微分幾何讀書報告

評爵學(xué)院XUCHANGUNIVERSITY《微分幾何》學(xué)院：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院姓名：蔣旭輝學(xué)號：0501090132專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（教育方向）《微分兒何》之我想剛開始接觸《微分幾何》學(xué)時，對它一點(diǎn)兒也不了解，總覺得它離我的學(xué)習(xí)和生活特別遙遠(yuǎn)。當(dāng)我認(rèn)認(rèn)真真學(xué)習(xí)了它之后才發(fā)現(xiàn)：原來它一點(diǎn)兒也不難學(xué)，從某種意義上來講，它還特別有趣。接下來我想先談一談微分凡何的歷史?！段⒎謳缀巍肥且婚T歷史悠久的學(xué)科，它的產(chǎn)生和發(fā)展是和數(shù)學(xué)分析密切相連的。在這方面第一個做出貢獻(xiàn)的是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉。1736年他首先引進(jìn)了平面曲線的內(nèi)在坐標(biāo)這一概念，即以曲線弧長這一兒何量作為曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，從而開始了曲線的內(nèi)在兒何的研究。也可以這樣說，微積分誕生時就同時誕生了微分凡何，而且它對數(shù)學(xué)其他各分支學(xué)科的影響也越來越大。與此同時，這門學(xué)科本身不管從內(nèi)容上還是從方法上也在不斷更新。十九世紀(jì)初，法國數(shù)學(xué)家蒙日首先把微積分應(yīng)用到曲線和曲面的研究中去，并于1807年出版了他的《分析在兒何學(xué)上的應(yīng)用》一書，這是微分兒何最早的一本著作。在這些研究中，可以看到力學(xué)、物理學(xué)與工業(yè)的日益增長的要求是促進(jìn)微分幾何發(fā)展的因素。1827年，高斯發(fā)表了《關(guān)于曲面的一般研究》的著作，這在微分幾何的歷史上有重大的意義，它的理論奠定了現(xiàn)代形式曲面論的基礎(chǔ)。微分兒何發(fā)展經(jīng)歷了150年之后，高斯抓住了微分凡何中最重要的概念和帶根本性的內(nèi)容，建立了曲面的內(nèi)在兒何學(xué)。其主要思想是強(qiáng)調(diào)了曲面上只依賴于第一基本形式的一些性質(zhì)，例如曲面上曲面的長度、兩條曲線的夾角、曲面上的一區(qū)域的面積、測地線、測地線曲率和總曲率等等。他的理論奠定了近代形式曲面論的基礎(chǔ)。1872年克萊因在德國埃爾朗根大學(xué)作就職演講時，闡述了《埃爾朗根綱領(lǐng)》，用變換群對已有的兒何學(xué)進(jìn)行了分類。在《埃爾朗根綱領(lǐng)》發(fā)表后的半個世紀(jì)內(nèi)，它成了凡何學(xué)的指導(dǎo)原理，推動了凡何學(xué)的發(fā)展，導(dǎo)致了射影微分幾何、仿射微分凡何、共形微分凡何的建立。特別是射影微分兒何起始于1878年阿爾方的學(xué)位論文，后來1906年起經(jīng)以威爾辛斯基為代表的美國學(xué)派所發(fā)展，1916年起乂經(jīng)以富比尼為首的意大利學(xué)派所發(fā)展。隨后，由于黎曼兀何的發(fā)展和愛因斯坦廣義相對論的建立，微分凡何在黎曼幾何學(xué)和廣義相對論中得到了廣泛的應(yīng)用，逐漸在數(shù)學(xué)中成為獨(dú)具特色、應(yīng)用廣泛的獨(dú)立學(xué)科。編輯本段基本內(nèi)容微分兒何學(xué)以光滑曲線（曲面）作為研充對象，所以整個微分兒何學(xué)是由曲線的弧線長、曲線上一點(diǎn)的切線等概念展開的。既然微分兒何是研究一般曲線和一般曲面的有關(guān)性質(zhì)，則平面曲線在一點(diǎn)的曲率和空間的曲線在一點(diǎn)的曲率等，就是微分兒何中重要的討論內(nèi)容，而要計算曲線或曲面上每一點(diǎn)的曲率就要用到微分的方法。在曲面上有兩條重要概念，就是曲面上的距離和角。比如，在曲面上由一點(diǎn)到另一點(diǎn)的路徑是無數(shù)的，但這兩點(diǎn)間最短的路徑只有一條，叫做從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的測地線。在微分兒何里，要討論怎樣判定曲面上一條曲線是這個曲面的一條測地線，還要討論測地線的性質(zhì)等。另外，討論曲面在每一點(diǎn)的曲率也是微分幾何的重要內(nèi)容。在微分兒何中，為了討論任意曲線上每一點(diǎn)鄰域的性質(zhì)，常常用所謂“活動標(biāo)形的方法”。對任意曲線的“小范圍”性質(zhì)的研究，還可以用拓?fù)渥儞Q把這條曲線“轉(zhuǎn)化”成初等曲線進(jìn)行研究。在微分兒何中，由于運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論，就可以在無限小的范圍內(nèi)略去高階無窮小，一些復(fù)雜的依賴關(guān)系可以變成線性的，不均勻的過程也可以變成均勻的，這些都是微分兀何特有的研究方法。近代由于對高維空間的微分凡何和對曲線、曲面整體性質(zhì)的研究，使微分兒何學(xué)同黎曼幾何、拓?fù)鋵W(xué)、變分學(xué)、李群代數(shù)等有了密切的關(guān)系，這些數(shù)學(xué)部門和微分兒何互相滲透，己成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的中心問題之一。微分幾何在力學(xué)和一些工程技術(shù)問題方面有廣泛的應(yīng)用，比如，在彈性薄殼結(jié)構(gòu)方面，在機(jī)械的齒輪嚙合理論應(yīng)用方面，都充分應(yīng)用了微分凡何學(xué)的理論。應(yīng)用微分學(xué)來研究三維歐兒里得空間中的曲線、曲面等圖形性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支。差不多與微積分學(xué)同時起源于17世紀(jì)。單變量函數(shù)的幾何形象是一條曲線，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是曲線切線的斜率。函數(shù)的積分在兒何上則可理解為一曲線下的面積等等。這種把微積分應(yīng)用于曲線、曲面的研究，實(shí)質(zhì)上就是微分幾何學(xué)的開端。L.歐拉、G.蒙日、J.L.拉格朗日以及A.-L.柯西等數(shù)學(xué)家都曾為微分兒何學(xué)的發(fā)展作出過重要貢獻(xiàn)。與此同時，曲而內(nèi)蘊(yùn)兒何等嶄新的思想也在不斷地產(chǎn)生并積累著。在此基礎(chǔ)上，C.F.高斯奠定了曲面論基礎(chǔ)，并使微分凡何學(xué)成為一門新的數(shù)學(xué)分支。按F.克萊因變換群凡何的分類方法來看，微分凡何學(xué)應(yīng)屬于運(yùn)動群，所以也稱為運(yùn)動兒何學(xué)或初等微分幾何學(xué)。微分兒何學(xué)的研究對數(shù)學(xué)其他分支以及力學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)等的影響是不可估量的。如：偽球面上的兒何與非歐兒何有密切關(guān)系；測地線和力學(xué)、變分學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等有著深刻的聯(lián)系，是內(nèi)容豐富的研究課題。這方面有以J.阿達(dá)馬、H.龐加萊等人為首的優(yōu)異研究。極小曲面是和復(fù)變函數(shù)論、變分學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)關(guān)系極為深刻的研充領(lǐng)域，K.魏爾斯特拉斯、J.道格拉斯等人作出過卓越貢獻(xiàn)。微分兒何學(xué)的研充工具大部分是微積分學(xué)。力學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)以及技術(shù)和工業(yè)的日益增長的要求則是微分兒何學(xué)發(fā)展的重要因素。盡管微分凡何學(xué)主要研究三維歐幾里得空間中的曲線、曲面的局部性質(zhì)，但它形成了現(xiàn)代微分兒何學(xué)的基礎(chǔ)則是毋庸置疑的。因為依賴于圖形的直觀性及由它進(jìn)行類推的方法，即使在今天也未失其重要性。講完了微分幾何的歷史，我們再來看一下我所學(xué)習(xí)的微分兒何。我學(xué)的微分幾何一共有四章。第一章是曲線論，它包括三小節(jié)內(nèi)容：1,向量函數(shù)，2,曲線的概念,3,空間曲線。這些雖然特別簡單，但它卻是微分兒何的基礎(chǔ)。學(xué)好這一章的內(nèi)容對以后的學(xué)習(xí)是特別有幫助的。第二章是曲面論，它包括七小節(jié)內(nèi)容：1,曲面的概念，2,曲面的第一基本形式，3,曲面的第二基本形式，4,直紋面和可展曲面，5,曲面論的基本定理，6,曲面上的測地線，7,常高斯曲率的曲面。這一章是我們學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。學(xué)好了本章內(nèi)容，對微分兒何就算是入門了。第三章是外微分形式和活動框架。它包括三小節(jié)內(nèi)容：1,外微分形式，2,活動框架，3,用活動框架法研究曲面。這一章內(nèi)容是對微分凡何更深一層的理解與學(xué)習(xí)。第四章是整體微分兒何初步，它包括四小節(jié)內(nèi)容：1,平面曲線的整體性質(zhì)，2,空間曲線的整體性質(zhì)，3,曲面的整體性質(zhì)，4,完備曲面的比較定理。這一章是我們學(xué)習(xí)微分凡何的最后一章