吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院《432統(tǒng)計(jì)學(xué)》專業(yè)碩士歷年考研真題及詳解

2012年吉林大學(xué)432統(tǒng)計(jì)學(xué)[專業(yè)碩士]考研真題2012年吉林大學(xué)432統(tǒng)計(jì)學(xué)[專業(yè)碩士]考研真題及詳解一、（25分）一復(fù)雜的系統(tǒng)由100個相互獨(dú)立起作用的部件所組成，在整個運(yùn)行期間每個部件損壞的概率為0.10。為了使整個系統(tǒng)起作用，至少必須有85個部件正常工作，求整個系統(tǒng)起作用的概率。（Ф（1.67））＝0.9225；Ф（0.6）＝0.7257；Ф（0.33）＝0.6293）解：由題意可知每個部件正常工作的概率為0.9，總樣本數(shù)n＝100，用X表示正常工作的部件的數(shù)量，X～B（100，0.9），則整個系統(tǒng)起作用的概率為P（X≥85）。np＝90＞5且n（1－p）＝9＞5，根據(jù)棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理可知，所以整個系統(tǒng)起作用的概率為：二、（25分）1由統(tǒng)計(jì)物理學(xué)知，分子運(yùn)動速度的絕對值X服從麥克斯韋（Maxwell）分布，其概率密度為其中b＝m/（2kT），k為Boltzmann常數(shù)，T為絕對溫度，m是分子的質(zhì)量，試確定常數(shù)A。解：根據(jù)概率密度函數(shù)的性質(zhì)可得：解得又b＝m/（2kT），故2研究了英格蘭在1875年～1951年期間，在礦山上發(fā)生導(dǎo)致10人或10人以上死亡的事故的頻繁程度，得知相繼兩次事故之間的T（以日計(jì)）服從指數(shù)分布，其概率密度為：求分布函數(shù)FT（t），并求概率P{50＜T＜100}。解：當(dāng)t＞0時當(dāng)t≤0時，F(xiàn)T（t）＝0。所以分布函數(shù)為三、（25分）設(shè)某電子器件的壽命（以小時計(jì)）T服從雙參數(shù)的指數(shù)分布，其概率密度為其中c，θ（c，θ≥0）為未知參數(shù)。自一批這種器件中隨機(jī)抽取n件進(jìn)行壽命試驗(yàn)，設(shè)它們的失效時間依次為x1≤x2≤……≤xn。（1）求θ與c的最大似然估計(jì)；（2）求θ與c的矩估計(jì)。解：（1）似然函數(shù)為兩邊求對數(shù)得到對數(shù)似然函數(shù)為：因?yàn)閘nL（θ，c）關(guān)于c單調(diào)遞增，且當(dāng)x1＞c時L＞0，當(dāng)x1＜c時L＝0，所以c(∧)L＝x1是唯一使L達(dá)到最大的c值，即c的MLE。將lnL（θ，c）對θ求偏導(dǎo)并令其等于0，得到－nθ＋nx(＿)－nc＝0，由于似然函數(shù)是指數(shù)族的形式，且θ(∧)L的屬于自然參數(shù)空間Θ*＝{θ：θ≥0}＝[0，∞）的內(nèi)點(diǎn)集，故θ的極大似然估計(jì)為θ(∧)L＝x(＿)－x1。（2）因?yàn)镈T＝ET2－（ET）2＝θ2，所以θ和c的矩估計(jì)為：四、（25分）設(shè)從均值為μ，方差為σ2＞0的總體中，分別抽取容量為η1，η2的兩個獨(dú)立樣本，X(＿)1和X(＿)2分別是兩樣本的均值。試證：對任意常數(shù)a，b（a＋b＝1），Y＝aX(＿)1＋bX(＿)2都是μ的無偏估計(jì)并確定常數(shù)a，b使Y的方差Var（Y）達(dá)到最小。解：由題意可知，同理E（X(＿)2）＝μ，所以有：E（Y）＝E（aX(＿)1＋bX(＿)2）＝aE（X(＿)1）＋bE（X(＿)2）＝aμ＋bμ＝（a＋b）μ＝μ因此，對任意常數(shù)a，b（a＋b＝1），Y＝aX(＿)1＋bX(＿)2都是μ的無偏估計(jì)。因?yàn)閮蓸颖鞠嗷オ?dú)立，所以：當(dāng)a＝n1/（n1＋n2），b＝n2/（n1＋n2）時，Var（Y）達(dá)到最小值。五、（25分）隨機(jī)地選8個人，分別測量了他們在早晨起床時和晚上就寢時的身高（cm），得到如下數(shù)據(jù)。設(shè)各對數(shù)據(jù)的差Di＝Xi－Yi（i＝1，2，……，8）是來自正態(tài)總體（μD，σD2）的樣本，μD，σD2均未知，問是否可以認(rèn)為早晨的身高要比晚上的身高要高？（取α＝0.05，t0.05（7）＝1.8946）解：整理數(shù)據(jù)得到下表：第一步：提出假設(shè)：H0：μD≤0；H0：μD＞0第二步：計(jì)算D的均值和方差：D(＿)＝（0＋1＋3＋2＋1＋2－1＋2）/8＝1.25第三步：構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量第四步：當(dāng)原假設(shè)成立時，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值為T＝2.76；第五步：做出決策：當(dāng)α＝0.05時，t0.05＝1.8946，因?yàn)門＝2.76＞1.8946，所以拒絕原假設(shè)，認(rèn)為早晨的身高比晚上的身高要高。六、（25分）假設(shè)回歸直線過原點(diǎn)，即一元線性回歸模型為yi＝βxi＋εi，i＝1，…，nE（εi）＝0，Var（εi）＝σ2，諸觀測者相互獨(dú)立。（1）寫出β，σ2的最小二乘估計(jì)；（2）對給定的x0，其對應(yīng)的因變量均值的估計(jì)為y(∧)0，求Var（y(∧)0）。解：（1）根據(jù)最小二乘法，使∑（yi－y(∧)i）2＝∑（yi－β(∧)xi）2最小。令Q＝∑（yi－y(∧)i）2根據(jù)微積分的極值定理，對Q求相應(yīng)于β的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，便可求出β(∧)，即