全國高考數(shù)學一輪復習-橢圓知識點總結(jié)

全國高考數(shù)學一輪復習-橢圓知識點總結(jié)橢圓知識點知識點一：橢圓的定義橢圓是平面內(nèi)一個動點P到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(PF1+PF2=2a>F1F2)時，動點P的軌跡。這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距。需要注意的是，若PF1+PF2=F1F2，則動點P的軌跡為線段F1F2；若PF1+PF2<F1F2，則動點P的軌跡無圖形。知識點二：橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的標準方程為x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)或y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)，它具有以下幾何性質(zhì)：1.焦點：F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)或F1(0,-c)，F(xiàn)2(0,c)，其中c為焦距，即F1F2的長度。2.范圍：x≤a，y≤b。3.對稱性：橢圓關(guān)于x軸、y軸和原點對稱。4.頂點：(±a,0)，(0,±b)或(0,±a)，(±b,0)。5.軸長：長軸長=2a，短軸長=2b。6.離心率：e=c/a(0<e<1)，其中c為焦距。7.焦距性質(zhì)：點P在橢圓上，有AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2b，其中A、B分別為橢圓上的兩點，F(xiàn)1、F2為焦點。需要注意的是，橢圓的性質(zhì)分為與坐標系無關(guān)的橢圓本身固有的性質(zhì)和與坐標系有關(guān)的性質(zhì)，如頂點坐標、焦點坐標等。知識點三：橢圓相關(guān)計算1.橢圓標準方程中的三個量a、b、c的幾何意義為：a為長半軸，b為短半軸，c為焦距。2.通徑：過焦點且垂直于長軸的弦，其長為2a。3.最大角：設p是橢圓上一點，當p是橢圓的短軸端點時，∠F1PF2為最大角。4.焦點三角形：橢圓上一點和兩個焦點構(gòu)成的三角形稱為焦點三角形。5.焦點三角形的面積可用海倫公式求解。6.求橢圓標準方程的步驟為待定系數(shù)法，具體包括：(1)根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在x軸上還是在y軸上；(2)設方程并代入條件，解出待定系數(shù)。2.在無法確定焦點位置的情況下，也可以設$mx^2+ny^2=1$（其中$m>0$，$n>0$且$m\neqn$）。接下來，根據(jù)已知條件建立關(guān)于$a$、$b$、$c$或$m$、$n$的方程組。解方程組，并代入所設方程即可得到所求解。6.對于點與橢圓的位置關(guān)系，當$x^2/a^2+y^2/b^2<1$時，點在橢圓內(nèi)；當$x^2/a^2+y^2/b^2=1$時，點在橢圓上；當$x^2/a^2+y^2/b^2>1$時，點在橢圓外。7.設直線方程為$y=kx+m$，若將直線與橢圓方程聯(lián)立并消去$y$，則可得到關(guān)于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（其中$a\neq0$）。接下來，解方程并計算$\Delta$。當$\Delta>0$時，直線與橢圓有兩個公共點；當$\Delta=0$時，直線與橢圓有一個公共點；當$\Delta<0$時，直線與橢圓無公共點。8.弦長公式指的是，若直線$l:y=kx+b$與圓錐曲線相交于點$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，則弦長$AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+k^2(x_1-x_2)^2}=\sqrt{1+k^2}(x_1-x_2)=\sqrt{1+k^2}(x_1+x_2-2x_1x_2)$。9.點差法是求解圓錐曲線問題中求直線與圓錐曲線相交所截線段中點坐標的一種方法。步驟如下：首先設直線和圓錐曲線交點為$(x,y)$，然后將$(x,y)$分別代入圓錐曲線的解析式，并作差，利用平方差公式對結(jié)果進行因式分解。其結(jié)果為$m(x_1-x_2)(x_1+x_2)+n(y_1-y_2)(y_1+y_2)=3$。接下來，利用求出的直線斜率代入點斜式求出直線方程。點差法常用于解決涉及弦中點的問題，通常會更加簡單。10.參數(shù)方程為$\begin{cases}x=a\cos\theta\\y=b\sin\theta\end{cases}$（其中$\theta$為參數(shù)），其幾何意義為離心角。11.求解橢圓切線的方法有兩種：一種是已知切點$(x,y)$，此時切線方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，則切線方程為$y=kx\pma^2k^2+b^2$；另一種是已知切線斜率$k$，此時切線方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，則切線方程為$y=kx\pmb^2k^2+a^2$。1.焦半徑的定義和求法：橢圓是一個重要的幾何圖形，它有許多特殊的性質(zhì)。其中，焦半徑是指橢圓上某一點到其兩個焦點的距離之和。根據(jù)橢圓的定義，我們可以利用以下公式求解焦半徑：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)焦半徑的求解方法為：r=a±e*x(加減由長短決定)，其中e為橢圓的離心率，x為點到橢圓長軸的距離。2.離心率的求法：離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)之一，它可以用來描述橢圓的形狀。求解橢圓的離心率有兩種方法：方法一：利用橢圓的定義式，即(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1，求解出橢圓的長軸a和短軸b，然后利用公式e^2=1-(b^2/a^2)求解離心率e。方法二：利用橢圓焦點和直線的關(guān)系，即e=c/a，其中c為橢圓的焦距，a為橢圓的長軸。3.焦點三角形的周長和面積的求法：焦點三角形是指橢圓上任意一點和其兩個焦點所構(gòu)成的三角形。利用定義可以求解焦點三角形的周