【解析】2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級上冊 25.4 解直角三角形的應(yīng)用 同步分層訓(xùn)練基礎(chǔ)卷(滬教版五四制)

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2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級上冊25.4解直角三角形的應(yīng)用同步分層訓(xùn)練基礎(chǔ)卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023·深圳）爬坡時坡角與水平面夾角為α，則每爬1m耗能，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（）.（參考數(shù)據(jù)：，）

A．58JB．159JC．1025JD．1732J

2．（2023·官渡模擬）松華壩水庫地處昆明北郊，是昆明市的重要水源，被稱為“昆明頭上的一碗水”，水庫周邊遍布森林與濕地，呈現(xiàn)出一幅純凈自然的和諧生態(tài)畫卷．如圖，大壩某段橫截面迎水坡的坡度（），若壩高，則坡面的水平寬度長度約為（）（參考數(shù)據(jù)：，，）

A．B．C．D．

3．（2023九下·鹿城月考）圖1是一種落地晾衣架，晾衣時，該晾衣架左右晾衣臂張開后示意圖如圖2所示，和分別是兩根不同長度的支撐桿，其中兩支腳，展開角，晾衣臂，則支樟桿的端點離地面的高度為（）

A．B．C．D．

4．（2023·朝陽模擬）如圖，在天定山滑雪場滑雪，需從山腳下處乘纜車上山頂處，纜車索道與水平線所成的，若山的高度米，則纜車索道的長為（）

A．米B．米C．米D．米

5．（2023·長春）學(xué)校開放日即將來臨，負(fù)責(zé)布置的林老師打算從學(xué)校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩到地面，如圖所示．已彩旗繩與地面形成角（即）、彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即米），則彩旗繩的長度為（）

A．米B．米C．米D．米

6．（2023·日照）日照燈塔是日照海濱港口城市的標(biāo)志性建筑之一，主要為日照近海及進出日照港的船舶提供導(dǎo)航服務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)小組的同學(xué)要測量燈塔的高度，如圖所示，在點B處測得燈塔最高點A的仰角，再沿方向前進至C處測得最高點A的仰角，，則燈塔的高度大約是（）（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，）

A．B．C．D．

7．（2023·十堰）如圖所示，有一天橋高為5米，是通向天橋的斜坡，，市政部門啟動“陡改緩”工程，決定將斜坡的底端C延伸到D處，使，則的長度約為（參考數(shù)據(jù)：）（）

A．米B．米C．米D．米

8．（2023七下·長沙期中）如圖，一航班沿北偏東方向從A地飛往C地，到達C地上空時，由于天氣情況不適合著陸，準(zhǔn)備備降B地，已知C地在B地的北偏西方向，則其改變航向時的度數(shù)為（）

A．B．C．D．

二、填空題

9．（2023八下·溫州期中）如圖，大壩橫截面迎水坡AB的坡比為2：1，若壩高AC為12（m），則迎水坡AB的長為（m）．

10．（2023·黃岡模擬）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹CD的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為45°，在點B處測得樹頂C的仰角為60°，且A，B，D三點在同一直線上，若AB＝20m，則這棵樹CD的高度約為m．（按四舍五入法將結(jié)果保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：）

11．（2023·黃岡）綜合實踐課上，航模小組用航拍無人機進行測高實踐．如圖，無人機從地面的中點A處豎直上升30米到達B處，測得博雅樓頂部E的俯角為，尚美樓頂部F的俯角為，已知博雅樓高度為15米，則尚美樓高度為米．（結(jié)果保留根號）

12．（2023·濟寧）某數(shù)學(xué)活動小組要測量一建筑物的高度，如圖，他們在建筑物前的平地上選擇一點，在點和建筑物之間選擇一點，測得．用高的測角儀在處測得建筑物頂部的仰角為，在處測得仰角為，則該建筑物的高是．

13．（2023·赤峰）為發(fā)展城鄉(xiāng)經(jīng)濟，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，某鄉(xiāng)對地和地之間的一處垃圾填埋場進行改造，把原來地去往地需要繞行到地的路線，改造成可以直線通行的公路．如圖，經(jīng)勘測，千米，，，則改造后公路的長是千米（精確到千米；參考數(shù)據(jù)：，，，）．

三、解答題

14．（2023·臺州）教室里的投影儀投影時，可以把投影光線CA，CB及在黑板上的投影圖像高度AB抽象成如圖所示的△ABC，．黑板上投影圖像的高度，CB與AB的夾角，求AC的長．（結(jié)果精確到1cm．參考數(shù)據(jù)：，，）

15．（2023·常德）今年“五一”長假期間，小陳、小余同學(xué)和家長去沙灘公園游玩，坐在如圖的椅子上休息時，小陳感覺很舒服，激發(fā)了她對這把椅子的好奇心，就想出個問題考考同學(xué)小余，小陳同學(xué)先測量，根據(jù)測量結(jié)果畫出了圖1的示意圖（圖2）．在圖2中，已知四邊形是平行四邊形，座板與地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．這時她問小余同學(xué)，你能算出靠背頂端點距地面（）的高度是多少嗎？請你幫小余同學(xué)算出結(jié)果（最后結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，）

四、綜合題

16．（2023·包頭）為了增強學(xué)生體質(zhì)、針煉學(xué)生意志，某校組織一次定向越野拉練活動.如圖，A點為出發(fā)點，途中設(shè)置兩個檢查點，分別為點和點，行進路線為.點在點的南偏東方向處，點在點的北偏東方向，行進路線AB和BC所在直線的夾角為.

⑴求行進路線BC和CA所在直線的夾角的度數(shù)；

⑵求檢查點和之間的距離(結(jié)果保留根號).

17．（2023·本溪）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山，需要登頂高的山峰，由山底A處先步行到達處，再由處乘坐登山纜車到達山頂處．已知點A，B．D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，山坡的坡角為，纜車行駛路線與水平面的夾角為（換乘登山纜車的時間忽略不計）

（1）求登山纜車上升的高度；

（2）若步行速度為，登山纜車的速度為，求從山底A處到達山頂處大約需要多少分鐘（結(jié)果精確到）

（參考數(shù)據(jù)：）

答案解析部分

1．【答案】B

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題

【解析】【解答】解：由題意得，沿著坡角為30°的坡面爬行1000米的耗能為：

1000×（1.025-cos30°）=1000×（1.025-）≈159J.

故答案為：B.

【分析】由耗能=1000×（1.025-cos30°），然后代入特殊銳角三角函數(shù)值計算即可.

2．【答案】C

【知識點】勾股定理；解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題

【解析】【解答】解：∵大壩某段橫截面迎水坡的坡度，

∴AC=60m，

由勾股定理得m，

故答案為：C

【分析】先根據(jù)解直角三角形得到AC的長，再根據(jù)勾股定理即可求解。

3．【答案】B

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：∵OB=OD，∠BOD=70°，

∴∠OBD=∠ODB=55°，

∵OB=50cm，OA=80cm，

∴AB=OA+OB=130cm，

∵，

∴AE=AB·sin55°=130sin55°cm.

故答案為：B.

【分析】由等邊對等角及三角形的內(nèi)角和定理得∠OBD=55°，由線段和差得AB=OA+OB=130cm，然后根據(jù)∠ABE的正弦函數(shù)可表示出AE的長.

4．【答案】C

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：在Rt中，

，，

，

米，

故答案為：C．

【分析】利用銳角三角函數(shù)先求出，再求解即可。

5．【答案】D

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：由題意得CA⊥CB，

∴，

故答案為：D

【分析】先根據(jù)題意即可得到CA⊥CB，進而根據(jù)解直角三角形的知識結(jié)合題意即可求解。

6．【答案】B

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題

【解析】【解答】解：由題意得，

∴DB=DA，

設(shè)AD=a，則DB=a，CD=a-15.3，

∴，

∴a≈36，

∴燈塔的高度大約是，

故答案為：B

【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到DB=DA，設(shè)AD=a，則DB=a，CD=a-15.3，進而根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得到a≈36，進而即可求解。

7．【答案】D

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題

【解析】【解答】解：∵∠ACB=45°，AB=5，

∴AC=5.

∵AB=5，∠BDA=30°，

∴AD=AB÷tan30°=5÷=，

∴CD=AD-AC=-5≈3.66.

故答案為：D.

【分析】分別在Rt△ABC、Rt△ABD中，由三角函數(shù)的概念求出AC、AD，然后根據(jù)CD=AD-AC進行計算.

8．【答案】B

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題

【解析】【解答】

解：如圖：

由題意得：∠EAC=60°，∠CBF=45°，AE//BF，

∴∠EAB+∠ABF=180°，

∴∠CAB+∠CBA=180°-∠EAC-∠CBF=75°，

∵∠α是△ACB的一個外角，

∴∠α=∠CAB+∠CBA=75°.

故答案為：B

【分析】根據(jù)題意得出∠EAC=60°，∠CBF=45°，AE//BF，再由平行線的性質(zhì)得出∠EAB+∠ABF=180°，利用三角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)求解即可.

9．【答案】

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題

【解析】【解答】解：∵大壩橫截面迎水坡AB的坡比為2：1，若壩高AC為12m，

∴BC=6，

∴迎水坡AB的長為（m）.

故答案為：.

【分析】根據(jù)坡比的定義得出BC的長為6m，然后根據(jù)勾股定理即可求解。

10．【答案】12.7

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題

【解析】【解答】解：∵CD⊥AB于點D，

∴∠ADC=∠BDC=90°，

∵∠A=45°，

∴△ADC是等腰直角三角形，

∴CD=AD，

設(shè)AD=CD=x，

則BD=AB-AD=20-x，

在Rt△CBD中，∵，

∴，

∴x≈12.7.

故答案為：12.7.

【分析】易得△ADC是等腰直角三角形，則CD=AD，設(shè)AD=CD=x，則BD=AB-AD=20-x，在Rt△CBD中，利用∠B的正切函數(shù)建立方程，求解即可.

11．【答案】

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題

【解析】【解答】解：過E作EM⊥過點B的水平線于點M，過F作FN⊥過點B的水平線于點N，

由題意可知CM=DN=AB=30，CE=15，

∴EM=CM-BC=15.

∵∠ECM=45°，

∴BM=EM=15.

∵A為CD的中點，

∴BN=AD=AC=BM=15.

∵tan∠FBN=，

∴，

∴FN=，

∴DF=30-.

故答案為：30-.

【分析】過E作EM⊥過點B的水平線于點M，過F作FN⊥過點B的水平線于點N，由題意可知CM=DN=AB=30，CE=15，則EM=CM-BC=15，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得EM、FN，然后根據(jù)DF=DN-FN進行計算.

12．【答案】

【知識點】矩形的性質(zhì)；解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：如圖所示：

由題意得四邊形CANM、四邊形CABD、四邊形DBNM為矩形，

∴DC=BA=30，CA=NM=1，

由題意得∠DCE=30°，∠MDE=60°，

∴∠CED=30°=∠DCE，

∴DC=DE=30，

∴，

解得，

∴EN=m，

故答案為：

【分析】先根據(jù)題意結(jié)合矩形的性質(zhì)即可得到DC=BA=30，CA=NM=1，進而根據(jù)題意得到∠DCE=30°，∠MDE=60°，從而得到∠CED=30°=∠DCE，DC=DE=30，再運用解直角三角形的知識即可求出ME，進而即可得到EN。

13．【答案】9.9

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：如圖，作，

，

千米，，

(千米)，

(千米)，

，

(千米)，

(千米)，

故答案為：9.9.

【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，結(jié)合題意構(gòu)造合適的直角三角形是解題關(guān)鍵.

14．【答案】解：在Rt△ABC中，，，，

∴

．

∴AC的長約為80cm．

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【分析】直接利用∠B的正切函數(shù)可求出AC的長.

15．【答案】解：方法一：

過點作交的延長線于點，

四邊形是平行四邊形，，

，

，

過點作于點，

由題意知，，

，

又，

，

過作于點，

，，

，

，

靠背頂端點距地面高度為

；

方法二：

如圖，過點作交的延長線于點，過點作于點，延長交于點，

，，

，

又，

，

，

，

過作于，

由題意知，，

，

又，

，

靠背頂端點距地面高度為．

【知識點】平行線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【分析】方法一：過點作交的延長線于點，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合題意即可得到，過點作于點，進而得到，進而根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到，進而得到，過作于點，再結(jié)合題意運用解直角三角形即可求解；

方法二：過點作交的延長線于點，過點作于點，延長交于點，根據(jù)題意運用解直角三角形的知識即可得到，過作于，進而得到，再運用平行線的性質(zhì)結(jié)合解直角三角形即可求解。

16．【答案】解：如圖，根據(jù)題意得，，.

⑴，

.

在中，，

.

答：行進路線BC和CA所在直線的夾角為.

⑵過點作，垂足為

，

.

在Rt中，

，

.

在Rt中，

，

.

答：檢查點和之間的距離為.

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得：∠NAS=180°，∠SAB=25°，從而利用平角定義可得∠CAB=75°，然后在△ABC中利用三角形內(nèi)角和定理進行計算即可解答；

（2）過點A作AD⊥BC于點D，在△ABD中，利用45°的三角函數(shù)求出AD和BD長，在△ACD中，利用60°的三角函數(shù)求出CD長，進而得出BC的長.

17．【答案】（1）解：如圖，過B點作于C，于E，則四邊形是矩形，

在中，，，

∴，

∴，

答：登山纜車上升的高度；

（2）解：在中，，，

∴，

∴從山底A處到達山頂處大約需要：

，

答：從山底A處到達山頂處大約需要.

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題

【解析】【分析】(1)作輔助線BC⊥AF，BE⊥DF的目的，就是分別將30°（∠BAC）和53°（∠DBE）置于，通過Rt△ABC和Rt△DBE中，通過解直角三角形的方式來求解線段.因為已知AB=300，利用“在直角三角形，30°所對的直角邊是斜邊的一半”的性質(zhì)得到BC，由“矩形對邊相等”得到EF=BC.最后因為DF=600已知，即可通過DF-EF得到DE的值.

（2）從A到D的總時間分兩段：A—B的步行時間300÷30=10分鐘，B—D的乘纜車時間.因為乘纜車的速度已知為60，只要求出路程長，即BD的長度即可.在Rt△DBE中，可以通過∠DBE（53°）的正弦函數(shù)（sin）建立起DE和BD之間的數(shù)量關(guān)系，從而求出BD的值.最后把兩段時間相加，近似到0.1分鐘.

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2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)九年級上冊25.4解直角三角形的應(yīng)用同步分層訓(xùn)練基礎(chǔ)卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023·深圳）爬坡時坡角與水平面夾角為α，則每爬1m耗能，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（）.（參考數(shù)據(jù)：，）

A．58JB．159JC．1025JD．1732J

【答案】B

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題

【解析】【解答】解：由題意得，沿著坡角為30°的坡面爬行1000米的耗能為：

1000×（1.025-cos30°）=1000×（1.025-）≈159J.

故答案為：B.

【分析】由耗能=1000×（1.025-cos30°），然后代入特殊銳角三角函數(shù)值計算即可.

2．（2023·官渡模擬）松華壩水庫地處昆明北郊，是昆明市的重要水源，被稱為“昆明頭上的一碗水”，水庫周邊遍布森林與濕地，呈現(xiàn)出一幅純凈自然的和諧生態(tài)畫卷．如圖，大壩某段橫截面迎水坡的坡度（），若壩高，則坡面的水平寬度長度約為（）（參考數(shù)據(jù)：，，）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】勾股定理；解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題

【解析】【解答】解：∵大壩某段橫截面迎水坡的坡度，

∴AC=60m，

由勾股定理得m，

故答案為：C

【分析】先根據(jù)解直角三角形得到AC的長，再根據(jù)勾股定理即可求解。

3．（2023九下·鹿城月考）圖1是一種落地晾衣架，晾衣時，該晾衣架左右晾衣臂張開后示意圖如圖2所示，和分別是兩根不同長度的支撐桿，其中兩支腳，展開角，晾衣臂，則支樟桿的端點離地面的高度為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：∵OB=OD，∠BOD=70°，

∴∠OBD=∠ODB=55°，

∵OB=50cm，OA=80cm，

∴AB=OA+OB=130cm，

∵，

∴AE=AB·sin55°=130sin55°cm.

故答案為：B.

【分析】由等邊對等角及三角形的內(nèi)角和定理得∠OBD=55°，由線段和差得AB=OA+OB=130cm，然后根據(jù)∠ABE的正弦函數(shù)可表示出AE的長.

4．（2023·朝陽模擬）如圖，在天定山滑雪場滑雪，需從山腳下處乘纜車上山頂處，纜車索道與水平線所成的，若山的高度米，則纜車索道的長為（）

A．米B．米C．米D．米

【答案】C

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：在Rt中，

，，

，

米，

故答案為：C．

【分析】利用銳角三角函數(shù)先求出，再求解即可。

5．（2023·長春）學(xué)校開放日即將來臨，負(fù)責(zé)布置的林老師打算從學(xué)校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩到地面，如圖所示．已彩旗繩與地面形成角（即）、彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即米），則彩旗繩的長度為（）

A．米B．米C．米D．米

【答案】D

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：由題意得CA⊥CB，

∴，

故答案為：D

【分析】先根據(jù)題意即可得到CA⊥CB，進而根據(jù)解直角三角形的知識結(jié)合題意即可求解。

6．（2023·日照）日照燈塔是日照海濱港口城市的標(biāo)志性建筑之一，主要為日照近海及進出日照港的船舶提供導(dǎo)航服務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)小組的同學(xué)要測量燈塔的高度，如圖所示，在點B處測得燈塔最高點A的仰角，再沿方向前進至C處測得最高點A的仰角，，則燈塔的高度大約是（）（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題

【解析】【解答】解：由題意得，

∴DB=DA，

設(shè)AD=a，則DB=a，CD=a-15.3，

∴，

∴a≈36，

∴燈塔的高度大約是，

故答案為：B

【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到DB=DA，設(shè)AD=a，則DB=a，CD=a-15.3，進而根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得到a≈36，進而即可求解。

7．（2023·十堰）如圖所示，有一天橋高為5米，是通向天橋的斜坡，，市政部門啟動“陡改緩”工程，決定將斜坡的底端C延伸到D處，使，則的長度約為（參考數(shù)據(jù)：）（）

A．米B．米C．米D．米

【答案】D

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題

【解析】【解答】解：∵∠ACB=45°，AB=5，

∴AC=5.

∵AB=5，∠BDA=30°，

∴AD=AB÷tan30°=5÷=，

∴CD=AD-AC=-5≈3.66.

故答案為：D.

【分析】分別在Rt△ABC、Rt△ABD中，由三角函數(shù)的概念求出AC、AD，然后根據(jù)CD=AD-AC進行計算.

8．（2023七下·長沙期中）如圖，一航班沿北偏東方向從A地飛往C地，到達C地上空時，由于天氣情況不適合著陸，準(zhǔn)備備降B地，已知C地在B地的北偏西方向，則其改變航向時的度數(shù)為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題

【解析】【解答】

解：如圖：

由題意得：∠EAC=60°，∠CBF=45°，AE//BF，

∴∠EAB+∠ABF=180°，

∴∠CAB+∠CBA=180°-∠EAC-∠CBF=75°，

∵∠α是△ACB的一個外角，

∴∠α=∠CAB+∠CBA=75°.

故答案為：B

【分析】根據(jù)題意得出∠EAC=60°，∠CBF=45°，AE//BF，再由平行線的性質(zhì)得出∠EAB+∠ABF=180°，利用三角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)求解即可.

二、填空題

9．（2023八下·溫州期中）如圖，大壩橫截面迎水坡AB的坡比為2：1，若壩高AC為12（m），則迎水坡AB的長為（m）．

【答案】

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題

【解析】【解答】解：∵大壩橫截面迎水坡AB的坡比為2：1，若壩高AC為12m，

∴BC=6，

∴迎水坡AB的長為（m）.

故答案為：.

【分析】根據(jù)坡比的定義得出BC的長為6m，然后根據(jù)勾股定理即可求解。

10．（2023·黃岡模擬）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹CD的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為45°，在點B處測得樹頂C的仰角為60°，且A，B，D三點在同一直線上，若AB＝20m，則這棵樹CD的高度約為m．（按四舍五入法將結(jié)果保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：）

【答案】12.7

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題

【解析】【解答】解：∵CD⊥AB于點D，

∴∠ADC=∠BDC=90°，

∵∠A=45°，

∴△ADC是等腰直角三角形，

∴CD=AD，

設(shè)AD=CD=x，

則BD=AB-AD=20-x，

在Rt△CBD中，∵，

∴，

∴x≈12.7.

故答案為：12.7.

【分析】易得△ADC是等腰直角三角形，則CD=AD，設(shè)AD=CD=x，則BD=AB-AD=20-x，在Rt△CBD中，利用∠B的正切函數(shù)建立方程，求解即可.

11．（2023·黃岡）綜合實踐課上，航模小組用航拍無人機進行測高實踐．如圖，無人機從地面的中點A處豎直上升30米到達B處，測得博雅樓頂部E的俯角為，尚美樓頂部F的俯角為，已知博雅樓高度為15米，則尚美樓高度為米．（結(jié)果保留根號）

【答案】

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題

【解析】【解答】解：過E作EM⊥過點B的水平線于點M，過F作FN⊥過點B的水平線于點N，

由題意可知CM=DN=AB=30，CE=15，

∴EM=CM-BC=15.

∵∠ECM=45°，

∴BM=EM=15.

∵A為CD的中點，

∴BN=AD=AC=BM=15.

∵tan∠FBN=，

∴，

∴FN=，

∴DF=30-.

故答案為：30-.

【分析】過E作EM⊥過點B的水平線于點M，過F作FN⊥過點B的水平線于點N，由題意可知CM=DN=AB=30，CE=15，則EM=CM-BC=15，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得EM、FN，然后根據(jù)DF=DN-FN進行計算.

12．（2023·濟寧）某數(shù)學(xué)活動小組要測量一建筑物的高度，如圖，他們在建筑物前的平地上選擇一點，在點和建筑物之間選擇一點，測得．用高的測角儀在處測得建筑物頂部的仰角為，在處測得仰角為，則該建筑物的高是．

【答案】

【知識點】矩形的性質(zhì)；解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：如圖所示：

由題意得四邊形CANM、四邊形CABD、四邊形DBNM為矩形，

∴DC=BA=30，CA=NM=1，

由題意得∠DCE=30°，∠MDE=60°，

∴∠CED=30°=∠DCE，

∴DC=DE=30，

∴，

解得，

∴EN=m，

故答案為：

【分析】先根據(jù)題意結(jié)合矩形的性質(zhì)即可得到DC=BA=30，CA=NM=1，進而根據(jù)題意得到∠DCE=30°，∠MDE=60°，從而得到∠CED=30°=∠DCE，DC=DE=30，再運用解直角三角形的知識即可求出ME，進而即可得到EN。

13．（2023·赤峰）為發(fā)展城鄉(xiāng)經(jīng)濟，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，某鄉(xiāng)對地和地之間的一處垃圾填埋場進行改造，把原來地去往地需要繞行到地的路線，改造成可以直線通行的公路．如圖，經(jīng)勘測，千米，，，則改造后公路的長是千米（精確到千米；參考數(shù)據(jù)：，，，）．

【答案】9.9

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：如圖，作，

，

千米，，

(千米)，

(千米)，

，

(千米)，

(千米)，

故答案為：9.9.

【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，結(jié)合題意構(gòu)造合適的直角三角形是解題關(guān)鍵.

三、解答題

14．（2023·臺州）教室里的投影儀投影時，可以把投影光線CA，CB及在黑板上的投影圖像高度AB抽象成如圖所示的△ABC，．黑板上投影圖像的高度，CB與AB的夾角，求AC的長．（結(jié)果精確到1cm．參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】解：在Rt△ABC中，，，，

∴

．

∴AC的長約為80cm．

【知識點】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【分析】直接利用∠B的正切函數(shù)可求出AC的長.

15．（2023·常德）今年“五一”長假期間，小陳、小余同學(xué)和家長去沙灘公園游玩，坐在如圖的椅子上休息時，小陳感覺很舒服，激發(fā)了她對這把椅子的好奇心，就想出個問題考考同學(xué)小余，小陳同學(xué)先測量，根據(jù)測量結(jié)果畫出了圖1的示意圖（圖2）．在圖2中，已知四邊形是平行四邊形，座板與地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．這時她問小余同學(xué)，你能算出靠背頂端點距地面（）的高度是多少嗎？請你幫小余同學(xué)算出結(jié)果（最后結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】解：方法一：

過點作交的延長線于點，

四邊形是平行四邊形，，

，

，

過點作于點，

由題意知，，

，

又，

，

過作于點，

，，

，

，

靠背頂端點距地面高度為

；

方法二：

如圖，過點作交的延長線于點，過點作于點，延長交于點，

，，

，

又，

，

，

，

過作于，

由題意知，，

，

又，

，

靠背頂端點距地面高度為．

【知識點】平行線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【分析】方法一：過點作交的延長線于點，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合題意即可得到，過點作于點，進而得到，進而根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到，進而得到，過作于點，再結(jié)合題意運用解直角三角形即可求解；

方法二：過點作交的延長線于點，過點作于點，延長交于