2022年高考數(shù)學精英備考專題講座選擇填空題解題策略理科

第七講選擇題、填空題的解題策略選擇題在高考中注重多個知識點的小型綜合，滲透各種思想方法，體現(xiàn)以考查“三基”為重點的導向，解答選擇題的基本要求是四個字——準確、迅速.選擇題主要考查基礎知識的理解、接本技能的熟練、基本運算的準確、基本方法的運用、考慮問題的嚴謹、解題速度的快捷等方面.解答選擇題的基本策略是：要充分利用題設和選項兩方面提供的信息作出判斷.一般說來，能定性判斷的，就不再使用復雜的定量計算；能使用特殊值判斷的，就不必采用常規(guī)解法；對于明顯可以否定的選項應及早排除，以縮小選擇的范圍；對于具有多種解題思路的，宜選最簡單解法等.解題時應仔細審題、深入分析、正確推理、謹防疏漏；初選后認真檢驗，確保準確.解數(shù)學選擇題的常用方法，主要分為直接法和間接法兩大類.直接法是解答選擇題最基本、最常用的方法；但高考的題量較大，如果所有選擇題都用直接法解答，不但時間不允許，甚至有些題目根本無法解答.因此，我們還要掌握一些特殊的解答選擇題的方法.填空題是將一個數(shù)學真命題，寫成其中缺少一些語句的不完整形式，要求學生在指定空位上將缺少的語句填寫清楚、準確.它是一個不完整的陳述句形式，填寫的可以是一個詞語、數(shù)字、符號、數(shù)學語句等.填空題大多能在課本中找到原型和背景，故可以化歸為我們熟知的題目或基本題型.根據(jù)填空時所填寫的內(nèi)容形式，可以將填空題分成兩種類型：一是定量型，要求考生填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關系，如：方程的解、不等式解集、函數(shù)的定義域、值域、最大值或最小值、線段長度、角度大小等等.由于填空題和選擇題相比，缺少選擇的信息，所以高考題多數(shù)是以定量型問題出現(xiàn).二是定性型，要求填寫的是具有某種性質(zhì)的對象或者填寫給定數(shù)學對象的某種性質(zhì)，如：給定二次曲線的焦點坐標、離心率等等.近幾年出現(xiàn)了定性型的具有多重選擇性的填空題.填空題缺少選擇的提示信息，故解答題的求解思路可以原封不動地移植到填空題上.但填空題既不用說明理由，又無需書寫過程，因而解選擇題的有關策略、方法有時也適合于填空題.填空題雖題小，但跨度大，覆蓋面廣，形式靈活，可以有目的、和諧地結(jié)合一些問題，突出訓練學生準確、嚴謹、全面、靈活地運用知識的能力和基本運算能力，突出以圖助算、列表分析、精算與估算相結(jié)合等計算能力.想要又快又準地答好填空題，除直接推理計算外，還要講究一些解題策略，盡量避開常規(guī)解法.解答填空題時，由于不反映過程，只要求結(jié)果，故對正確性的要求比解答題更高、更嚴格.《考試說明》中對解答填空題提出的基本要求是“正確、合理、迅速”.為此在解填空題時要做到：細——審題要細，不能粗心大意；活——解題要活，不要生搬硬套；穩(wěn)——變形要穩(wěn)，不可操之過急；快——運算要快，力戒小題大作；全——答案要全，力避殘缺不齊.第一節(jié)選擇題的解題策略（1）【解法一】直接法：直接從題設條件出發(fā)，運用有關概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識，通過嚴密的推理和準確的運算，從而得出正確的結(jié)論，然后對照題目所給出選項“對號入座”，作出相應的選擇.涉及概念、性質(zhì)的辨析或運算較簡單的題目常用直接法.例1雙曲線方程為，則它的右焦點坐標為（）A. B. C. D.點撥：此題是有關圓錐曲線的基礎題，將雙曲線方程化為標準形式，再根據(jù)的關系求出，繼而求出右焦點的坐標.解：，所以右焦點坐標為，答案選C.易錯點：（1）忽視雙曲線標準方程的形式，錯誤認為；（2）混淆橢圓和雙曲線標準方程中的關系，在雙曲線標準方程中.例2閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的值等于（）.3點撥：此題是程序框圖與數(shù)列求和的簡單綜合題.解：由程序框圖可知，該框圖的功能是輸出使和時的的值加1，因為，，所以當時，計算到故輸出的是4，答案選C.易錯點：沒有注意到的位置，錯解.實際上使得后加1再輸出，所以輸出的是4.變式與引申1：根據(jù)所示的程序框圖（其中表示不大于的最大整數(shù)），輸出（）.A.B.D.答案：選A例3正方體-中，與平面所成角的余弦值為（）A.B.C.D.A.B.CDCA.B.CDC1D1O解：因為∥,所以與平面所成角和與平面所成角相等,設⊥平面，由等體積法得,即.設=,則,.所以記與平面所成角為,則,所以,故答案選D.易錯點：考慮直接找與平面所成角，沒有注意到角的轉(zhuǎn)化，導致思路受阻.點評：直接法是解答選擇題最常用的基本方法.直接法適用的范圍很廣，只要運算正確必能得出正確的答案.平時練習中應不斷提高直接法解選擇題的能力.準確把握題目的特點，用簡便的方法巧解選擇題，是建立在扎實掌握“三基”的基礎上，否則一味求快則會快中出錯.【解法二】特例法：用特殊值代替題設普遍條件，得出特殊結(jié)論，對各個選項進行檢驗，從而作出正確的判斷.常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等.例4：在平面直角坐標系xoy中，已知△ABC的頂點A(－4，0)和C(4，0)，且頂點B在橢圓上，則（）A. B. D.點撥：此題是橢圓性質(zhì)與三角形的簡單綜合題，可根據(jù)性質(zhì)直接求解，但正弦定理的使用不易想到，可根據(jù)性質(zhì)用取特殊值的方法求解.解：根據(jù)B在橢圓上，令B在短軸頂點處，即可得答案選A.例5已知函數(shù)=若均不相等，且，則的取值范圍是（）A.（1，10）B.(5，6)C.(10，12)D.(20，24)點撥：此題是函數(shù)綜合題，涉及分段函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，函數(shù)圖像變換，可結(jié)合圖像，利用方程與函數(shù)的思想直接求解，但變量多，關系復雜，直接求解較繁，采用特例法卻可以很快得出答案.解：不妨設，取特例，如取，則易得，從而，故答案選C．另解：不妨設，則由，再根據(jù)圖像易得.實際上中較小的兩個數(shù)互為倒數(shù).例6記實數(shù)…中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.已知的三邊邊長為、、（）,定義它的傾斜度為，則“”是“為等邊三角形”的（）A.充分布不必要的條件 B.必要而不充分的條件C.充要條件 D.既不充分也不必要的條件點撥：此題引入新定義，需根據(jù)新信息進行解題，必要性容易判斷.解：若△為等邊三角形時、即，則則t=1；若△為等腰三角形，如時，則，此時t=1仍成立但△不為等邊三角形,所以答案選B.點評：當正確的選擇對象在題設條件都成立的情況下，用特殊值（取的越簡單越好）進行探求，從而清晰、快捷地得到正確的答案，即通過對特殊情況的研究來判斷一般規(guī)律，是解答本類選擇題的最佳策略.【解法三】排除法：充分運用選擇題中單選的特征（即有且只有一個正確選項），通過分析、推理、計算、判斷，逐一排除，最終達到目的.例7下列函數(shù)中，周期為，且在上為減函數(shù)的是（）A.B.C.D.點撥：此題考查三角函數(shù)的周期和單調(diào)性.解：C、D中函數(shù)周期為2，所以錯誤.當時，，函數(shù)為減函數(shù),而函數(shù)為增函數(shù)，所以答案選A.例8函數(shù)的圖像大致是（）點撥：此題考查函數(shù)圖像，需要結(jié)合函數(shù)特點進行分析,考慮觀察零點.解：因為當2或4時，，所以排除B、C；當-2時，，故排除D，所以答案選A.易錯點：易利用導數(shù)分析單調(diào)性不清導致錯誤.例9設函數(shù)，若,則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.點撥：此題是分段函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，解不等式的綜合題，需要結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，對數(shù)運算性質(zhì)進行分析，分類討論，解對數(shù)不等式，運算較復雜，運用排除法較易得出答案.解：取驗證滿足題意，排除A、D.取驗證不滿足題意,排除B.所以答案選C.易錯點：直接求解利用函數(shù)解析時，若忽略自變量應符合相應的范圍，易解錯點評：排除法適用于定性型或不易直接求解的選擇題.當題目中的條件多于一個時，先根據(jù)某些條件在選項中找出明顯與之矛盾的，予以否定，再根據(jù)另一些條件在縮小的選項范圍內(nèi)找出矛盾，這樣逐步排除，直到得出正確的選擇.它與特例法、圖解法等結(jié)合使用是解選擇題,尤其是選項為范圍的選擇題的常用方法.【解法四】驗證法：將選項中給出的答案代入題干逐一檢驗，從而確定正確答案.例10將函數(shù)的圖像向左平移個單位.若所得圖像與原圖像重合，則的值不可能等于（）.6點撥：此題考查三角函數(shù)圖像變換及誘導公式，的值有很多可能，用驗證較易得出答案.解：逐項代入驗證即可得答案選B.實際上，函數(shù)的圖像向左平移個單位所得函數(shù)為，此函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像重合，即，于是為4的倍數(shù).易錯點：的圖像向左平移個單位所得函數(shù)解析式，應將原解析式中的變?yōu)?，圖像左右平移或軸的伸縮變換均只對產(chǎn)生影響，其中平移符合左加右減原則，這一點需要對圖像變換有深刻的理解.例11若能被整除，則的值可能為（）A.B.C.D.點撥：此題考查二項展開式，可能的值情況很多，宜用驗證法.解：，再把各項逐一代入驗證可知，答案選C.易錯點：忽略原式與的二項展開式少了常數(shù)項1而無法進行求解.例12下列雙曲線中離心率為的是（）A. B. C. D.點撥：此題考查雙曲線的性質(zhì)，沒有確定形式，只能根據(jù)選項驗證得出答案.解：依據(jù)雙曲線的離心率，逐一驗證可知選B.易錯點：雙曲線中，與橢圓中混淆，錯選D.變式與引申2：下列曲線中離心率為的是（）A. B. C. D.答案：選B點評：驗證法適用于題設復雜，但結(jié)論簡單的選擇題.若能根據(jù)題意確定代入順序則能較大提高解題速度.習題7-11.一位國王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣，國王懷疑大臣作弊，他用兩種方法來檢測。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查兩枚。國王用方法一、二能發(fā)現(xiàn)至少一枚劣幣的概率分別為和，則A.=B.<C.>D.以上三種情況都有可能2．某人要制作一個三角形，要求它的三條高的長度分別為，則此人能（）A.不能作出這樣的三角形B.作出一個銳角三角形C.作出一個直角三角形D.作出一個鈍角三角形3.設是任意等比數(shù)列，它的前項、前項、與前項和分別為，則下列等式中恒成立的是()A. B.C. D.4.定義在R上的奇函數(shù)為減函數(shù)，設，給出下列不等式：①；②；③④，其中正確的不等序號是（）A.①②④B.①④C.②③D.①③5.如圖，在棱柱的側(cè)棱和上各有一動點滿足，過三點的截面把棱柱分成兩部分，則其體積之比為（）：1：1C.4：16.已知圓與直線及都相切，圓心在直線上，則圓C的方程為（）A.B.C.D.7.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向右平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向左平移個單位第二節(jié)選擇題的解題策略（2）【解法五】圖解法：據(jù)題設條件作出研究問題的曲線或有關圖形，借助幾何圖形的直觀性作出正確判斷.習慣上也叫數(shù)形結(jié)合法.設函數(shù)，則在下列區(qū)間中函數(shù)不存在零點的是（）A.B.C.D.點撥：此題考查函數(shù)零點問題，可轉(zhuǎn)化為兩個熟悉函數(shù)的交點問題.畫圖時應注意兩個函數(shù)在與選項有關的關鍵點（如分界點）的函數(shù)值大小關系.解：將的零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點，數(shù)形結(jié)合，答案選A.易錯點：圖像不準確，忽略關鍵點，易解錯.例2（2022高考江西卷理）若曲線：與曲線：有4個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.OxyOxy1曲線：，圖像為圓心為（1,0），半徑為1的圓；曲線：，或者，直線恒過定點，即曲線圖像為軸與恒過定點的兩條直線。作圖分析：，，又直線（或直線）、軸與圓共有四個不同的交點，結(jié)合圖形可知易錯點：（1）忽略曲線方程：表示的是兩條直線（2）求直線與曲線相切時的值時不結(jié)合圖像取值導致錯誤.例3直線與圓心為D的圓交于A、B兩點，則直線AD與BD的傾斜角之和為（）A. B. C. D.點撥：此題是直線與圓的綜合題，考查圓的參數(shù)方程，直線的傾斜角及圓的性質(zhì)，應用圖解.解：數(shù)形結(jié)合，設直線AD與BD的傾斜角分別為，則，，由圓的性質(zhì)可知，故.所以答案選C.易錯點：考慮代數(shù)解法，利用圓的方程和直線方程進行求解，過程復雜，計算困難導致錯誤.點評：嚴格地說，圖解法并非屬于選擇題解題思路范疇，而是一種數(shù)形結(jié)合的解題策略.但它在解有關選擇題時非常簡便有效.不過運用圖解法解題一定要對有關函數(shù)圖像，方城曲線，幾何圖形較熟悉，否則錯誤的圖像會導致錯誤的選擇.【解法六】分析法：特征分析法：根據(jù)題目所提供的信息，如數(shù)值特征、結(jié)構(gòu)特征、位置特征等，進行快速推理，迅速作出判斷的方法.例4已知，則等于()A. B. C. D.5點撥：此題考查同角三角函數(shù)關系及半角公式，可先利用同角正余弦平方和為1求的值，再根據(jù)半角公式求，運算較復雜，試根據(jù)答案數(shù)值特征分析.解：由于受條件的制約，為一確定的值，進而推知也為一確定的值，又，因而，故，所以答案選D.易錯點：忽略，為一確定的值導致結(jié)果與有關.邏輯分析法：通過對四個選項之間的邏輯關系的分析，達到否定謬誤項，選出正確項的方法.例5當時，恒成立，則的一個可能值是（）A.5 B.C. 點撥：此題是有關不等式恒成立的問題，可運用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解，較復雜.解：由知A真B真C真D真，假設A,B,C真，則均有兩個以上正確答案，所以根據(jù)選擇題答案唯一的特點，答案選D.也可利用數(shù)形結(jié)合思想求解.易錯點：忽略不等式的特點，平方轉(zhuǎn)化為二次不等式，導致錯誤.【解法七】估值法：對于選項是數(shù)值的選擇題，可以通過估計所要計算值的范圍來確定唯一的正確選項.例6若，是第三象限的角，則=（）A.B.C.D.點撥：此題考查同角三角函數(shù)關系及兩角和公式，可根據(jù)角的范圍先求出的正弦值，再根據(jù)兩角和公式求.解：根據(jù)單位圓估算,所以答案選A.易錯點：忽略角的范圍，求正弦值得出兩個答案，以致思路受阻.例7據(jù)2002年3月5日第九屆全國人大五次會議《政府工作報告》：“2022年國內(nèi)生產(chǎn)總值達到95933億元，比上年增長7.3%.如果“十五”期間（2022-2022年）每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長率增長，那么到“十五”末我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為（）億元B.120000億元C.127000億元D.135000億元點撥：此題考查等比數(shù)列在實際生活中的應用，容易列式，但結(jié)果的數(shù)值難算，應進行估算.解：且所以答案選C.易錯點：沒有想清楚2022年生產(chǎn)總值是以95933為首項，為公比的等比數(shù)列的第五項，錯列式導致錯誤.例8已知過球面上三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且，則球面面積是（）A.B.C.D.點撥：此題考查球的性質(zhì)及球面面積公式，可先求截面圓半徑，結(jié)合球心到截面的距離，利用勾股定理求出球半徑，再求球面面積.解：球的半徑不小于△的外接圓半徑，則，所以答案選D.點評：估值法，省去了很多推導過程和比較復雜的計算，節(jié)省了時間，從而顯得快捷.其應用廣泛，減少了運算量，卻加強了思維的層次，是人們發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的一種重要方法.【解法八】逆推法：假設選項正確，以部分條件作為已知條件進行推理，看是否能推出與已知條件矛盾的結(jié)論，從而找出正確答案.例9用表示兩數(shù)中的最小值.若函數(shù)的圖像關于直線對稱，則的值為（）.A.B.C.D.點撥：此題考查對新定義符號的理解及圖像的對稱性，應考慮畫圖像，由于的值未知，圖像不容易確定，所以從選項假設出發(fā).解：根據(jù)圖像，時，函數(shù)的圖像關于直線對稱，時，函數(shù)的圖像關于直線對稱，時，函數(shù)的圖像關于直線對稱，所以答案選D.例10在中，所對的邊分別為，若，則是（）A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.銳角三角形點撥：此題考查解三角形，條件比較難轉(zhuǎn)化，考慮從選項出發(fā).解：等邊三角形是等腰三角形和銳角三角形的特殊情況，故先假設選項B正確.此時,，，不滿足題目條件，所以A，B，C均不滿足題意，故答案選C.易錯點：利用正弦定理邊化角及三角函數(shù)和差化積直接求解,忽略三角形內(nèi)角和.例11平行四邊形的周長等于，的內(nèi)切圓半徑等于，已知，則它的邊長是（）.A.B.C.D.點撥：此題考查解三角形問題，條件多而復雜，考慮從選項出發(fā).解：，顯然A選項不符合.以“周長等于”為條件，假設選項B正確，即，則在中,,根據(jù)余弦定理可求得，從而的內(nèi)切圓半徑，恰好符合條件，所以答案選B.點評：逆推法常用于由題干條件直接推導結(jié)論較復雜的選擇題，逆向思維，常結(jié)合邏輯法，排除法進行運用，是只適用于選擇題的特殊方法.與驗證法不同的是它需要推理，且由條件得出的答案唯一.從考試的角度來看，解選擇題只要選對就行，至于用什么“策略”、“手段”都是無關緊要的，但平時做題時要盡量弄清每一個選項正確的理由與錯誤的原因.另外，在解答一道選擇題時，往往需要同時采用幾種方法進行分析、推理，只有這樣，才會在高考時充分利用題目自身提供的信息，化常規(guī)為特殊，避免小題大作，真正做到準確，快速.總之，解答選擇題既要看到各類常規(guī)題的解題思想，但更應該充分挖掘題目的“個性”，尋求簡便方法，充分利用選項的暗示作用，迅速地作出正確的選擇.這樣不但可以迅速、準確地獲取正確答案，還可以提高解題速度，為后續(xù)解題節(jié)省時間.習題7-21.若a0，b0，則不等式等價于（）A．或B.C.或D.或2.已知以為周期的函數(shù)，其中．若方程恰有5個實數(shù)解，則的取值范圍為（）A． B． C． D．3.如圖，在多面體中，已知面是邊長為的正方形，∥,,與面的距離為，則該多面體的體積為（）A.B.C.D.4.已知，且，則的值是（）A.B.C.D.5.如圖，在ΔABC中，，,，則=（）A.B.C.D.6．將正奇數(shù)，排成5列，按右圖的格式排下去，2022所在的列從左數(shù)起是（）A.第一列B.第二列C.第三列D.第四列7.已知A、B為兩定點，C為動點，且|CA|＝m(定值)(|AB|＞m)，延長AC至P點，使eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，則動點P的軌跡是（）A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．雙曲線的一支第三節(jié)填空題的解題策略（1）一常規(guī)填空題解法示例【解法一】直接求解法：直接從題設條件出發(fā)，利用定義、性質(zhì)、定理、公示等，經(jīng)過變形、推理、計算、判斷得到結(jié)論.這種方法是解填空題的最基本、最常用的方法.使用直接法解填空題，要善于通過現(xiàn)象看本質(zhì)，自覺地，有意識地采取靈活、簡捷的解法.例1展開式中的常數(shù)項為____________點撥：此題考查二項展開式，應寫出使的指數(shù)等于0的項.解：，寫出所有的系數(shù)，即常數(shù)項為4246.易錯點：這里二項展開式是兩項展開式的積，容易忽略.例2已知雙曲線的離心率為2，焦點與橢圓的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標為；漸近線方程為.點撥：此題考查橢圓和雙曲線的簡單性質(zhì).解：雙曲線焦點即為橢圓焦點，不難算出焦點坐標為，又雙曲線離心率為2，即，故，漸近線為.易錯點：容易將橢圓和雙曲線中的關系混淆.【解法二】特殊化法：當填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以將題中變化的不定量選取符合條件的恰當特殊值（特殊函數(shù)，特殊角，特殊數(shù)列，特殊位置，特殊點，特殊方程，特殊模型等）進行處理，從而得出探求的結(jié)論.這樣可以大大地簡化推理、論證的過程.此種方法也稱為“完美法”，其根本特點是取一個比較“完美”的特例，把一般問題特殊化，已達到快速解答.為保證答案的正確性，在利用此方法時，一般應多取幾個特例.例3已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，若方程（）在區(qū)間上有四個不同的根，，則．點撥：此題考查抽象函數(shù)的奇偶性，周期性，單調(diào)性和對稱軸方程，條件多，將各種特殊條件結(jié)合的最有效方法是把抽象函數(shù)具體化.解：根據(jù)函數(shù)特點取，再根據(jù)圖像可得【答案】-8易錯點：由只想到函數(shù)的周期為8，沒有注意各條件之間的聯(lián)系，根據(jù)結(jié)論與對稱軸有關而導致思路受阻.例4：在△中，角所對的邊分別為，如果成等差數(shù)列，則___________.點撥：此題為解三角形與數(shù)列的綜合題，直接求解較復雜，考慮取特殊值.解：取特殊值，則，.或取，則，代入也可得.也可利用正弦定理邊化角及三角函數(shù)和差化積直接求解.易錯點：直接求解時容易忽略三角形內(nèi)角和等于這個隱含條件而導致思路受阻.【解法三】數(shù)形結(jié)合法：對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)題目條件的特點，作出符合題意的圖形，做到數(shù)中思形，以形助數(shù)，并通過對圖形的直觀分析、判斷，則往往可以簡捷地得出正確的結(jié)果.例5：已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交于點，且，則的離心率為.點撥：此題是橢圓和向量的綜合題，由于涉及到橢圓與直線相交，應結(jié)合圖形，運用橢圓的第二定義進行求解.解：如圖，,作軸于點D1,則由，得,所以,即,由橢圓的第二定義又由,得,整理得.兩邊都除以,得.易錯點：沒有運用橢圓的第二定義，導致運算量大且極難算.例6定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖像與的圖像的交點為，過點作⊥軸于點，直線與的圖像交于點,則線段的長為_____.點撥：此題考查三角函數(shù)圖像和同角三角函數(shù)關系，涉及圖像問題，應運用數(shù)形結(jié)合思想進行轉(zhuǎn)化.解：線段的長即為的值，且其中的滿足，解得，即線段的長為.易錯點：考慮通過求出點，的縱坐標來求線段長度，沒有想到線段長度的意義，忽略數(shù)形結(jié)合，導致思路受阻.【解法四】特征分析法：有些問題看似，非常復雜，一旦挖掘出其隱含的數(shù)量或位置等特征，此問題就能迎刃而解.例7已知函數(shù)滿足：，，則____________．點撥：此題考查函數(shù)周期性，所知函數(shù)值有限，所求函數(shù)自變量數(shù)值很大，應考慮尋找規(guī)律.解：取得法一：通過計算，尋得周期為6法二：取,有,同理.聯(lián)立得,所以故.易錯點：忽略自變量是一個數(shù)值較大的正整數(shù)，沒有考慮函數(shù)值的周期性規(guī)律或數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，一味考慮直接求而導致思路受阻.例8五位同學圍成一圈依序循環(huán)報數(shù)，規(guī)定：①第一位同學首次報出的數(shù)為1.第二位同學首次報出的數(shù)也為1，之后每位同學所報出的數(shù)都是前兩位同學所報出的數(shù)之和；②若報出的是為3的倍數(shù)，則報該數(shù)的同學需拍手一次，當?shù)?0個數(shù)被報出時，五位同學拍手的總次數(shù)為點撥：此題考查遞推數(shù)列，具有循環(huán)的特點.這樣得到的數(shù)列這是歷史上著名的數(shù)列，叫斐波那契數(shù)列.尋找規(guī)律是解決問題的根本，否則，費時費力.首先求出這個數(shù)列的每一項除以3所得余數(shù)的變化規(guī)律，再求所求就比較簡單了.解：這個數(shù)列的變化規(guī)律是：從第三個數(shù)開始遞增，且是前兩項之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分別除以3得余數(shù)分別是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可見余數(shù)的變化規(guī)律是按1、1、2、0、2、2、1、0循環(huán)，周期是8.在這一個周期內(nèi)第四個數(shù)和第八個數(shù)都是3的倍數(shù)，所以在三個周期內(nèi)共有6個報出的數(shù)是三的倍數(shù)，后面6個報出的數(shù)中余數(shù)是1、1、2、0、2、2，只有一個是3的倍數(shù)，故3的倍數(shù)總共有7個，也就是說拍手的總次數(shù)為7次.s易錯點：容易考慮將數(shù)列的前30項分別求出再求有幾項是三的倍數(shù)，而沒有考慮觀察余數(shù)呈現(xiàn)的規(guī)律而導致解題過程復雜化.【解法五】構(gòu)造法：根據(jù)題設條件與結(jié)論的特殊性，構(gòu)造出一些熟悉的數(shù)學模型，并借助于它認識和解決問題的一種方法.例9如圖，在三棱錐中，三條棱，，兩兩垂直，且>>,分別經(jīng)過三條棱，，作一個截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為，，，則，，的大小關系為.點撥：此題考查立體圖形的空間感和數(shù)學知識的運用能力，已知條件少，沒有具體的線段長度，應根據(jù)三條棱兩兩垂直的特點，以，，為棱，補成一個長方體.解：通過補形，借助長方體驗證結(jié)論，特殊化，令邊長，，分別為3，2，1得.易錯點：立體幾何圖形比較抽象，忽略將題中圖形與熟悉圖形聯(lián)系，將線段長度具體化很難求出.例10已知實數(shù)滿足，則=____________.點撥：此題考查數(shù)學知識的運用能力，兩個未知數(shù)一個方程，且方程次數(shù)較高，不能直接求出，的值，應考慮將整體求出，注意方程的結(jié)構(gòu)特點.解：構(gòu)造函數(shù)，則已知變?yōu)?，即，根?jù)函數(shù)是奇函數(shù)且單調(diào)遞增可得，于是，即.易錯點：沒有觀察方程的特點，一味想將作為整體直接求解，導致求解困難.習題7-31.設實數(shù)、滿足,則的最小值為.2．12個籃球隊中有3個強隊，將這12個隊任意分成3個組（每組4個隊），則3個強隊恰好被分在同一組的概率為.3．過拋物線準線上任一點作拋物線的兩條切線，切點分別為.若已知直線過一個定點，則這個定點是________________.4．若函數(shù)（且)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是．5.已知數(shù)列滿足：則______；=_________．6.如圖，點在正方形所在的平面外，且面，,則與所成角的度數(shù)為__________.7.設，將的最小值記為，則其中=__________________.第四節(jié)填空題的解題策略（2）二開放型填空題解法示例【題型一】多選型給出若干個命題或結(jié)論，要求從中選出所有滿足題意的命題或結(jié)論.這類題不論多選還是少選都是不能得分的，相當于多項選擇題.它的思維要求不同于一般的演繹推理，而是要求從結(jié)論出發(fā)逆向探究條件，且結(jié)論不唯一.此類問題多涉及定理、概念、符號語言、圖形語言.因此，要求同學們有扎實的基本功，能夠準確的閱讀數(shù)學材料，讀懂題意，根據(jù)新的情景，探究使結(jié)論成立的充分條件.判斷命題是真命題必須通過推理證明，而判斷命題是假命題，舉反例是最有效的方法.例1一個幾何體的正視圖為一個三角形，則這個幾何體可能是下列幾何體中的_______(填入所有可能的幾何體前的編號)①三棱錐②四棱錐③三棱柱④四棱柱⑤圓錐⑥圓柱解：如下圖所示，三棱錐、四棱錐、三棱柱、圓錐四種幾何體的正視圖都可能是三角形，所以應填①②③⑤．易錯點：忽略三棱柱可以倒置，底面正對視線，易漏選③例2甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是________（寫出所有正確結(jié)論的編號）.①；②；③事件與事件相互獨立；④是兩兩互斥的事件；⑤的值不能確定，因為它與中哪一個發(fā)生有關.點撥：此題考查概率有關知識，涉及獨立事件，互斥事件的概念.題型為多選型，應根據(jù)題意及概念逐個判斷.解：易見是兩兩互斥的事件，事件的發(fā)生受到事件的影響，所以這兩事件不是相互獨立的.而.所以答案②④.易錯點：容易忽略事件的發(fā)生受到事件的影響，在求事件發(fā)生的概率時沒有分情況考慮而導致求解錯誤.【題型二】探索型從問題給定的題設中探究其相應的結(jié)論，或從給定題斷要求中探究其相應的必須具備的條件.常見有：規(guī)律探索、條件探索、問題探索、結(jié)論探索等幾個類型.如果是條件探索型命題，解題時要求學生要善于從所給的題斷出發(fā)，逆向追索，逐步探尋，推理得出應具備的條件，進而施行填空；如果是結(jié)論探索型命題，解題時要求學生充分利用已知條件或圖形的特征進行大膽猜想、透徹分析、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲取結(jié)論.例3觀察下列等式：①;②;③;④⑤可以推測，.點撥：此題給出多個等式，出現(xiàn)的系數(shù)存在規(guī)律，需對此規(guī)律進行探索，猜測，推理得出答案.解：因為所以；觀察可得，，所以.例4觀察下列等式：，根據(jù)上述規(guī)律，第五個等式為.點撥：此題給出多個等式，需尋找規(guī)律，探索答案.解：（方法一）∵所給等式左邊的底數(shù)依次分別為1,2；1,2,3；1,2,3,4…，右邊的底數(shù)依次分別為3,6,10…（注意：這里），∴由底數(shù)內(nèi)在規(guī)律可知：第五個等式左邊的底數(shù)為，右邊的底數(shù)為.又左邊為立方和，右邊為平方的形式，故第五個等式為.（方法二）∵易知第五個等式的左邊為，且化簡后等于，而，故易知第五個等式為【題型三】新定義型定義新情景，給出一定容量的新信息（考生未見過），要求考生依據(jù)新信息進行解題.這樣必須緊扣新信息的意義，將所給信息轉(zhuǎn)化成高中所學習的數(shù)學模型，然后再用學過的數(shù)學模型求解，最后回到材料的問題中給出解答.此類問題多涉及給出新定義的運算、新的背景知識、新的理論體系，要求同學有較強的分析轉(zhuǎn)化能力，不過此類題的求解較為簡單.例1對于平面上的點集，如果連接中任意兩點的線段必定包含于，則稱為平面上的凸集，給出平面上4個點集的圖形如下（陰影區(qū)域及其邊界）：其中為凸集的是（寫出所有凸集相應圖形的序號）.點撥：此題給出凸集這樣一個新概念，需對此新定義理解，對照定義驗證各個選項.解：在各個圖形中任選兩點構(gòu)成線段，看此線段是否包含于此圖形，可以在邊界上，故選②③.易錯點：忽略=4\*GB3④是由兩個圓構(gòu)成一個整體圖形，從兩個圓上各取一點構(gòu)成的線段不包含于此圖形，易誤選=4\*GB3④.例6若數(shù)列滿足：對任意的，只有有限個正整數(shù)使得成立，記這樣的的個數(shù)為，則得到一個新數(shù)列．例如，若數(shù)列是，則數(shù)列是．已知對任意的，，則，．點撥：此題定義了一個新數(shù)列，應透過復雜的符號理解簡單的定義，并嚴格依照定義進行正確推理，尋找規(guī)律，大膽猜想.解：因為，而，所以m=1,2,所以2.因為所以＝1,＝4，＝9，＝16，猜想.易錯點：容易對定義不理解導致思路受阻，或理解錯誤導致解錯.【題型四】組合型給出若干個論斷要求學生將其重新組合，使其構(gòu)成符合題意的命題.解這類題，就要求學生對所學的知識點間的關系有透徹的理解和掌握，通過對題目的閱讀、理解、分析、比較、綜合、抽象和概括，用歸納、演繹、類比等推理方法準確地闡述自己的觀點，理清思路，進而完成組合順序.例7是兩個不同的平面，是平面及之外