華中師范大學(xué)2002至2003學(xué)年第二學(xué)期實(shí)變函數(shù)期末考試試題B

華中師范大學(xué)2002至2003學(xué)年第二學(xué)期實(shí)變函數(shù)期末考試試題B華中師范大學(xué)2002——2003學(xué)年第二學(xué)期期（中、末）考試試卷（A、B卷）課程名稱(chēng)

實(shí)變函數(shù)

課程編號(hào)

42111300

任課教師

題型判斷題敘述題簡(jiǎn)答題解答題總分分分一、判斷題（判斷正確、錯(cuò)誤，并改正。共5題，共5×3=15分）1、無(wú)限集中存在基數(shù)最大的集合，也存在基數(shù)最小的集合。

(

×

)

改正：無(wú)限集中不存在基數(shù)最大的集合，但存在基數(shù)最小的集合。

2、存在閉集使其余集仍為閉集。

（

√

）

3、若是可測(cè)集，是的可測(cè)子集，則

。

(

×

)

改正：若是可測(cè)集，是的測(cè)度有限的子集，則

。

4、若是可測(cè)集，是上的實(shí)函數(shù)，則在上可測(cè)的充要條件是：存在

實(shí)數(shù)，使是可測(cè)集。

（

×

）

改正：若是可測(cè)集，是上的實(shí)函數(shù)，則在上可測(cè)的充要條件是：

對(duì)任意實(shí)數(shù)，是可測(cè)集。

5、若是可測(cè)集，是上的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)，則一定存在。

(

√

)

二、敘述題（共5題，共5×3=15分）

1、伯恩斯坦定理。答：設(shè)、是兩個(gè)集合，若的基數(shù)不超過(guò)的基數(shù)，且的基數(shù)也不超過(guò)的基數(shù)，則與對(duì)等。

2、伯恩斯坦定理。

答：設(shè)、是兩個(gè)集合，若的基數(shù)不超過(guò)的基數(shù)，且的基數(shù)也不超過(guò)的基數(shù)，則與

的基數(shù)相等。

3、可測(cè)集與開(kāi)集的關(guān)系。

答：設(shè)為可測(cè)集，則對(duì)任意，存在開(kāi)集，使且。

4、葉果洛夫定理的逆定理。答：設(shè){}為上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列，也為上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)如果對(duì)任意，存在可測(cè)子集，使在上，一致收斂于，而則

a.e.于。

5、在可測(cè)集上幾乎處處收斂于的定義。

答：設(shè)是可測(cè)集，、均為上的可測(cè)函數(shù)，如果中使不收斂于的點(diǎn)

所成的集為零測(cè)集，則稱(chēng)在上幾乎處處收斂于，記為

a.e.于。

三、簡(jiǎn)答題（共1題，共1×10=10分）1、按從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的方式簡(jiǎn)述Lebesgue的定義。

答：1.

設(shè)為可測(cè)集，為上非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)，即

（兩兩不交）且當(dāng)時(shí)

，則稱(chēng)為在上的Lebesgue積分，記為

。

————————————————————3分

2.

設(shè)為可測(cè)集，為上非負(fù)可測(cè)函數(shù)，則存在一列單調(diào)遞增非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)列

使，則稱(chēng)為在上的Lebesgue積分，記為。

—————————————————————7分

3.

設(shè)為可測(cè)集，為上可測(cè)函數(shù)，由于，如果與

至少有一個(gè)為有限數(shù)，則稱(chēng)－為在上的Lebesgue積分，記為。

—————————————————————10分四、

解答題（共6題，共6×10=60分）1、設(shè)是上的單調(diào)函數(shù)，證明是上

的可測(cè)函數(shù)。

證：由題設(shè)知

在上幾乎處處連續(xù)，——————————————6分

而上連續(xù)函數(shù)是可測(cè)函數(shù)

所以由可測(cè)函數(shù)的性質(zhì)知

是上的可測(cè)函數(shù)。

——————————————10分

2、設(shè)，證明是閉集的充要條件是：，其中{包含的閉集全體}。

證：充分性

由閉集的交集運(yùn)算性知

是閉集。————————————4分必要性

對(duì)任意，有，所以

——————————7分

又，從而

所以

。

————————————10分

3、若均為上的可測(cè)子集，且，則

。

證：因?yàn)?/p>

————————————————4分

而

，所以

?！?0分

4、利用Lebesgue控制收斂定理，求

。

證：因?yàn)?/p>

當(dāng)時(shí)，，———————————————4分

所以

a.e.于由Lebesgue控制收斂定理知

=?！?0分5、設(shè)

，其中是上的有理數(shù)集，求

。

解：因

，所以

a.e.于

————————————5分

由積分的唯一性知

=

—————————————10分

6、若中的可測(cè)集列，滿足

，則

證：因

=，

——————————————4分