牛頓定律問(wèn)題與習(xí)題解答

第二章牛頓定律問(wèn)題與習(xí)題解答2-3將一質(zhì)量略去不計(jì)的輕繩，跨過(guò)無(wú)摩擦的定滑輪。一只猴子抓住繩的一端，繩的另一端懸掛一個(gè)質(zhì)量和高度均與猴子相等的鏡子。 開(kāi)始時(shí)，猴子與鏡在同一水平面上。猴子為了不看到鏡中的猴像，它作了下面三項(xiàng)嘗試： （1）向上爬；（2）向下爬；（3）松開(kāi)繩子自由下落。這樣猴子是否就看不到它在鏡中的像了嗎？答：選地面為參考系，將鏡子和猴子視為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，且設(shè)猴子運(yùn)動(dòng)時(shí)與繩子間的相互作用力的大小為Ft，故鏡子受到繩子的張力亦為Ft，設(shè)猴子運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度為a（如圖所示）。（1）猴子向上爬時(shí)，mg-FT=-ma而對(duì)鏡子有 mg-FT=-ma由此可得 a"=a又因?yàn)楹镒雍顽R子的初始狀態(tài)都一樣，因此可知兩者隨后向上運(yùn)動(dòng)的高度也相同，即猴子向上爬時(shí)總是看到鏡中的像。（2）同理，猴子向下爬時(shí)，鏡子與猴子的加速度相同且因她們的初始狀態(tài)都一樣，因此猴子總是看到鏡中的像。（3）自由下落時(shí)，兩者的加速度均為 g，因此猴子也總是看到鏡中的像?！净蚋鶕?jù)角動(dòng)量守恒定律，考察兩物體相對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量，因?yàn)槠浜贤饬貫榱阋蚨淇偨莿?dòng)量為零，所以兩物體的速度相同，即總能看到像（第四章）。不能用動(dòng)量守恒定律，因?yàn)楹贤饬Σ粸榱恪?-4如圖所示，輕繩與定滑輪間的摩擦力略去不計(jì)，且。若使質(zhì)量為的兩個(gè)物體繞公共豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，兩邊能否保持平衡？答：忽略繩子的質(zhì)量、繩輪間的摩擦力，且設(shè)繩子是不可伸長(zhǎng)的，則繩在滑輪兩邊的張力大小相等。如果此張力FTngg，則兩邊保持平衡。而從圖中可知， m2以角速度■■在水平面內(nèi)穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)，繩子對(duì)其的張力分別為：FT2=m2g/cost而從圖中又知Ft=2Ft2COSv-2m2g=m1g所以兩邊保持平衡，且與??的大小無(wú)關(guān)。2-5如圖所示，一半徑為R的木桶，以角速度??繞其軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，有一人緊貼在木桶壁上,人與桶間的靜摩擦因數(shù)為 ％。你知道在什么情形下，人會(huì)緊貼在木桶壁上而不掉下來(lái)嗎？答：當(dāng)桶壁對(duì)人的靜摩擦力大于或等于人的重力時(shí)不會(huì)掉下來(lái)。靜摩擦力為Ffo二％N=mg，而正壓力等于人作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力： n=mv2/R=mR'2所以，得 ％mR「2—mg，或_,g%R時(shí)，人不會(huì)掉下來(lái)。2-8在空間站中的宇航員“沒(méi)有重量”，你怎樣判斷地球引力對(duì)他的影響呢?答:（略）（選擇題）2-1如圖所示，質(zhì)量為m的物體用平行于斜面的細(xì)線連結(jié)并置于光滑的斜面上，若斜面向左方作加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體剛脫離斜面時(shí)，它的加速度的大小為（D）

（A）gsinr（B）gcosr（C）gtanv（D）gcotr4 42-2用水平力Fn把一個(gè)物體壓著靠在粗糙的豎直墻面上保持靜止。當(dāng) Fn逐漸增大時(shí)，物體所受的靜摩擦4力Ff的大?。ˋ）4（A）不為零，但保持不變 （B）隨Fn成正比地增大（C）開(kāi)始隨Fn增大，達(dá)到某一最大值后，就保持不變 （D）無(wú)法確定2-3 一段路面水平的公路，轉(zhuǎn)彎處軌道半徑為 R,汽車輪胎與路面間的摩擦因數(shù)為 J，要使汽車不致于發(fā)生側(cè)向打滑，汽車在該處的行駛速率（ C）（a）不得小于（b）必須等于mgR（C）不得大于可R （D）還應(yīng)由汽車的質(zhì)量m決定2-4一物體沿固定弧形光滑軌道下滑，在下滑過(guò)程中，則（（A）它的加速度方向永遠(yuǎn)指向圓心，其速率保持不變（B） 它受到的軌道的作用力的大小不斷增加（C） 它受到的合外力大小變化，方向永遠(yuǎn)指向圓心（D） 它受到的合外力大小不變，其速率不斷增加2-5圖示系統(tǒng)置于以a二g.：4的加速度上升的升降機(jī)內(nèi)， A、B兩物體質(zhì)量相同均為m,A所在的桌面是水平的，繩子和定滑輪質(zhì)量均不計(jì)，若忽略滑輪軸上和桌面上的摩擦并不計(jì)空氣阻力， 則繩中張力為（A）（A）5mg.8 （B）mg2 （C）mg（D）2mg【應(yīng)用非慣性系和慣性力求解較容易】2-6圖示一斜面，傾角為：?，底邊AB長(zhǎng)為L(zhǎng)=2.1m，質(zhì)量為m的物體從斜面頂端由靜止開(kāi)始向下滑動(dòng)，斜面的摩擦因數(shù)為■'-0.14。試問(wèn)，當(dāng):為何值時(shí)，物體在斜面上下滑的時(shí)間最短？其數(shù)值為多少？解：如圖所示，設(shè)沿斜面向下為x軸正方向，原點(diǎn)在斜面頂點(diǎn)。根據(jù)牛頓第二定律，有 mgsin-mgicos二ma解出a解出a二gsin：-gAcos-：：可見(jiàn)其加速度為常矢量，故有Lcos可見(jiàn)其加速度為常矢量，故有Lcos：二一atg（sin：-■'cos）t2cos： 2得下滑時(shí)間為：t; 2L\geos：（sin：-cos）再令=o，有d:-sin二（sin：-「cost）cos工（二sin二cos二）=0得tg2〉=—12,解出：2宀=-82°,2〉2=98°，E 0 0 0因0：：：：：90,0：：：2：：：180,所以取2：=98，即得最快下滑時(shí)的傾角為 ■,=490最快下滑時(shí)間為■,gcos2L（si最快下滑時(shí)間為■,gcos2L（sin'-—0.99cos）2-12一雜技演員在圓筒形建筑物內(nèi)表演飛車走壁。設(shè)演員和摩托車的總質(zhì)量為 m，圓筒半徑為R，演員騎摩托車在直壁上以速率v作勻速圓周螺旋運(yùn)動(dòng)，每繞一周上升距離為 h，如圖所示，求壁對(duì)演員和摩托車的作用力。解：如圖所示，演員連同摩托車的運(yùn)動(dòng)可看成是一個(gè)水平面內(nèi)的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)和一個(gè)豎直向上的勻一 4速直線運(yùn)動(dòng)的疊加，桶壁的支撐力 Fn斜向上，其斜角「為摩托車與桶壁的夾角，故有：v；Fn1—mg=0， Fn2二miR，v2=vcos-v 2-R -J（2兀R）2+h2聯(lián)立上幾式，求得 FN1=mg22FN24mRv2

（2二R）2h2FN2所以，桶壁對(duì)摩托車的作用力 Fn的大小為4.2Rv2與壁的夾角為4.2Rv2與壁的夾角為二arctan^^2FN1二arctan42mRv2（2二R）2gh2g2222Fn「尺Fn2=mg[（2二R）2.f]2-16質(zhì)量為m的跳水運(yùn)動(dòng)員，從10.0m高臺(tái)上由靜止跳下落入水中。高臺(tái)與水面距離為 h，把跳水運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)2點(diǎn)，并略去空氣阻力。運(yùn)動(dòng)員入水后垂直下沉，水對(duì)其阻力為 bv，其中b為一常量。若以水面上一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,豎直向下為 Oy軸，求：（1）運(yùn)動(dòng)員在水中的速率 v與y的函數(shù)關(guān)系。（2）若b/m=0.40m，，跳水運(yùn)動(dòng)員在水中下沉多少距離才能使其速率 v減少到落水速率v0的1/10?（假定跳水運(yùn)動(dòng)員在水中的浮力與所受的重力大小恰好相等。）解：將運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)點(diǎn)，設(shè)其到水面時(shí)的速度大小為 v0，則有：v2-0=2gh，即V。=：；：2gh一 斗一斗 4（1）、在水中，運(yùn)動(dòng)員受重力P和浮力F及水的阻力Ff的作用，由題設(shè)條件知2Ff=—bvj，F(xiàn)二—P二-mgj，所以根據(jù)牛頓定律，得 PFFf=ma，即：-bv2二ma，變換變量 a=dvdt=（dvdy）（dy?dt）=v（dv.dy）TOC\o"1-5"\h\zy v所以有： -bdymdv,對(duì)上式積分， —「bdymdvv得: v=V0e』ym「面￡ym（2）、已知 b/m=0.40m」,v=v°/10，代入上式，\o"CurrentDocument"m v1 1則有： y ln In5.76m\o"CurrentDocument"b V0 0.40 102-18一質(zhì)量為m的小球最初位于如圖所示的 A點(diǎn)，然后沿半徑為r的光滑圓軌道ADCB下滑。試求小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的角速度和對(duì)圓軌道的作用力。解：一 彳 呻如圖所示，小球（質(zhì)點(diǎn)）受到重力 P和圓弧面對(duì)它的支持力 fn的作用，

—mgsin’m詈，F(xiàn)n-mgcos：=m變換函數(shù)，由 v二dsd扌，得dt故①式變?yōu)閷⑸鲜椒e分,dvdvd:—mgsin’m詈，F(xiàn)n-mgcos：=m變換函數(shù)，由 v二dsd扌，得dt故①式變?yōu)閷⑸鲜椒e分,dvdvd:(或由dt dadt'?史vdv)d：rd：vdv--rsgin、昭v - /vdv二-...rgsin:d，得：v二2rgcos：0_'2'小球此時(shí)的角速度為:：『：=v.r=_；2geosr又由②式，得:Fn=mgcos：亠mv2r二3mgcos:-即得小球?qū)壍赖淖饔昧?Fn--Fn--3mgc°st【或由機(jī)械能守恒定律求解】2-20質(zhì)量為45.0kg的物體，由地面以初速 60.0msJ豎直向上發(fā)射，物體受到空氣的阻力為 Fr=kv，且k=0.03N/（ms）。（1）求物體發(fā)射到最大高度所需的時(shí)間。 （2）最大高度為多少？解：（1）選地面為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直向上為 oy軸正方向。物體上升過(guò)程中受重力 P和空氣阻力Fr的作用，由牛頓所以整理得dt--mdv(mgkv)所以整理得dt--mdv(mgkv)定律得：-P-Fr=mdvdt，而P=mgFr=kv，

對(duì)上式積分，有：* 0dv / m/dgg+kv）dt--m ， dt0 v0 mgkv 0 k v。mg kv得：t=m[ln（mgkv0）-lnmg]=mln（1絕）：6.11sk k mg（2）、變換變量dv.dt=vdv；dy，代入①式，得： —mg一kv=mvdv.dy，dymvdv

mgkv，積分，得:y 0mvdvdy=0 vomgkv所以，｛積分公式:y 耳[mgIn（1也）「kv0]=183mk mgxdx

axbrxb,=[_—pinax+b]+Caa2-24在卡車車廂底板上放一木箱，該木箱距車廂前沿?fù)醢宓木嚯xL=2.0m，已知?jiǎng)x車時(shí)卡車的加速度a=7.0m ，設(shè)剎車一開(kāi)