反常積分廣義積分市公開(kāi)課一等獎(jiǎng)?wù)n件省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

第3章一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用第1節(jié)定積分概念，存在條件與性質(zhì)第2節(jié)微積分基本公式與基本定理第3節(jié)兩種基本積分法第4節(jié)定積分應(yīng)用第5節(jié)反常積分第6節(jié)幾類(lèi)簡(jiǎn)單微分方程2023年01月04日1南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系1/235.1無(wú)窮區(qū)間上積分5.2無(wú)界函數(shù)積分定積分積分限有限被積函數(shù)有界推廣廣義積分第5節(jié)反常積分(廣義積分)22/23解功元素所求功為假如要考慮將單位電荷移到無(wú)窮遠(yuǎn)處說(shuō)明:33/23第5節(jié)反常積分5.1無(wú)窮區(qū)間上積分-無(wú)窮積分5.2無(wú)界函數(shù)積分-瑕積分5.3

無(wú)窮區(qū)間上積分審斂準(zhǔn)則5.4無(wú)界函數(shù)積分審斂準(zhǔn)則44/23定義5.1設(shè)則稱(chēng)極限為f(x)在無(wú)窮區(qū)間[a,+∞)上積分,簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮積分,記作稱(chēng)無(wú)窮積分收斂;假如上述極限不存在,就稱(chēng)無(wú)窮積分發(fā)散.5.1無(wú)窮區(qū)間上積分假如上述極限存在,稱(chēng)此極限為f在[a,+∞)上積分值.55/23同步存在其中c為任意實(shí)數(shù)66/23注意只要有一種極限不存在,就稱(chēng)發(fā)散.77/23性質(zhì)1.1(線性性質(zhì))

設(shè)a,b∈

R,則根據(jù)反常積分定義,容易導(dǎo)出下列性質(zhì).性質(zhì)1.288/23引入記號(hào)則有類(lèi)似牛–萊公式計(jì)算體現(xiàn)式:99/23例1.

計(jì)算廣義積分解:思考:分析:原積分發(fā)散!注意:

對(duì)無(wú)窮積分,只有在收斂條件下才能使用“偶倍奇零”性質(zhì),不然會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.1010/23證1111/23例3

計(jì)算積分解1212/235.2無(wú)界函數(shù)積分-瑕積分引例:曲線所圍成與x軸,y軸和直線開(kāi)口曲邊梯形面積可記作其含義可理解為1313/23就稱(chēng)瑕積分發(fā)散.假如上述極限存在,定義5.2中a稱(chēng)為瑕點(diǎn)（奇點(diǎn)）．稱(chēng)瑕積分收斂;假如上述極限不存在,稱(chēng)此極限為f

在(a,b]上積分值.1414/23收斂

;只要有一種極限不存在,就稱(chēng)發(fā)散.右邊兩個(gè)極限均存在,就稱(chēng)1515/23收斂

;其中只要有一種極限不存在,就稱(chēng)發(fā)散.右邊兩個(gè)極限均存在,就稱(chēng)1616/23注意:若瑕點(diǎn)計(jì)算體現(xiàn)式:則也有類(lèi)似牛–萊公式若

b

為瑕點(diǎn),則若a

為瑕點(diǎn),則若a

,b都為瑕點(diǎn),則則可相消嗎?1717/23下述解法是否正確:,∴積分收斂例4.

計(jì)算廣義積分解:

顯然瑕點(diǎn)為

a

,因此原式例5.討論廣義積分收斂性.解:因此廣義積分發(fā)散.1818/23證1919/232020/23EX計(jì)算由此，求數(shù)列極限：解2121/23反常（廣義）積分小結(jié)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2222/23（2）無(wú)