y)2

+y(y

-

x).解法1:(x-

y)2

+y(y

-

x)=(x

-

y)2

-

y(x

-

y)=(x

-

y)(x

-

y

-

y)=(x

-

y)(x

-

2y).解法2:(x-

y)2+y(y-

x)=(y-

x)2

-

y(y-

x)=(y

-

x)(y

-

x+y)=(y

-

x)(2y

-

x).3.簡(jiǎn)便計(jì)算:2

+

×

=(

+

)=.

(2)20222

+

2022–20232=2022×(2022+

1)-

20232=

2022×2023-

20232

=

2023×(2022-

2023)=

-

2023.(3)(-

2)101

+(-

2)100.=(-2)100×(-2+1)

=2100×(-

1)=-

2100.4.(1)已知2x+y=4,xy=3,求代數(shù)式2x2y+xy2

的值;2x2y+xy2

=xy(2x+y)=3×4=12.(2)化簡(jiǎn)求值:(2x+1)2-

(2x

+1)(2x-

1),其中x=.=(2x+1)[(2x+1)-(2x-1)]=(2x+1)(2x+1-2x+1)=2(2x+1).將

x=

代入上式,得原式

=4.

2.公式法1.認(rèn)識(shí)平方差公式、完全平方公式的特點(diǎn).(重點(diǎn))2.會(huì)運(yùn)用這兩種公式將多項(xiàng)式分解因式.(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)1.什么叫多項(xiàng)式的因式分解?把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,叫做多項(xiàng)式的因式分解.復(fù)習(xí)引入

2.下列式子從左到右哪個(gè)是因式分解?哪個(gè)是整式乘法?它們有什么關(guān)系?1.a(x+y)=ax+ay

2.ax+ay=a(x+y)整式乘法因式分解它們是互為方向相反的變形一般地,如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,可以把這個(gè)公因式提取出來(lái),將多項(xiàng)式寫(xiě)成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.

(a+b+c)pa+pb+pcp=提公因式法1.定系數(shù):公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).2.定字母:字母取多項(xiàng)式各項(xiàng)中都含有的相同的字母.3.定指數(shù):相同字母的指數(shù)取各項(xiàng)中最小的一個(gè),即字母最低次冪.正確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)公因式的關(guān)鍵是:還記得前面學(xué)過(guò)的乘法公式嗎?平方差公式:兩數(shù)和(差)的平方公式:a2

-

b2=(a+b)(a

-

b)(a±b)2

=a2

±2ab+

b2運(yùn)用平方差公式因式分解想一想:多項(xiàng)式

a2-

b2有什么特點(diǎn)?你能將它分解因式嗎?是

a,b兩數(shù)的平方差的形式平方差公式:))((baba

-

+=22ba

-

))((22bababa

-

+=

-

整式乘法因式分解兩個(gè)數(shù)的平方差,等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的乘積.辨一辨:下列多項(xiàng)式能否用平方差公式來(lái)分解因式,為什么?(1)x2+y2(2)x2-

y2(3)

-

x2

-

y2(4)

-

x2+y2(5)x2

-

25y2(6)m2

-

1√√××√√

-

(x2+y2)y2

-

x2(x+5y)(x

-

5y)(m+1)(m

-

1)(x

+y

)(x

-

y

)(y

+

x)(y

-

x

)例1分解因式:=(2x+3)(2x-3).解:(1)原式=(2x)2-3方法總結(jié):公式中的a,b無(wú)論表示數(shù),單項(xiàng)式,還是多項(xiàng)式,只要被分解的多項(xiàng)式能轉(zhuǎn)化成平方差的形式,就能用平方差公式因式分解.例2分解因式:…………一提(公因式)……二套(公式)解:(1)原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2

)(x2

-

y2)=(x2+y2

)(x

-

y)(x

-

y).三查(多項(xiàng)式的因式分解要分解到不能再分解為止)兩數(shù)和(或差)平方公式:兩數(shù)和(或差)平方公式的特點(diǎn):1.必須是三項(xiàng)式(或可以看成三項(xiàng)的)2.有兩個(gè)同號(hào)的數(shù)或式的平方;3.中間有兩底數(shù)之積的±2倍.=(a±b)2運(yùn)用兩數(shù)和(或差)平方公式因式分解凡具備這些特點(diǎn)的三項(xiàng)式,就是兩數(shù)和(或差)平方公式,將它寫(xiě)成兩數(shù)和(或差)平方形式,便實(shí)現(xiàn)了因式分解.a22abb2±.+.=(a±b)2利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式,兩數(shù)和(或差)平方公式等)的多項(xiàng)式分解因式,這種分解因式的方法叫做公式法.對(duì)照公式

a2±2ab+b2=(a±b)2進(jìn)行因式分解,你會(huì)嗎?1、x2+4x+4=()2+2·()·()+()2=()22、m2-6m+9=(

)2-2·()·(

)+()2=()2x2x+2mm

-33x2m33、a2+4ab+4b2

=()2+2·()·()+()2=()2a22abb2±.+.=(a±b)2aa2ba+2b2b下列各式是不是兩數(shù)和(或差)平方公式?(1)a2-6a+9;

(2)1+4a2;

(3)4b2+4b-1;

(4)a2+ab+b2;

(5)x2+x+0.25.是不是不是不是是分析:(2)因?yàn)樗挥袃身?xiàng).(3)4b2與

-

1的符號(hào)不統(tǒng)一.(4)中間項(xiàng)缺2倍.例3分解因式:(1)16x2

+24x+9;(2)-x2+4xy-4y2.分析:(1)中,16x2=(4x)2,

9=32,24x=2·4x·3,

所以16x2+24x+9是一個(gè)兩數(shù)和平方公式,即

16x2+24x+9=(4x)2

+2×4x·3+32.2ab

b2a2(2)中首項(xiàng)有負(fù)號(hào),一般先利用添括號(hào)法則,將其變形為-(x2-

4xy+4y2),然后再利用公式分解因式.例3分解因式:(1)16x2

+24x+9;(2)-x2+4xy-4y2.解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2=(4x+3)2.

(2)-x2+4xy-4y2

=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.

例4把下列各式分解因式:(1)3ax2+6axy+3ay2;有公因式3a,應(yīng)先提出公因式,再進(jìn)一步分解因式(2)(a+b)2

-12(a+b)+36.中將

a+b看成一個(gè)整體,設(shè)

a+b=m,則原式化為

m2

-12m+36.例4把下列各式分解因式:(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)(a+b)2

-12(a+b)+36.

例5例5利用兩數(shù)和(或差)平方公式簡(jiǎn)便計(jì)算:(1)1002

-2×100×99

+992;(2)342

+34×32

+162.1.把下列各式分解因式:(1)16a2

-

9b2

=__________________;

(2)(a+b)2

-

(a

-

b)2=________;

(3)9xy3

-

36x3y=____________________;

(4)

-

a4+16=_______________________.(4a+3b)(4a

-

3b)4ab9xy(y+2x)(y

-

2x)(4+a2)(2+a)(2

-

a)當(dāng)堂練習(xí)2.把下列多項(xiàng)式因式分解.(1)x2-12x+36;(2)4a2-4a+1;=x2-2·x·6+62=(x-6)2.=(2a)2-2·2a·1+

12=(2a-1)2.

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