河南省洛陽市等三地部分名校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

河南省高三部分名校聯(lián)考入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.2 C. D.2i3.已知，，，則（）A. B. C. D.4.在中，，，，分別為邊，的中點，則（）A. B. C. D.5.有一組樣本數(shù)據(jù)為33，66，99，101，134，167，其方差為.現(xiàn)準(zhǔn)備再添加一個新數(shù)據(jù)，若，其與原有的6個數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的方差記為，若，其與原有的6個數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的方差記為，則（）A. B. C. D.6.已知，，是三條不同的直線，，是兩個不同的平面，且，，，，則下列命題錯誤的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則7.已知函數(shù)在）上沒有零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知矩形的頂點都在橢圓上，若該矩形面積的最大值為，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9.已知，，，則（）A. B.C. D.10.已知函數(shù)的定義域為，，則（）A. B.是奇函數(shù)C.為的極小值點 D.若，則11.已知函數(shù)下列結(jié)論正確的是（）A.在上單調(diào)遞減 B.的圖象關(guān)于點對稱C.曲線與軸相切 D.的值域為12.半正多面體亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個正三角形和4個正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成.在如圖所示的半正多面體中，若其棱長為1，則下列結(jié)論正確的是（）A.該半正多面體的表面積為B.該半正多面體的體積為C.該半正多面體外接球的表面積為D.若點，分別在線段，上，則的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上.13.已知雙曲線的離心率為3，則的虛軸長為________.14.從1，2，3，4，5，6中任取出兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，則可以組成________個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù).（用數(shù)字作答）15.已知圓，點在直線上，過點作直線與圓相切于點，則的周長的最小值為________.16.已知數(shù)列的前項即為，且，若對任意，都有，則的取值范圍是________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.（10分）已知的周長為，且.（1）求的長：（2）若的面積為.求.18.（12分）如圖，在正方體中，.分別是棱，的中點.（1）證明：平面.（2）求二面角的余弦值.19.（12分）已知數(shù)列滿足，（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，，，，，依此類推，求的通項公式20.（12分）已知拋物線.與拋物線；在第一象限交于點.（1）已知為拋物線的焦點，若的中點坐標(biāo)為，求.（2）設(shè)為坐標(biāo)原點，直線的斜率為.若斜率為的直線與拋物線和均相切，證明為定值，并求出該定值.21.（12分）甲、乙兩人組成“夢想隊”參加“極速猜歌”比賽，比賽共兩輪，每輪比賽從隊伍中選出一人參與，參與比賽的選手從曲庫中隨機(jī)抽取一首進(jìn)行猜歌名.若每輪比賽中甲、乙參與比賽的概率相同.甲首次參與猜歌名，猜對的概率為；甲在第一次猜對歌名的條件下，第二次也猜對的概率為；甲在第一次猜錯歌名的條件下，第二次猜對的概率為.乙首次參與猜歌名，猜對的概率為；乙在第一次猜對歌名的條件下，第二次也猜對的概率為；乙在第一次猜錯歌名的條件下，第二次猜對的概率為甲、乙互不影響.（1）求在兩輪比賽中，甲只參與一輪比賽的概率；（2）記“夢想隊”一共猜對了首歌名，求的分布列及期望.22.（12分）已知函數(shù)（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若是的極大值點，求的取值范圍.河南省高三名校聯(lián)考入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)參考答案1.D因為，所以.2.A因為，所以，即.3.A，，故.4.D.5.C數(shù)據(jù)波動越大，方差越大.原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為100，添加新數(shù)據(jù)后，新樣本的數(shù)據(jù)更集中，.添加新數(shù)據(jù)后，新樣本的數(shù)據(jù)波動更大，.6.C若，則，所以，C錯誤.7.B因為，所以.因為在上沒有零點，所以，解得.又因為，所以.8.B設(shè)矩形在第一象限的頂點坐標(biāo)為，根據(jù)對稱性知該矩形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即，所以，解得.9.ACD，A正確.，C正確.因為，所以，B錯誤.，所以，D正確.10.ABD令，則，所以，A正確.令，則，所以是奇函數(shù)，B正確.是奇函數(shù)，不可能是的極小值點，C錯誤.令，則，，D正確.11.BCD.令，解得或，令，解得或，所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，A錯誤.，，曲線在處的切線方程為，即曲線與軸相切，C正確.，，的值域為，D正確.，所以的圖象關(guān)于點對稱，B正確.12.BCD該半正多面體的表面積為，A錯誤.該半正多面體所在的正四面體的高為，體積為.該半正多面體的體積為，B正確.該半正多面體外接球的球心即其所在正四面體的外接球的球心，記球心為，則，故該半正多面體外接球的表面積為，C正確.該半正多面體的展開圖如圖所示，，，，，D正確.13.由題意得，則，，故虛軸長.14.108可以組成個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù).15.的周長為，，所以越小，越小.當(dāng)時，最小.圓心到直線的距離為，所以的最小值為6，此時，，.故的周長的最小值為.16.，，兩式相減可得，所以.因為，所以.因為，所以，所以.因為，所以.17.解：（1）設(shè)內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.因為，所以.2分因為，所以4分（2）因為的面積為，且，所以.6分由（1）可得..7分由余弦定理可得.9分因為，所以.10分18.解：以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為2，則，，，，，.2分，，.3分（1）證明：因為，，所以，.5分因為，所以平面.7分（2）結(jié)合（1）可得為平面的一個法向量..8分設(shè)平面的法向量為，則即取，得.10分.故二面角的余弦值為.12分注：第（1）問若不建系，證法如下：連接，，（圖略）.在正方體中，平面，所以.因為，，所以平面.因為平面，所以.2分因為平面，所以.在正方形，，分別是邊，的中點，可得，所以，，所以.4分因為，所以平面.因為平面，所以.因為，所以平面.5分19.解：（1）因為，所以，2分即，可得.5分（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為.為中的項之和，為中的前項和.7分，.10分當(dāng)時，.也滿足上式.故.12分20.解：（1），設(shè)，1分則3分解得.4分（2）聯(lián)立解得或所以，6分.7分設(shè)直線的方程為.聯(lián)立得，，即.8分若，則，不符合題意，所以，即①.9分聯(lián)立得，，即②.10分由①②可得，所以.故為定值，該定值為0.12分21.解：（1）甲只參與一輪比賽的概率為.4分（2）；6分；8分.10分的分布列為012.12分22.解：（1），.1分，.3分曲線在點處的切線方程為，即.4分（2），.因為是的極大值點，所以存在，使得當(dāng)時，，當(dāng)時，.5分令函數(shù)，，.6分①若，即，則存在，使得當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，從而當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，不符合題意