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12.5因式分解1.提公因式法1.理解因式分解的意義和概念及其與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系.(重點(diǎn))2.理解并掌握提公因式法并能熟練地運(yùn)用提公因式法分解因式.(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)運(yùn)用前面所學(xué)的知識(shí)填空:(1)m(a+b+c)=
;
(2)(x+1)(x-1)=
;(3)(a+b)2=
.ma+mb+mcx2
-1a2+2ab+b2復(fù)習(xí)引入把下列多項(xiàng)式寫(xiě)成乘積的形式(1)ma+mb+mc=()()(2)x2
-
1=()()
(3)a2+2ab+b2=()2都是多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式ma+b+cx+1x-
1a+b因式分解定義:把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式,叫做多項(xiàng)式因式分解,也叫做這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.概念學(xué)習(xí)想一想:整式乘法與因式分解有什么關(guān)系?x2
-
1(x+1)(x-
1)因式分解整式乘法是互為相反的變形,即x2
-
1=(x+1)(x-
1)等式的特征:左邊是多項(xiàng)式,右邊是幾個(gè)整式的乘積辨一辨:在下列等式中,從左到右的變形屬于因式分解的有______________;不是因式分解的,請(qǐng)說(shuō)明為什么.③⑥①
am+bm+c=m(a+b)+c②24x2y=3x
·8xy③(2x+1)2=4x2+4x+1④x2-
1=(x+1)(x-
1)⑤x2+x=x2(1+)⑥2x+4y+6z=2(x+2y+3z)最后不是積的運(yùn)算因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式是整式乘法每個(gè)因式必須是整式這個(gè)多項(xiàng)式有什么特點(diǎn)?pa+pb+pc多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的相同因式,叫做這個(gè)多項(xiàng)式的公因式.相同因式
p因式分解之基本方法—提公因式法如何確定一個(gè)多項(xiàng)式的公因式?例1
找3x2–6xy
的公因式.系數(shù):最大公約數(shù)3字母:相同的字母x
所以公因式是
3x指數(shù):相同字母的最低次數(shù)1一般地,如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,可以把這個(gè)公因式提取出來(lái),將多項(xiàng)式寫(xiě)成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.
(a+b+c)pa+pb+pcp=提公因式法正確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)公因式的關(guān)鍵是:1.定系數(shù):公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).2.定字母:字母取多項(xiàng)式各項(xiàng)中都含有的相同的字母.3.定指數(shù):相同字母的指數(shù)取各項(xiàng)中最小的一個(gè),即字母最低次冪.找一找:下列各多項(xiàng)式的公因式是什么?(1)3x+6y(2)ab-2ac(3)a2
-
a3(4)9m2n
-
6mn
(5)
-
6x2y
-
8xy2
3aa23mn-2xy(1)8a3b2+12ab3c;例2
把下列各式分解因式:分析:提公因式法的步驟(分兩步):第一步:找出公因式;第二步:提取公因式,即將多項(xiàng)式化為兩個(gè)因式的乘積.(2)2a(b+c)-
3(b+c).公因式既可以是一個(gè)單項(xiàng)式的形式,也可以是一個(gè)多項(xiàng)式的形式整體思想是數(shù)學(xué)中一種重要而且常用的思想方法.解:(1)
8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc).如果提出公因式4ab,另一個(gè)因式是否還有公式?另一個(gè)因式將是
2a2b+3b2c,它還有公因式是
b.(2)2a(b+c)-
3(b+c)=(b+c)(2a-
3).如何檢查因式分解是否正確?做整式乘法運(yùn)算去檢驗(yàn).因式分解:(1)3a3c2+12ab3c;(2)2a(b+c)-3(b+c);(3)(a+b)(a-b)-a-b.(3)原式=(a+b)(a-b-1).解:(1)原式=3ac(a2c+4b3).(2)原式=(2a-3)(b+c).針對(duì)訓(xùn)練小明的解法有誤嗎?因式分解:12x2y+18xy2.解:原式
=3xy(4x+6y).錯(cuò)誤公因式?jīng)]有提盡,還可以提出公因式
2注意:公因式要提盡.正確解:原式
=6xy(2x+3y).小亮的解法有誤嗎?因式分解:3x2
-6xy+x.解:原式=x(3x-6y).當(dāng)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)和公因式相同時(shí),提公因式后剩余的項(xiàng)是
1.錯(cuò)誤注意:某項(xiàng)提出莫漏1.正確解:原式=3x·x-6y·x+1·x=x(3x-6y+1)小華的解法有誤嗎?因式分解:-
x2+xy-
xz.解:原式=-
x(x+y-
z).提出負(fù)號(hào)時(shí)括號(hào)里的項(xiàng)沒(méi)變號(hào)錯(cuò)誤注意:首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù).正確解:原式
=-(x2-
xy+xz)=-
x(x-
y+z).1.把下列各式分解因式:(1)
8m2n+2mn=_____________;(2)12xyz-
9x2y2=_____________;(3)p(a2+b2)-
q(a2+b2)=______________;
(4)-x3y3-x2y2-xy=_______________;(5)(x-y)2+y(y-x)=______________.當(dāng)堂練習(xí)2mn(4m+1)3xy(4z-
3xy)(a2+b2)(p-
q)-xy(x2y2+xy+1)(y-
x)(2y-
x)2.分解因式:(x-
y)2
+y(y
-
x).解法1:(x-
y)2
+y(y
-
x)=(x
-
y)2
-
y(x
-
y)=(x
-
y)(x
-
y
-
y)=(x
-
y)(x
-
2y).解法2:(x-
y)2+y(y-
x)=(y-
x)2
-
y(y-
x)=(y
-
x)(y
-
x+y)=(y
-
x)(2y
-
x).3.簡(jiǎn)便計(jì)算:2
+
×
=(
+
)=.
(2)20222
+
2022–20232=2022×(2022+
1)-
20232=
2022×2023-
20232
=
2023×(2022-
2023)=
-
2023.(3)(-
2)101
+(-
2)100.=(-2)100×(-2+1)
=2100×(-
1)=-
2100.4.(1)已知2x+y=4,xy=3,求代數(shù)式2x2y+xy2
的值;2x2y+xy2
=xy(2x+y)=3×4=12.(2)化簡(jiǎn)求值:(2x+1)2-
(2x
+1)(2x-
1),其中x=.=(2x+1)[(2x+1)-(2x-1)]=(2x+1)(2x+1-2x+1)=2(2x+1).將
x=
代入上式,得原式
=4.
2.公式法1.認(rèn)識(shí)平方差公式、完全平方公式的特點(diǎn).(重點(diǎn))2.會(huì)運(yùn)用這兩種公式將多項(xiàng)式分解因式.(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)1.什么叫多項(xiàng)式的因式分解?把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,叫做多項(xiàng)式的因式分解.復(fù)習(xí)引入
2.下列式子從左到右哪個(gè)是因式分解?哪個(gè)是整式乘法?它們有什么關(guān)系?1.a(x+y)=ax+ay
2.ax+ay=a(x+y)整式乘法因式分解它們是互為方向相反的變形一般地,如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,可以把這個(gè)公因式提取出來(lái),將多項(xiàng)式寫(xiě)成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.
(a+b+c)pa+pb+pcp=提公因式法1.定系數(shù):公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).2.定字母:字母取多項(xiàng)式各項(xiàng)中都含有的相同的字母.3.定指數(shù):相同字母的指數(shù)取各項(xiàng)中最小的一個(gè),即字母最低次冪.正確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)公因式的關(guān)鍵是:還記得前面學(xué)過(guò)的乘法公式嗎?平方差公式:兩數(shù)和(差)的平方公式:a2
-
b2=(a+b)(a
-
b)(a±b)2
=a2
±2ab+
b2運(yùn)用平方差公式因式分解想一想:多項(xiàng)式
a2-
b2有什么特點(diǎn)?你能將它分解因式嗎?是
a,b兩數(shù)的平方差的形式平方差公式:))((baba
-
+=22ba
-
))((22bababa
-
+=
-
整式乘法因式分解兩個(gè)數(shù)的平方差,等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的乘積.辨一辨:下列多項(xiàng)式能否用平方差公式來(lái)分解因式,為什么?(1)x2+y2(2)x2-
y2(3)
-
x2
-
y2(4)
-
x2+y2(5)x2
-
25y2(6)m2
-
1√√××√√
-
(x2+y2)y2
-
x2(x+5y)(x
-
5y)(m+1)(m
-
1)(x
+y
)(x
-
y
)(y
+
x)(y
-
x
)例1分解因式:=(2x+3)(2x-3).解:(1)原式=(2x)2-3方法總結(jié):公式中的a,b無(wú)論表示數(shù),單項(xiàng)式,還是多項(xiàng)式,只要被分解的多項(xiàng)式能轉(zhuǎn)化成平方差的形式,就能用平方差公式因式分解.例2分解因式:…………一提(公因式)……二套(公式)解:(1)原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2
)(x2
-
y2)=(x2+y2
)(x
-
y)(x
-
y).三查(多項(xiàng)式的因式分解要分解到不能再分解為止)兩數(shù)和(或差)平方公式:兩數(shù)和(或差)平方公式的特點(diǎn):1.必須是三項(xiàng)式(或可以看成三項(xiàng)的)2.有兩個(gè)同號(hào)的數(shù)或式的平方;3.中間有兩底數(shù)之積的±2倍.=(a±b)2運(yùn)用兩數(shù)和(或差)平方公式因式分解凡具備這些特點(diǎn)的三項(xiàng)式,就是兩數(shù)和(或差)平方公式,將它寫(xiě)成兩數(shù)和(或差)平方形式,便實(shí)現(xiàn)了因式分解.a22abb2±.+.=(a±b)2利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式,兩數(shù)和(或差)平方公式等)的多項(xiàng)式分解因式,這種分解因式的方法叫做公式法.對(duì)照公式
a2±2ab+b2=(a±b)2進(jìn)行因式分解,你會(huì)嗎?1、x2+4x+4=()2+2·()·()+()2=()22、m2-6m+9=(
)2-2·()·(
)+()2=()2x2x+2mm
-33x2m33、a2+4ab+4b2
=()2+2·()·()+()2=()2a22abb2±.+.=(a±b)2aa2ba+2b2b下列各式是不是兩數(shù)和(或差)平方公式?(1)a2-6a+9;
(2)1+4a2;
(3)4b2+4b-1;
(4)a2+ab+b2;
(5)x2+x+0.25.是不是不是不是是分析:(2)因?yàn)樗挥袃身?xiàng).(3)4b2與
-
1的符號(hào)不統(tǒng)一.(4)中間項(xiàng)缺2倍.例3分解因式:(1)16x2
+24x+9;(2)-x2+4xy-4y2.分析:(1)中,16x2=(4x)2,
9=32,24x=2·4x·3,
所以16x2+24x+9是一個(gè)兩數(shù)和平方公式,即
16x2+24x+9=(4x)2
+2×4x·3+32.2ab
b2a2(2)中首項(xiàng)有負(fù)號(hào),一般先利用添括號(hào)法則,將其變形為-(x2-
4xy+4y2),然后再利用公式分解因式.例3分解因式:(1)16x2
+24x+9;(2)-x2+4xy-4y2.解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2=(4x+3)2.
(2)-x2+4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.
例4把下列各式分解因式:(1)3ax2+6axy+3ay2;有公因式3a,應(yīng)先提出公因式,再進(jìn)一步分解因式(2)(a+b)2
-12(a+b)+36.中將
a+b看成一個(gè)整體,設(shè)
a+b=m,則原式化為
m2
-12m+36.例4把下列各式分解因式:(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)(a+b)2
-12(a+b)+36.
例5例5利用兩數(shù)和(或差)平方公式簡(jiǎn)便計(jì)算:(1)1002
-2×100×99
+992;(2)342
+34×32
+162.1.把下列各式分解因式:(1)16a2
-
9b2
=__________________;
(2)(a+b)2
-
(a
-
b)2=________;
(3)9xy3
-
36x3y=____________________;
(4)
-
a4+16=_______________________.(4a+3b)(4a
-
3b)4ab9xy(y+2x)(y
-
2x)(4+a2)(2+a)(2
-
a)當(dāng)堂練習(xí)2.把下列多項(xiàng)式因式分解.(1)x2-12x+36;(2)4a2-4a+1;=x2-2·x·6+62=(x-6)2.=(2a)2-2·2a·1+
12=(2a-1)2.
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