山東省聊城市重點中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（PDF版含答案）

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數(shù)學(xué)試題

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個

選項中，只有一項是符合題目要求的．

1.izx24x2i已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為（）

A.2B.－2C.2D.4

2.在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點，則平面AEF截正方

體所得的截面多邊形的形狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

rr

3.已知向量a1,2，b1,1，若a與aλb的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是（）

5,5A.B.,

33

C.,

55

D.,0

33

0,

4.《九章算術(shù)》是中國古代人民智慧的結(jié)晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圓亭，

下周三丈，上周二丈，高一丈”，譯文為“有一個圓臺形狀的建筑物，下底面周長為三丈，

上底面周長為二丈，高為一丈”，則該圓臺的側(cè)面積（單位：平方丈）為（）

51222A.B.514C.51D.

442

5142

2

5.已知a，b是兩條不重合直線，，是兩個不重合平面，則下列說法正確的是（）

A.若a//b，b//，則a//B.若，a//，則a

C.若，a，a，則a//D.若b，a//b，，則

a//

6.已知ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若abccosBccosA，則ABC

的形狀一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或

直角三角形

7.直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中點，則AM

與平面BCC1B1所成角的正弦值為（）

數(shù)學(xué)試題

1

{#{ABbYKUogCIABIAARhCEQFACgOQkAACAKgOxAAAsAABSBFABAA=}#}

7

A.B.15C.85D.15

10101010

8.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程x2－2x＋5＝0的兩根為α，β，則|α|＋|β|等于()

A．2B．25C.5D．5

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項

中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的

得0分．

9.已知復(fù)數(shù)z1對應(yīng)的向量為OZ1，復(fù)數(shù)z2對應(yīng)的向量為OZ2，則下列說法正確的是（）

A.若OZ11，則z11或i

B.若z143i，z234i，則Z1Z21,1

C.若z1z2z1z2，則OZ1OZ2

D.若OZ1OZ2OZ1OZ2，則z1z2

10.已知空間向量a1,1,2，則下列說法正確的是（）

A.a6

B.向量a與向量b2,2,4共線

C.向量a關(guān)于x軸對稱的向量為1,1,2

D.向量a關(guān)于yOz平面對稱的向量為1,1,2

11.已知圓錐的底面半徑為23，高為2，S為頂點，A，B為底面圓周上兩個動點，則下

列說法正確的是（）

A.圓錐的體積為24π

B.圓錐側(cè)面展開圖的圓心角大小為3π

C.圓錐截面SAB面積的最大值為43

256π

D.若圓錐的頂點和底面上所有點都在同一個球面上，則此球的體積為

3

12.已知a2cosx,sinx，b3cosx,2cosx，0，fxab3，

且fx的圖象的對稱中心與對稱軸的最小距離為，則下列說法正確的是（）

4

A.1

數(shù)學(xué)試題

2

{#{ABbYKUogCIABIAARhCEQFACgOQkAACAKgOxAAAsAABSBFABAA=}#}

B.fx的圖象關(guān)于直線x對稱

12

C.把fx圖象向左平移單位，所得圖象關(guān)于y軸對稱

12

D.保持fx圖象上每一點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，然后把圖象向左平移

3

個單位，得到函數(shù)y2sinx的圖象

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13.甲、乙兩人從1,2,3，…，10中各取一數(shù)(不重復(fù))，已知甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)，則甲

數(shù)大于乙數(shù)的概率為________．

14.在正方體ABCDA1B1C1D1中，點G，H分別在棱B1C1，A1D1上，且

AHC111GA1D1，則異面直線BG與DH所成角的余弦值為______．3

1

15.已知sin，則cos2______．

333

16.某醫(yī)院急救中心隨機抽取20位病人等待急診的時間記錄如下表：

等待時間/分[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25]

頻數(shù)48521

用上述分組資料計算出病人等待時間方差的估計值s2＝________.

四、解答題：本題共4小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟．

17.（15分）某飲料公司對一名員工進行測試以便確定其考評級別．公司準(zhǔn)備了兩種不同

的飲料共

5杯，其顏色完全相同，并且其中3杯為A飲料，另外2杯為B飲料，公司要求此員工一一

品嘗后，從5杯飲料中選出3杯A飲料．若該員工3杯都選對，則評為優(yōu)秀；若3杯選對2

杯，則評為良好；否則評為不合格．假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力．

(1)求此人被評為優(yōu)秀的概率；

(2)求此人被評為良好及以上的概率．

3

18.（15分）如圖所示，在四邊形ABCD中，D＝2B，且AD＝1,CD＝3，cosB＝.

3

數(shù)學(xué)試題

3

{#{ABbYKUogCIABIAARhCEQFACgOQkAACAKgOxAAAsAABSBFABAA=}#}

(1)求△ACD的面積；

(2)若BC＝23，求AB的長．

19.（20分）如圖所示，已知DOE是半徑為3，中心角為的扇形，P為弧D3E上一動

點，四邊形PQMN

是矩形，PODx0x

．

3

（1）求矩形PQMN的面積fx的最大值及取得最大值時的x值；

23（）在ABC中，fC，c2，其面積SABC23，求ABC的周長．2

20.（20分）如圖所示，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，

PAAB2，AD2，點E是PB的中點．

（1）證明：AEPC；

（2）求點D到CE的距離；

（3）求二面角CAED的大?。?/p>

數(shù)學(xué)試題

4

{#{ABbYKUogCIABIAARhCEQFACgOQkAACAKgOxAAAsAABSBFABAA=}#}數(shù)學(xué)試題答案

一、單項選擇題：本大題共8小題．每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1.【答案】A

【解析】

【分析】因為是實數(shù)，所以復(fù)數(shù)的實部是，虛部是，直接由實部等于0，虛部不等于0求解的值．

【詳解】解：由是純虛數(shù)，得，解得．

故選：A.

2.【答案】B

【解析】

【分析】把截面補形可得利用四點共面可得．

【詳解】解：如圖，把截面補形為四邊形，

連接，，

因為，分別為，的中點，則，

又在正方體中，

所以，則四點共面.

則平面截正方體所得的截面多邊形的形狀為四邊形.

故選：B.

3.【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)向量夾角為銳角列出不等式組，求出的取值范圍.

【詳解】，

由題意得：且，

解得：且，

故選：D

4.【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，由已知周長求得和，代入圓臺的側(cè)面積公式，即可求解.

【詳解】設(shè)圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，

可得，可得，

又由圓臺的高為1丈，可得圓臺的母線長為，

所以圓臺側(cè)面積為.

故選：B.

5.【答案】C

【解析】

【分析】利用線線，線面，面面的位置關(guān)系逐項分析即得.

【詳解】若，，則或，故A錯誤；

若，，則或或與相交，故B錯誤；

若，，則或，又，故，故C正確；

若，，則，又，則或，故D錯誤.

故選：C.

6.【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)邊角互化得，再結(jié)合，化簡整理得，進而得或，即的形狀一定是等腰或直角三角形.

【詳解】解：因為，

所以由正弦定理邊角互化得，

因為，

，

所以，

整理得

所以，

所以或，

因為，

所以或，即的形狀一定是等腰或直角三角形

故選：D

7.【答案】B

【解析】

【分析】取的中點，以為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．

【詳解】如圖所示，取的中點，以為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)，則，

所以，平面的一個法向量為

設(shè)AM與平面所成角為，向量與所成的角為，

所以，

即AM與平面所成角的正弦值為．

故選：B．

8.答案B

解析因為方程x2－2x＋5＝0，

所以Δ＝(－2)2－4×5＝－16<0，

所以x＝＝1±2i，

若令α＝1＋2i，則β＝1－2i，

則|α|＋|β|＝|1＋2i|＋|1－2i|＝＋＝2.

二、多項選擇題：本大題共4小題．每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．

9.【答案】CD

【解析】

【分析】A可以舉出反例；B選項，經(jīng)過復(fù)數(shù)的向量表示下的運算得到；C選項，設(shè)，，得到，從而得到；D選項，同樣設(shè)出，，通過復(fù)數(shù)的向量表示形式下的計算得到，得到.

【詳解】當(dāng)時，滿足，故A錯誤；

，B錯誤；

設(shè)，，

若，則，

化簡得：，

故，所以，C正確；

設(shè)，，

則，，

若，

則，

所以，

則，D正確.

故選：CD

10.【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量模的公式，結(jié)合共線向量、線對稱、面對稱的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】A：因為，所以本選項說法正確；

B：因為，所以向量與向量共線，因此本選項說法正確；

C：設(shè)的起點為坐標(biāo)原點，所以該向量的終點為，

因為點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為，

所以向量關(guān)于軸對稱的向量為，因此本選項說法正確；

D：設(shè)的起點為坐標(biāo)原點，所以該向量的終點為，

因為點關(guān)于平面對稱點的坐標(biāo)為，

所以向量關(guān)于平面對稱的向量為，

故選：ABC

11.【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求出圓錐的母線長，體積，側(cè)面展開圖的弧長，軸截面面積，外接球體積，即可得出結(jié)論．

【詳解】解：因為圓錐的底面半徑為，高為，所以圓錐的母線長，則：

對于A，圓錐的體積，故A錯誤；

對于B，設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大小為，則，，故B正確；

對于C，當(dāng)圓錐截面為圓錐的軸截面時，此時，，所以，所以當(dāng)時，截面的面積最大，，故C錯誤；

對于D，圓錐的頂點和底面上所有點都在同一個球面上，即圓錐的外接球，設(shè)圓錐外接球半徑為，由球的性質(zhì)可知：，即，解得，所以外接球的體積．故D正確．

故選：BD.

12.【答案】ABD

【解析】

【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、降冪公式及輔助角公式可得，根據(jù)已知有求得，即，應(yīng)用代入法驗證對稱軸、根據(jù)圖象平移寫出平移后的解析式并判斷對稱性，即可得答案.

【詳解】由，

而對稱中心與對稱軸的最小距離為，即，可得，

所以，可得，A正確；

故，則，故的圖象關(guān)于直線對稱，B正確；

，顯然不關(guān)于軸對稱，C錯誤；

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再左移個單位則，D正確.

故選：ABD

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．

13.答案

解析甲、乙兩人從1,2,3，…，10中各取一數(shù)(不重復(fù))，甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)，設(shè)甲取的數(shù)為m，乙取的數(shù)為n，其樣本點記為(m，n)，

所以樣本空間Ω＝{(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(10,1)，(10,2)，(10,3)，(10,4)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)}，共含有18個樣本點，事件“甲數(shù)小于乙數(shù)”包括(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，共5個樣本點，

故甲數(shù)大于乙數(shù)的概率為P＝1－＝.

14.【答案】.

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量夾角公式進行求解即可.

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)該正方體的棱長為，

則有，，，，

，，

設(shè)異面直線與所成角為，

所以，

故答案為：.

15.【答案】

【解析】

【分析】由已知條件及誘導(dǎo)公式可得，再應(yīng)用二倍角余弦公式求目標(biāo)式的值.

【詳解】，

由.

故答案為：

16.【答案】28.5

解析＝×(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5，s2＝×[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5.

四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17.解將5杯飲料編號為1,2,3,4,5，編號1,2,3表示A飲料，編號4,5表示B飲料，則從5杯飲料中選出3杯的樣本空間Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共有10個樣本點．

令D表示此人被評為優(yōu)秀的事件，E表示此人被評為良好的事件，F(xiàn)表示此人被評為良好及以上的事件，則

(1)P(D)＝.

(2)P(E)＝，則P(F)＝P(D)＋P(E)＝.

18.解(1)因為D＝2B，co