素養(yǎng)拓展16 解三角形中三角形面積和周長(zhǎng)（邊）的最值（范圍）問題（精講+精練）（新高考通用）原卷版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）素養(yǎng)拓展16解三角形中三角形面積和周長(zhǎng)（邊）的最值（范圍）問題（精講+精練）一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理1.正弦定理.（其中為外接圓的半徑）（邊化角）（角化邊）2.余弦定理：3.三角形面積公式：=124.三角形內(nèi)角和定理：在△ABC中，有.5.基本不等式（優(yōu)先用基本不等式）①②6.利用正弦定理化角（函數(shù)角度求值域問題）利用正弦定理，，代入面積公式，化角，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求面積或者周長(zhǎng)的最值。二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】若，，求的最大值．建議使用兩種方法來解決：法一：余弦定理＋不等式．法二：正弦定理＋輔助角公式＋三角形面積公式．【分析】方法一：利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面積公式即可求得最大值；方法二：利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換知識(shí)可化簡(jiǎn)得到，結(jié)合的范圍，由正弦型函數(shù)值域的求法可求得的范圍，代入三角形面積公式即可求得最大值.解：方法一：由余弦定理得：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），的最大值為；方法二：由正弦定理得：，；，，，，，的最大值為.【典例2】若，，求周長(zhǎng)的取值范圍．建議使用兩種方法來解決：法一：余弦定理＋不等式＋三角形三邊關(guān)系．法二：正弦定理＋輔助角公式．【分析】方法一：利用余弦定理構(gòu)造方程，根據(jù)可求得的最大值，結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得結(jié)果；方法二：利用正弦定理角化邊，可將化為，結(jié)合的范圍，由正弦型函數(shù)值域的求法可求得結(jié)果.解：方法一：由余弦定理得：，又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），又，，周長(zhǎng)的取值范圍為；方法二：由正弦定理得：，，，，，，即周長(zhǎng)的取值范圍為.【題型訓(xùn)練1-刷真題】1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周長(zhǎng)的最大值.3．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（I）求角B的大??；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．【題型訓(xùn)練2-刷模擬】1.面積的最值（范圍）問題一、解答題1．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，滿足.(1)求角；(2)若點(diǎn)D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面積的最小值.2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求A；(2)若，求面積的最大值.3．（2023·河北秦皇島·秦皇島一中?？级＃┮阎獌?nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為.(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.4．（2023·新疆喀什·?？寄M預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求∠C.(2)若，求面積的最小值.5．（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知的三個(gè)內(nèi)角分別為、、，其對(duì)邊分別為、、，若．(1)求角的值；(2)若，求面積的最大值．6．（2023春·安徽池州·高三池州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求角的值；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，，D為邊上一點(diǎn)，平分．(1)求角A；(2)求面積的最小值．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為．(1)求；(2)若，且，求面積的取值范圍．9．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為.(1)若外接圓的半徑為，求面積的最大值；(2)若內(nèi)切圓的半徑為，求面積的最小值.10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求；(2)若，且，求面積的取值范圍．11．（2023·江西·校聯(lián)考二模）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知.(1)求角；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.12．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.(1)求角的大??；(2)若，點(diǎn)、在邊上，，求面積的最小值.13．（2023·黑龍江大慶·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，其中，．(1)求角B的大??；(2)若，求△ABC面積的最大值．14．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且．(1)求A；(2)點(diǎn)D在邊上，且，，求面積的最大值．15．（2023·江西·江西省豐城中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求的值；(2)若，求三角形ABC面積的最大值．16．（2023·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)?？既＃┰谥?，角、、所對(duì)的邊分別為、、，.(1)求；(2)若，求面積的最小值.2.周長(zhǎng)（邊）的最值（范圍）問題一、解答題1．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，.(1)求；(2)若，求周長(zhǎng)的最小值.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知(1)求角A的大小．(2)若，求c的取值范圍．3．（2023秋·貴州貴陽·高三統(tǒng)考期末）已知平面四邊形中，，若，的面積為．(1)求的長(zhǎng)；(2)求四邊形周長(zhǎng)的最大值．4．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）在銳角三角形中，角，，的對(duì)邊分別是，，，滿足．(1)求角的大小；(2)若的外接圓半徑為，求周長(zhǎng)的取值范圍．5．（2023·河北張家口·張家口市宣化第一中學(xué)?？既＃┰谌切蜛BC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求BC邊上的高AD的最大值．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，C=.(1)當(dāng)時(shí)，求的面積;(2)求周長(zhǎng)的取值范圍.7．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，．(1)求角B的大??；(2)求的取值范圍．8．（2023·重慶·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A、、所對(duì)的邊分別為、、，已知．(1)求角A的大?。?2)點(diǎn)為邊上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），且滿足，求的取值范圍．9．（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求角的大??；(2)若，求的取值范圍.10．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三統(tǒng)考期末）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．(1)求B；(2)若的面積等于，求的周長(zhǎng)的最小值．11．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．已知．(1)求A；(2)若，求的周長(zhǎng)的取值范圍．12．（2023·甘肅蘭州·蘭州五十九中?？寄M預(yù)測(cè)）已知△ABC中，C＝，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.(1)若a，b，c依次成等差數(shù)列，且公差為2，求c的值；(2)若△ABC的外接圓面積為π，求△ABC周長(zhǎng)的最大值.13．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)若為銳角三角形，，求周長(zhǎng)范圍．14．（2023·湖南·鉛山縣第一中學(xué)校聯(lián)考三模）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若.(1)求的值；(2)若的面積為，求周長(zhǎng)的最大值.15．（2023·陜西西安·長(zhǎng)安一中?？级＃┑膬?nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c已知．(1)求B；(2)若為銳角三角形，且，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．16．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)校考三模）已知在中，內(nèi)角，