第四章-熱傳導(dǎo)問(wèn)題的數(shù)值解法課件

導(dǎo)熱問(wèn)題研究的目的熱流量溫度分布強(qiáng)化/減弱導(dǎo)熱的措施導(dǎo)熱問(wèn)題研究的基本方法理論分析法數(shù)值計(jì)算法實(shí)驗(yàn)方法有限差分法分子動(dòng)力學(xué)模擬法邊界元法有限元法有限差分法的基本思想：用有限小的差分、差商近似代替無(wú)限小的微分、微商，用代數(shù)形式的差分方程近似代替微分方程，并通過(guò)求解差分方程求取有限時(shí)刻物體有限節(jié)點(diǎn)上的溫度值?！?-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想導(dǎo)熱問(wèn)題研究的目的熱流量溫度分布強(qiáng)化/減弱導(dǎo)熱的措施導(dǎo)熱問(wèn)題

數(shù)值計(jì)算方法的基本思想將時(shí)間、空間坐標(biāo)系中連續(xù)的物理量場(chǎng)，用有限離散點(diǎn)上數(shù)值的集合來(lái)代替，并通過(guò)求解離散點(diǎn)物理量組成的代數(shù)方程來(lái)求解，所得的解稱為數(shù)值解。126345數(shù)值計(jì)算方法的優(yōu)點(diǎn)：多維變物性復(fù)雜幾何形狀復(fù)雜邊界§4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想數(shù)值計(jì)算方法的基本思想將時(shí)間、空間坐標(biāo)系中連續(xù)的物理量場(chǎng)，二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題Step-1:控制方程及邊界條件§4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題Step-1:二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題Step-2:計(jì)算域離散化xynm(m,n)MN基本概念：網(wǎng)格線節(jié)點(diǎn)（內(nèi)節(jié)點(diǎn)、邊界節(jié)點(diǎn)）控制容積界面線步長(zhǎng)均勻/非均勻網(wǎng)格§4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題Step-2:二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題Step-3:建立節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程基本方法：Taylor（泰勒）級(jí)數(shù)展開(kāi)法控制容積平衡法(熱平衡法)內(nèi)節(jié)點(diǎn)邊界節(jié)點(diǎn)平直邊界節(jié)點(diǎn)邊界內(nèi)節(jié)點(diǎn)邊界外節(jié)點(diǎn)§4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題Step-3:Step-4:設(shè)置溫度場(chǎng)的迭代初值代數(shù)方程組的求解方法有直接解法與迭代解法，傳熱問(wèn)題的有限差分法中主要采用迭代法，對(duì)被求溫度場(chǎng)預(yù)先設(shè)定一個(gè)解，這個(gè)解稱為初場(chǎng)，并在求解過(guò)程中不斷改進(jìn)。Step-5:節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程的求解除m=1的左邊界上各節(jié)點(diǎn)的溫度已知外，其余(M-1)N個(gè)節(jié)點(diǎn)均需建立離散方程，共有(M-1)N個(gè)方程，則構(gòu)成一個(gè)封閉的代數(shù)方程組。Step-6:解的分析如何判斷數(shù)值解的準(zhǔn)確性？三個(gè)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、精確分析解驗(yàn)證、特定問(wèn)題的基準(zhǔn)解驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算中偏差ε

總是存在的，增加節(jié)點(diǎn)數(shù)目可以減小誤差。計(jì)算網(wǎng)格獨(dú)立性。通過(guò)求解代數(shù)方程，獲得物體中的溫度分布，根據(jù)溫度場(chǎng)應(yīng)進(jìn)一步計(jì)算通過(guò)的熱流量，熱應(yīng)力及熱變形等?！?-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想Step-4:設(shè)置溫度場(chǎng)的迭代初值Step-6:解的分內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法）1.對(duì)相鄰節(jié)點(diǎn)寫出溫度t對(duì)內(nèi)節(jié)點(diǎn)(m,n)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式x:(m,n)的相鄰節(jié)點(diǎn)為(m+1,n),(m-1,n)y:(m,n)的相鄰節(jié)點(diǎn)為(m,n+1),(m,n-1)X方向§4-2內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法）1.對(duì)相鄰節(jié)點(diǎn)寫出溫內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法）2.整理得到二階導(dǎo)數(shù)的中心差分截?cái)嗾`差：級(jí)數(shù)余項(xiàng)中的Δx的最低階數(shù)為2即中心差分格式具有二階精度。3.由控制方程得到內(nèi)節(jié)點(diǎn)(m,n)的離散代數(shù)方程中心差分§4-2內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法）2.整理得到二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）基本思想：對(duì)每個(gè)有限大小的控制容積應(yīng)用能量守恒，從而獲得溫度場(chǎng)的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和Fourier導(dǎo)熱定律即可。從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝控制體內(nèi)能的增量穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源時(shí)：從所有方向流入控制體的總熱量＝0§4-2內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）基本思想：對(duì)每個(gè)有限大小的控內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)

x

xyy

(m,n+1)對(duì)控制體每個(gè)界面線（圖中虛線）應(yīng)用傅立葉導(dǎo)熱定律?！?-2內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）(m,n)oyx(m-1,§4-2內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法§4-2內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法建立節(jié)點(diǎn)離散方程的泰勒級(jí)數(shù)法與熱平衡法的比較：泰勒級(jí)數(shù)法屬于純數(shù)學(xué)方法，而熱平衡法基于能量守恒原理，物理概念明確，且推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)捷；泰勒級(jí)數(shù)法對(duì)于建立邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程較困難；當(dāng)導(dǎo)熱物體物性或內(nèi)熱源不均勻時(shí)，泰勒級(jí)數(shù)法不適用，而熱平衡法能夠方便處理?！?-2內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法建立節(jié)點(diǎn)離散方程的泰勒級(jí)數(shù)法與熱平衡法的比較：§4-2內(nèi)節(jié)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立基本方法：Taylor（泰勒）級(jí)數(shù)展開(kāi)法控制容積平衡法(熱平衡法)內(nèi)節(jié)點(diǎn)邊界節(jié)點(diǎn)平直邊界節(jié)點(diǎn)邊界內(nèi)節(jié)點(diǎn)邊界外節(jié)點(diǎn)為什么要建立邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程？一類邊界條件：方程組封閉，可直接求解二類、三類邊界條件：邊界溫度未知，方程組不封閉將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來(lái)考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達(dá)式。用Φ表示內(nèi)熱源?！?-3邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立

及代數(shù)方程的求解節(jié)點(diǎn)離散方程的建立基本方法：內(nèi)節(jié)點(diǎn)邊界節(jié)點(diǎn)平直邊界節(jié)點(diǎn)邊界內(nèi)邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）：二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0平直邊界節(jié)點(diǎn)§4-3邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立

及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）：二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、常物性邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）：二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0邊界外角點(diǎn)§4-3邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立

及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）：二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、常物性邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）：二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0邊界內(nèi)角點(diǎn)§4-3邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立

及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）：二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、常物性邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的兩個(gè)具體問(wèn)題：邊界熱流密度的具體處理方法絕熱邊界第二類邊界第三類邊界不規(guī)則邊界的處理方法多段折線模擬不規(guī)則邊界，網(wǎng)格越密越接近實(shí)際坐標(biāo)變換：保角變換§4-3邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立

及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的兩個(gè)具體問(wèn)題：邊界熱流密度的具體處理方法絕n個(gè)未知節(jié)點(diǎn)溫度，n個(gè)代數(shù)方程式：節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程的求解直接解法迭代解法直接解法：矩陣求逆、高斯消元法等缺點(diǎn)：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時(shí)不便、不適用于非線性問(wèn)題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點(diǎn)溫度差分方程中的導(dǎo)熱系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計(jì)算過(guò)程中要相應(yīng)地不斷更新）§4-3邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立

及代數(shù)方程的求解n個(gè)未知節(jié)點(diǎn)溫度，n個(gè)代數(shù)方程式：節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程的求解迭代解法：Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、松弛法等先對(duì)要計(jì)算的場(chǎng)作出假設(shè)（給定初始值）、在迭代計(jì)算過(guò)程中不斷予以改進(jìn)、直到計(jì)算結(jié)果與假定值的結(jié)果相差小于允許值。稱迭代計(jì)算已經(jīng)收斂。節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程的求解Gauss-Seidel迭代法：每次迭代時(shí)總是使用節(jié)點(diǎn)溫度的最新值§4-3邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立

及代數(shù)方程的求解迭代解法：Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法在計(jì)算后面的節(jié)點(diǎn)溫度時(shí)應(yīng)采用最新值：根據(jù)第k次迭代的數(shù)值：節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程的求解Gauss-Seidel迭代法§4-3邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立

及代數(shù)方程的求解在計(jì)算后面的節(jié)點(diǎn)溫度時(shí)應(yīng)采用最新值：根據(jù)第k次迭代的數(shù)值節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程的求解Gauss-Seidel迭代法判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：ororε

為允許的偏差，一般取10-3～10-6為k次迭代得到的計(jì)算域溫度最大值計(jì)算域溫度存在近于0的值時(shí)采用§4-3邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立

及代數(shù)方程的求解節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程的求解Gauss-Seidel節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程的求解Gauss-Seidel迭代法如何判斷數(shù)值解的準(zhǔn)確性？如何判斷數(shù)值解的準(zhǔn)確性？三個(gè)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、精確分析解驗(yàn)證、特定問(wèn)題的基準(zhǔn)解驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算中偏差ε

總是存在的，增加節(jié)點(diǎn)數(shù)目可以減小誤差。計(jì)算網(wǎng)格獨(dú)立性。判斷迭代能否收斂的準(zhǔn)則：如何避免迭代發(fā)散？必須滿足對(duì)角占優(yōu)原則：每個(gè)迭代變量的系數(shù)總大于/等于該式中其它變量系數(shù)絕對(duì)值的代數(shù)和(參考教材例題4-1)Step-6:解的分析§4-3邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立

及代數(shù)方程的求解節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程的求解Gauss-Seidel例題滿足對(duì)角占優(yōu)的條件：8>2+1；5>1+2；4>2+1，所以迭代能收斂例題滿足對(duì)角占優(yōu)的條件：8>2+1；5>1+2；4>2+1，取初始迭代值為0，計(jì)算中間值如下表所示取初始迭代值為0，計(jì)算中間值如下表所示第四章-熱傳導(dǎo)問(wèn)題的數(shù)值解法課件第四章-熱傳導(dǎo)問(wèn)題的數(shù)值解法課件例：針肋如右圖所示，碳鋼

=43.2W/(m.K)，求溫度分布及換熱量。

精確解：例：針肋如右圖所示，碳鋼=43.2W/(m.K)，求溫度分用數(shù)值方法求解：微分方程節(jié)點(diǎn)2：節(jié)點(diǎn)3節(jié)點(diǎn)4

網(wǎng)格劃分如右圖：用數(shù)值方法求解：微分方程節(jié)點(diǎn)2：節(jié)點(diǎn)3節(jié)點(diǎn)4網(wǎng)格劃分如右三種情況的計(jì)算結(jié)果如下溫度分布熱量計(jì)算：誤差精確解

=15.06W

四節(jié)點(diǎn)

=11.94W21%

三節(jié)點(diǎn)

=10.52W30%

如取5節(jié)點(diǎn),則

的誤差為19%三種情況的計(jì)算結(jié)果如下溫度分布熱量計(jì)算：非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)穩(wěn)態(tài)項(xiàng)（擴(kuò)散項(xiàng)）源項(xiàng)由于非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的存在，除了對(duì)空間坐標(biāo)離散外，還需要對(duì)時(shí)間坐標(biāo)進(jìn)行離散。穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散項(xiàng)的離散格式：中心差分格式非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式：向前差分格式、向后差分格式、中心差分格式§4-4非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)穩(wěn)態(tài)項(xiàng)（擴(kuò)散項(xiàng)）源項(xiàng)由于非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的存在，除了對(duì)空間坐tfhtfhxt

0平板加熱問(wèn)題第三類邊界條件一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程及定解條件：邊界條件初始條件§4-4非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法tftfxt0平板加熱問(wèn)題一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程及定解條向前差分格式向后差分格式中心差分格式非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式的構(gòu)造：泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法Δx為空間步長(zhǎng)Δτ

為時(shí)間步長(zhǎng)偏微分方程離散化代數(shù)方程非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)向前差分?jǐn)U散項(xiàng)中心差分點(diǎn)（n,i）§4-4非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法向前差分格式向后差分格式中心差分格式非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式的構(gòu)造非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法從所有方向流入控制體的總熱量＝控制體內(nèi)能的增量?jī)?nèi)節(jié)點(diǎn)n§4-4非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法從所有方向流入控制體的總熱非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法左邊對(duì)稱絕熱邊界§4-4非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法左邊對(duì)稱絕熱邊界§4-4非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法右邊第三類邊界§4-4非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法右邊第三類邊界§4-4非顯示格式存在穩(wěn)定性問(wèn)題：如果節(jié)點(diǎn)tn(i)

前面的系數(shù)小于零，則數(shù)值解出現(xiàn)不穩(wěn)定的震蕩結(jié)果。顯示格式2顯示格式：格式右邊全部為第i時(shí)間層的溫度值，只要i時(shí)間層溫度已知，即可計(jì)算得到i+1時(shí)間層的溫度。非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱節(jié)點(diǎn)離散方程的兩種格式：即：空間步長(zhǎng)?x和時(shí)間步長(zhǎng)?τ的選取有限制顯示格式的穩(wěn)定性條件：§4-4非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法顯示格式存在穩(wěn)定性問(wèn)題：如果節(jié)點(diǎn)tn(i)前面的系數(shù)小于隱式格式非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱節(jié)點(diǎn)離散方程的兩種格式：隱式格式：空間離散采用（i+1）時(shí)層的值。隱式格式