理論力學(xué)非慣性參考系

理論力學(xué)非慣性參考系第1頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月動(dòng)坐標(biāo)系：A=Ax

i

+

Ayj

+Az

k

固定坐標(biāo)：dA/dt=dAx/dt

i

+

dAy/dt

j

+dAz/dt

k

+

Axdi/dt

+Aydj

/dt

+Azdk

/dt討論(1)僅有轉(zhuǎn)動(dòng)(角速度ω相對(duì)固定坐標(biāo)系）∵dr/dt=ω×

r

∴di

/dt

=ω×

i

,

dj

/dt

=ω×

j

,

dk

/dt

=ω×

k

.記δA/dt=dAx/dt

i

+

dAy/dt

j

+dAz/dt

k則有:

dA/dt=δA

/δt+ω×A

轉(zhuǎn)動(dòng)參考系算符變換：d/dt=δ/δt+ω×

第2頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例:質(zhì)點(diǎn)的位置矢量r

，求v

，a

。解：v=dr/dt=δr/δt+ω×r=v相+v牽

a=d2r/dt2=d(δr/δt+ω×r)/dt=δ(δr/δt+ω×r)/δt+ω×(δr/δt+ω×r)

=δ2r/δt2+δ(ω×r)/δt+ω×(δr/δt)+

ω×(ω×r

)=δ2r/δt2+(δω/δt)×r+ω×(ω×r

)

+

2ω×(δr/δt)=a相+a牽+a科

a相=δ2r/δt2a牽=(δω/δt)×r+ω×(ω×r

)a科=2ω×(δr/δt)第3頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月dA/dt=δA/δt+ω×A

運(yùn)算公式：A×B×C=B(A·C)–(A·B)

Cω×(ω×r

)=

ω(ω·r

)-ω2

r

=ω2

(OB-OP)=-ω2

R對(duì)于角速度ω，角加速度為β

β

=dω/dt=δω/δt+ω×ω

=δω/δt說(shuō)明角加速度與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)。RrωBPO第4頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：一等腰直角三角形OAB在其自身平面內(nèi)以勻角速ω繞O轉(zhuǎn)動(dòng)。P點(diǎn)以勻相對(duì)速度沿AB邊運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三角形轉(zhuǎn)一周時(shí)，P點(diǎn)走過(guò)AB，如AB=b，試求P點(diǎn)在A時(shí)的絕對(duì)速度與絕對(duì)加速度。PAByzxOω第5頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第6頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)平動(dòng)+轉(zhuǎn)動(dòng)固定坐標(biāo)系中位矢rI

與動(dòng)坐標(biāo)系r

之間關(guān)系:

rI

=

R

+

rd2rI/dt2=d2R/dt2+

d2r/dt2=d2R/dt2+

δ2r/δt2+(δω/δt)×r

+ω×(ω×r

)+2ω×(δr/δt)或a=a平

+a相+β×r-ω2

R+2ω×v相若等角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)β=0，無(wú)平動(dòng)加速度a平

=0，則：a=a’-ω2

R+2ω×v’第7頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5.2非慣性系中的動(dòng)力學(xué)方程慣性力慣性系中：md2rI

/dt2=F非慣性系：m

2r/

t2=F

-m[d2R/dt2+β

r+ω

(ω

r)+2ω

v’]=Feff

1、平移力

-md2R/dt2←動(dòng)系平動(dòng)加速2、方位力

-mβ

r←動(dòng)系轉(zhuǎn)動(dòng)加速3、慣性離心力

-m[ω

(ω

r

)←動(dòng)系相對(duì)固定系轉(zhuǎn)動(dòng)4、科里奧利力

-2mω

v’

←質(zhì)點(diǎn)相對(duì)動(dòng)系運(yùn)動(dòng)第8頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：在光滑水平直管中有一質(zhì)量為m的小球。此管以勻角速ω繞通過(guò)其一端的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)，球距轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離為a,球相對(duì)管的速率為零，而的總長(zhǎng)為2a。oxyzmgNzNyFcmω2xvvzvxω求：(1)球剛離開管口時(shí)的相對(duì)速度與絕對(duì)速度；

(2)球從開始運(yùn)動(dòng)到離開管口時(shí)所需時(shí)間。第9頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(1)球剛離開管口時(shí)的相對(duì)速度與絕對(duì)速度；第10頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

(2)球從開始運(yùn)動(dòng)到離開管口時(shí)所需時(shí)間第11頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月可證明，引入非慣性力

，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理、角動(dòng)量定理和動(dòng)能定理的形式都保持不變。例：角動(dòng)量定理：

L’/

t=

(r’

mv’)

/

t=

(r’)/

tmv’+r’

mv’/

t=r’

(F+F慣性)動(dòng)能定理:∵mv’/

t=

F+F慣性→

mv’

·

r/

t=(F+F慣性)·

r→mv’

·

v’=(F+F慣性)·

r→(mv’2/2)=(F+F慣性)·

r即:

T=(F+F慣性)·

r第12頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月拉格朗日方程導(dǎo)出慣性力第13頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第14頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5.3拉格朗日函數(shù)的不確定性

非慣性系中的拉格朗日函數(shù)1、若兩個(gè)拉格朗日函數(shù)L1和L2只相差一函數(shù)f(q,t)的全微商df/dt，則L1和L2是等價(jià)的。證明：設(shè)L2=L1+df(q,t)/dt，只要證明由L1和L2所得出的運(yùn)動(dòng)方程相同即可。考慮體系只有一個(gè)廣義坐標(biāo)。第15頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、非慣性系中的拉格朗日函數(shù)設(shè)有三個(gè)參考系：S為慣性系，S1為相對(duì)S以vo(t)作平動(dòng)，S’與S1有共同原點(diǎn)，但相對(duì)