第九章參數(shù)估計(jì)課件

第九章參數(shù)估計(jì)

（Parameter’sestimation)

參數(shù)估計(jì)，通俗地說，就是根據(jù)抽樣結(jié)果來合理地、科學(xué)地估計(jì)總體的參數(shù)很可能是什么？或者在什么范圍。點(diǎn)估計(jì)：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出一個(gè)單一的估計(jì)值，用來估計(jì)總體的參數(shù)值。區(qū)間估計(jì)：計(jì)算抽樣平均誤差，指出估計(jì)的可信程度，進(jìn)而在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，確定總體參數(shù)的所在范圍或區(qū)間。9/6/20231第九章參數(shù)估計(jì)

（Parameter’sestima第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)(Pointestimation)

點(diǎn)估計(jì)：點(diǎn)值估計(jì)，是以一個(gè)最適當(dāng)?shù)臉颖窘y(tǒng)計(jì)值來代表總體參數(shù)值。估計(jì)量如果具有無偏性、一致性和有效性，就可以認(rèn)為這種統(tǒng)計(jì)量是總體參數(shù)的合理估計(jì)或最佳估計(jì)。9/6/20232第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)(Pointestimation)一、求點(diǎn)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)無偏性：要求統(tǒng)計(jì)量抽樣分布的均值恰好等于被估計(jì)的參數(shù)之值。比如，中心極限定理告訴我們，樣本均值抽樣分布的均值恰好等于總體均值，因此用樣本均值估計(jì)總體均值就滿足這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。有效性：要求估計(jì)值的抽樣分布有較小的分散性，即選擇抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差較小的統(tǒng)計(jì)量作為估計(jì)量。一致性：要求統(tǒng)計(jì)量隨著樣本容量n的增大以更大的概率接近被估計(jì)參數(shù)。9/6/20233一、求點(diǎn)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)8/3/20233二、點(diǎn)估計(jì)值的計(jì)算1.總體均值的點(diǎn)估計(jì)2.總體方差的點(diǎn)估計(jì)值

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常常用符號(hào)“”來表示無偏估計(jì)量。數(shù)學(xué)上可以證明，對(duì)于隨機(jī)樣本而言，才是總體方差的無偏估計(jì)量，它稱為修正樣本方差。

9/6/20234二、點(diǎn)估計(jì)值的計(jì)算在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常常用符號(hào)[例]研究者要調(diào)查某社區(qū)居民家庭收入分布的差異情況，現(xiàn)隨機(jī)抽查了10戶，得到樣本方差為＝200(元2)。試以此資料估計(jì)總體家庭收入分布的差異情況。

[解]因?yàn)闃颖救萘枯^小，宜用修正樣本方差作為總體方差點(diǎn)估計(jì)量。即

＝＝＝222.29/6/20235[例]研究者要調(diào)查某社區(qū)居民家庭收入分8/3第二節(jié)區(qū)間估計(jì)（Intervalestimation)一、有關(guān)區(qū)間估計(jì)的幾個(gè)概念1.置信區(qū)間：區(qū)間估計(jì)是求所謂置信區(qū)間的方法。置信區(qū)間就是我們?yōu)榱嗽黾訁?shù)被估計(jì)到的信心而在點(diǎn)估計(jì)兩邊設(shè)置的估計(jì)區(qū)間。2.顯著性水平：用置信區(qū)間來估計(jì)的不可靠程度。區(qū)間估計(jì)的任務(wù)是，在點(diǎn)估計(jì)值的兩側(cè)設(shè)置一個(gè)區(qū)間，使得總體參數(shù)被估計(jì)到的概率大大增加?？煽啃院途_性(即信度和效度)在區(qū)間估計(jì)中是相互矛盾的兩個(gè)方面。

9/6/20236第二節(jié)區(qū)間估計(jì)（Intervalestimation)

3.置信度（水平）：用置信區(qū)間估計(jì)的可靠性（把握度）

4.抽樣平均誤差與概率度Z抽樣平均誤差：樣本均值抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差。反映在參數(shù)周圍抽樣平均值的平均變異程度。越大，樣本均值越分散。概率度：Z在參數(shù)估計(jì)中被稱為概率度，其大小由

決定.9/6/202373.置信度（水平）：用置信區(qū)間估計(jì)的顯著性水平、置信水平、概率度之間的關(guān)系：=0.10時(shí)，=0.90，Zα/2=1.65=0.05時(shí)，=0.95，Zα/2=1.96=0.01時(shí)，=0.99，Zα/2=2.589/6/20238顯著性水平、置信水平、概率度8/3/2023二、區(qū)間估計(jì)的做法從點(diǎn)估計(jì)值開始，向兩側(cè)展開一定倍數(shù)的抽樣平均誤差，并估計(jì)總體參數(shù)很可能就包含在這個(gè)區(qū)間之內(nèi)。9/6/20239二、區(qū)間估計(jì)的做法8/3/20239對(duì)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)的步驟：1.首先從總體抽取一個(gè)樣本，根據(jù)收集的樣本資料求出它的均值。2.根據(jù)合乎實(shí)際的置信水平查表求得概率度3.根據(jù)總體標(biāo)準(zhǔn)差和樣本容量求出抽樣平均誤差4.以均值為基準(zhǔn)，向兩側(cè)展開倍抽樣平均誤差的區(qū)間。抽樣極限誤差（更普遍地可以寫成抽樣估計(jì)的允許誤差

）抽樣估計(jì)的精度9/6/202310對(duì)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)的步驟：8/3/202310三、大樣本，總體均值的區(qū)間估計(jì)（根據(jù)總體方差是否知道，估計(jì)分兩種情況）1.已知2.未知，用代替9/6/202311三、大樣本，總體均值的區(qū)間估計(jì)8/3/202311[例]設(shè)某工廠婦女從事家務(wù)勞動(dòng)服從正態(tài)分布[，0.662]，根據(jù)36人的隨機(jī)抽樣調(diào)查，樣本每天平均從事家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間為2.65小時(shí)，求的置信區(qū)間（置信度=0.95）。[解]按題意，此為大樣本，且總體方差已知，又＝36，＝2.65，＝0.66，＝0.95。查表得＝1.96，代入公式有＝2.65±1.96＝2.65±0.22因此，有95％的把握，該廠婦女的平均從事家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間在2.87~2.43小時(shí)之間。9/6/202312[例]設(shè)某工廠婦女從事家務(wù)勞動(dòng)服從正從來自在“白領(lǐng)犯罪與罪犯生涯：一些初步研究結(jié)果”的一項(xiàng)研究報(bào)告的數(shù)據(jù)表明，白領(lǐng)犯罪可能是年紀(jì)較大者，并且顯示比街頭罪犯有較低的犯罪率。給出數(shù)據(jù)為：白領(lǐng)犯罪發(fā)作平均年齡為54歲，=100，標(biāo)準(zhǔn)差被估計(jì)為7.5歲。建立真實(shí)平均年齡的90%置信區(qū)間。9/6/202313從來自在“白領(lǐng)犯罪與罪犯生涯：一些初步[例]從某校隨機(jī)地抽取100名男學(xué)生，測(cè)得平均身高為170厘米，標(biāo)準(zhǔn)差為7.5厘米，試求該校學(xué)生平均身高95％的置信區(qū)間。[解]按題意，此為大樣本，且總體方差未知，又＝100，＝170，＝7.5，＝0.95．查表得＝1.96，代入公式有＝170±1.96＝170±1.47因此，有95％的把握，該校學(xué)生的平均身高在168.5~171.5厘米之間。9/6/202314[例]從某校隨機(jī)地抽取100名男學(xué)生，測(cè)得1.小樣本，且為正態(tài)總體，總體均值的區(qū)間估計(jì)(用分布)第三節(jié)其他類型的置信區(qū)間

9/6/202315第三節(jié)其他類型的置信區(qū)間8/3/202315[例]在一個(gè)正態(tài)總體中抽取一個(gè)容量為25的樣本，其均值為52，標(biāo)準(zhǔn)差為12，求置信水平為95％的總體均值的置信區(qū)間。

[解]根據(jù)題意，總體方差未知，且為小樣本，故用分布統(tǒng)計(jì)量。由95％置信水平查分布表得概率度＝(24)＝2.064代入公式得＝52±2.064＝52±5.06因此，置信水平95％的總體均值的置信區(qū)間是從46.94到57.06。9/6/202316[例]在一個(gè)正態(tài)總體中抽取一個(gè)容2.大樣本總體成數(shù)的估計(jì)從總體的均值估計(jì)過渡到總體的成數(shù)估計(jì)，其方法和思路完全相同，只要用代替，用代替

若總體成數(shù)未知，允許誤差取或

9/6/2023172.大樣本總體成數(shù)的估計(jì)8/3/202317[例]假若從某社區(qū)抽取一個(gè)由200個(gè)家庭組成的樣本，發(fā)現(xiàn)其中有36%的家庭由丈夫在家庭開支上作決定的次數(shù)超過半數(shù)。試問家庭開支的半數(shù)以上由丈夫決定的家庭的置信區(qū)間是多少？（置信水平99%）[解法一][解法二]9/6/202318[例]假若從某社區(qū)抽取一個(gè)由200個(gè)家庭組成三、總體方差的區(qū)間估計(jì)由第八章分布的性質(zhì)，我們知道有因此，對(duì)于給定的置信水平，總體方差的區(qū)間估計(jì)為

9/6/202319三、總體方差的區(qū)間估計(jì)8/3/202319

[例]

研究者調(diào)查某社區(qū)居民家庭收入情況，現(xiàn)隨機(jī)抽查了10戶，得到樣本方差為S＝200(元2)，試以90％的置信水平估計(jì)居民總體家庭收入之方差的置信區(qū)間。[解]根據(jù)題意，查分布表得＝＝3.325

＝＝16.919代入公式有

≤≤所以該社區(qū)居民收入之方差90％置信水平的置信區(qū)間為118.2∽601.5(元2)。9/6/202320[例]研究者調(diào)查某社區(qū)居民家庭收入情況，第四節(jié)抽樣平均誤差1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣回置抽樣不回置抽樣校正因子主要用于總體不夠大時(shí)。9/6/202321第四節(jié)抽樣平均誤差1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣8/3/20232抽樣設(shè)計(jì)效果指標(biāo)deffDeff<1,說明該抽樣方式誤差小于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣9/6/202322抽樣設(shè)計(jì)效果指標(biāo)deff8/3/2023222.分層抽樣層內(nèi)方差的平均（層間方差不進(jìn)入）：回置抽樣：不回置抽樣9/6/2023232.分層抽樣8/3/2023233.整群抽樣總體可看作是以群為單位的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。群間方差（群內(nèi)方差不進(jìn)入）：整群抽樣平均誤差：9/6/2023243.整群抽樣8/3/202324第五節(jié)樣本容量的確定回置：不回置：9/6/202325第五節(jié)樣本容量的確定回置：8/3/202325設(shè)某市家庭月戶均收入服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為160元，現(xiàn)要對(duì)該市家庭之月平均收入加以估計(jì)，（1）若置信水平為95%，平均收入的最大誤差在10元以內(nèi)，問樣本容量為多少？（2）若置信水平為90%，平均收入的最大誤差在10元以內(nèi)，問樣本容量為多少？（3）若置信水平為99%，平均收入的最大誤差在10元以內(nèi)，問樣本容量為多少？（4）若置信水平為95%，平均收入的最大誤差在20元以內(nèi)，問樣本容量為多少？（5）改變最大誤差，對(duì)樣本大小有什么影響？（6）改變置信水平，對(duì)樣本大小有什么影響？

（983，697，1704，246）9/6/202326設(shè)某市家庭月戶均收入服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為8