專題4-5函數(shù)y=Asin(ωxφ)及其應(yīng)用10大考點(diǎn)

專題4-5函數(shù)y=Asin(ωx+φ)及其應(yīng)用10大考點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念y＝Asin(ωx＋φ)振幅周期頻率相位初相(A>0，ω>0)AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φeq\a\vs4\al(φ)知識(shí)點(diǎn)二用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找的五個(gè)特征點(diǎn)，如下表所示ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)y＝Asin(ωx＋φ)0eq\a\vs4\al(A)0－A0知識(shí)點(diǎn)三由函數(shù)y＝sinx的圖象通過(guò)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種方法一、確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步驟和方法1、求A，b：確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝eq\f(M－m,2)，b＝eq\f(M＋m,2).2、求ω：確定函數(shù)的周期T，則可得ω＝eq\f(2π,T).3、求φ：常用的方法有代入法和五點(diǎn)法．（1）代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)A，ω，b已知)或代入圖象與直線y＝b的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)是在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)．（2）五點(diǎn)法：確定φ值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的某一個(gè)點(diǎn)為突破口．二、三角函數(shù)圖象的變換函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，參數(shù)A，ω，φ，k的變化引起圖象的變換：（1）A的變化引起圖象中振幅的變換，即縱向伸縮變換；（2）ω的變化引起周期的變換，即橫向伸縮變換；（3）φ的變化引起左右平移變換，k的變化引起上下平移變換．圖象平移遵循的規(guī)律為：“左加右減，上加下減”．【注意】（1）平移變換和伸縮變換都是針對(duì)x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值；（2）余弦型、正切型函數(shù)的圖象變換過(guò)程與正弦型函數(shù)的圖象變換過(guò)程相同。三、已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的思路1、這類題一般明確地指出了周期現(xiàn)象滿足的變化規(guī)律，例如，周期現(xiàn)象可用形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b的函數(shù)來(lái)刻畫，只需根據(jù)已知條件確定參數(shù)，求解函數(shù)解析式，再將題目涉及的具體的數(shù)值代入計(jì)算即可．2、三角函數(shù)模型中函數(shù)解析式的應(yīng)用主要是對(duì)相關(guān)量物理意義的考查．考點(diǎn)一由函數(shù)圖象確定解析式【例1】（2023秋·廣東深圳·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中A，B兩點(diǎn)之間的距離為5，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由A，B兩點(diǎn)之間的距離為5，A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為4，所以A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差為所以函數(shù)的半個(gè)周期，所以，則.故選：B【變式1-1】（2020秋·陜西漢中·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由圖象可知，，得，當(dāng)時(shí)，，得，又,當(dāng)時(shí)，.故選：C【變式1-2】（2023春·陜西·高三安康中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由圖象可知.因?yàn)?，所以，又及結(jié)合圖象可知.因?yàn)?，所以由五點(diǎn)法作圖可知，解得.因?yàn)?，所以，?又，所以，從而，因此.故選：C.【變式1-3】（2023秋·海南·高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）的部分圖象如圖所示．則的表達(dá)式可以是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】由圖像可知，所以，又因?yàn)椋?，結(jié)合函數(shù)圖像五點(diǎn)法可知，當(dāng)解得：即，正余弦三角恒等轉(zhuǎn)化故選：AC【變式1-4】（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）如圖是函數(shù)的部分圖象，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】設(shè)，則的最小正周期為：，所以，因?yàn)榈淖畲笾禐?，最小值為，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，故A正確，，故B不正確；，故D正確；，故C不正確.故選：AD.考點(diǎn)二同名函數(shù)間的圖象變換【例2】（2023秋·黑龍江雙鴨山·高三雙鴨山一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）為了得到的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A．每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變得，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得.故選：D【變式2-1】（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，則要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向左平移個(gè)單位B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位D．向右平移個(gè)單位【答案】C【解析】因?yàn)?，所以要得到函?shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位即可，故選：C.【變式2-2】（2023秋·江西·高三校聯(lián)考期末）要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】C【解析】，將向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到的圖象.故選：C.【變式2-3】（2023·全國(guó)·校聯(lián)考二模）要得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【解析】，把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到，滿足要求，A正確，其他選項(xiàng)均不合要求.故選：A【變式2-4】（2023春·重慶·高三巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）要得到函數(shù)的圖象，只需將圖象上的所有點(diǎn)（）A．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再向左平移個(gè)單位B．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再向左平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位，再把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍D．向右平移個(gè)單位，再把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的【答案】AC【解析】將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸出為原來(lái)的2倍，得到，再將上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到，所以A正確，B錯(cuò)誤；將函數(shù)上各點(diǎn)左平移個(gè)單位，得到，再將上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到，所以C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.考點(diǎn)三異名函數(shù)間的圖象變換【例3】（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）要得到的圖像，只要將的圖像（）A．向左平移個(gè)單位B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位D．向右平移個(gè)單位【答案】C【解析】函數(shù)向左平移個(gè)單位后得到，故選：C.【變式3-1】（2023秋·吉林·高三長(zhǎng)春第十七中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）為了得到函數(shù)的圖象，需將函數(shù)的圖象（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】易知，，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象.故選：D．【變式3-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，將函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)下列哪種可以與的圖象重合（）A．向左平移個(gè)單位B．向左平移個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位D．向右平移個(gè)單位【答案】C【解析】，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位：；故選：C【變式3-3】（2023春·河南·高三新安縣第一高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)的圖象，則的最小正值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題知，，且，，即，解得，當(dāng)時(shí)，取得最小正值，.故選：C.【變式3-4】（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線，則下面結(jié)論正確的是（）A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2B．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C2D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2【答案】C【解析】曲線，把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，可得的圖象；再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到曲線的圖象.故選：C.考點(diǎn)四求圖象變換前(后)的解析式【例4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)都向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把得到的曲線圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】將圖象上所有的點(diǎn)都向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線，再把得到的曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象.故選：A【變式4-1】（2023·廣西·統(tǒng)考一模）把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函數(shù)的圖象向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到函數(shù)．故選：A．【變式4-2】（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意可設(shè)，則函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)則，所以，故，根據(jù)選項(xiàng)可知時(shí)，，故C正確；故選：C【變式4-3】（2023春·湖南·高三衡陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）（多選）把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），最后把所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則的解析式可以為（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】把函數(shù)的圖象,向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的圖象,再把所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變),得到的圖象,最后把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍(縱坐標(biāo)不變),得到的圖象.而.故選：BD.【變式4-4】（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)圖象的相鄰的對(duì)稱軸之間的距離為2，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度﹐再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍﹐縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，由題意知，最小正周期，又，所以，所以；將的圖象向右平移個(gè)個(gè)單位后，得到的圖象，再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，所以.故選：D考點(diǎn)五圖象變換前后的重合問(wèn)題【例5】（2023·陜西·西安大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到，則，解得，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：C.【變式5-1】（2022秋·河南南陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）若將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)周期后，與函數(shù)的圖像重合，則的一個(gè)可能取值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，周期，函數(shù)的圖像向右平移個(gè)周期后，得函數(shù)的圖像，而，由題意，，令，得，故A錯(cuò)誤；令，得，故B錯(cuò)誤；令，得，故C正確；令，得，故D錯(cuò)誤.故選：C.【變式5-2】（2023秋·浙江·高三麗水中學(xué)校聯(lián)考期末）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象與原圖象重合，則的最小值為（）A．2B．3C．4D．6【答案】B【解析】由題有，則，得，結(jié)合，得.故選：B【變式5-3】（2022·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考三模）（多選）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象與圖象重合，則的值可以為（）A．-4B．8C．12D．16【答案】BD【解析】由題意得，由于函數(shù)的圖象與圖象重合，故，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由于k取整數(shù)，故不會(huì)取到-4或12，故選：BD【變式5-4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖象與原圖象重合，則的最小值為.【答案】3【解析】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象，由于所得函數(shù)的圖象與原圖象重合，故，所以，當(dāng)時(shí)，的最小值為3.故答案為：3.【變式5-5】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與其導(dǎo)函數(shù)的圖象重合，則的值為（）A．0B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，而函?shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，由題意得，所以,解得且，所以，故選：D考點(diǎn)六由圖象變換研究函數(shù)的性質(zhì)【例6】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)圖象在區(qū)間上單調(diào)遞減，則m的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】將函數(shù)的圖象向左平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到，其減區(qū)間滿足:，即，所以函數(shù)的減區(qū)間為又在區(qū)間上單調(diào)遞減，則則且,即且，所以，的最小值為：.故選：C.【變式6-1】（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到，令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A【變式6-2】（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃⒑瘮?shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，將函?shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)的圖象，由題意可知，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，，所以，，因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，取最小值.故選：A.【變式6-3】（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則.【答案】【解析】因?yàn)?，就函?shù)圖象向右平移個(gè)單位后得到，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，，因?yàn)?，所以的值?故答案為：.【變式6-4】（2023·陜西·高三師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，變?yōu)?，因的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以為偶函數(shù)，所以，,即，,因，所以，故當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)取得最小值為，故選：B【變式6-5】（2022秋·廣西桂林·高三?？茧A段練習(xí)）已知將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像，若的圖像都關(guān)于對(duì)稱，則的最小值為（）A．2B．3C．4D．6【答案】B【解析】將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，若和的圖像都關(guān)于對(duì)稱，則和的圖像都關(guān)于軸對(duì)稱，而，，所以且，，即，，又，所以的最小值為3．故選：B．【變式6-6】（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（選）把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（）A．在上單調(diào)遞減B．在上有2個(gè)零點(diǎn)C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緽C【解析】把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象；再把所得曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，時(shí)，，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；令，得，即，因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)椋曰?，所以在上?個(gè)零點(diǎn)，故B正確；因?yàn)椋瑸榈淖畲笾?，所以直線是的圖象的一條對(duì)稱軸，故C正確；當(dāng)時(shí)，，，故D錯(cuò)誤.故選：BC考點(diǎn)七三角函數(shù)圖象性質(zhì)綜合應(yīng)用【例7】（2023秋·黑龍江鶴崗·高三鶴崗一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.該圖象與y軸交于點(diǎn)，與x軸交于B，C兩點(diǎn)，D為圖象的最高點(diǎn)，且的面積為.（1）求的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間.（2）若將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.若，求的值.【答案】（1），；（2）【解析】（1）由題意，函數(shù)，可得的高為2，的面積為，即，可得，則，圖象與y軸交于點(diǎn)，可得，即，故的解析式為令解得故的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，可得函數(shù)由即，則，所以.【變式7-1】（2022秋·遼寧丹東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，（1）求的解析式；（2）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；【答案】（1）；（2）【解析】（1）函數(shù)，整理得：，由于相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，故函數(shù)的最小正周期為π，故．所以．（2）函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像，由于，故；所以．【變式7-2】（2022秋·福建福州·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得最值，其中．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若方程在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1），因?yàn)樵谔幦〉米钪?，所以，即，因?yàn)椋援?dāng)k＝0時(shí)，，則，所以．（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍，縱坐標(biāo)不變，得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，，因?yàn)榉匠淘谏嫌薪?，所以在上有解，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍為．【變式7-3】（2022秋·湖北黃岡·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）函數(shù)（其中，，）的部分圖像如圖所示，把函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）對(duì)于，是否總存在唯一的實(shí)數(shù)，使得成立？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值或取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為（）；（2）存在，【解析】（1）由函數(shù)圖像可知，，，∴，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，由得，∴.由，得由，解得，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）（2）由，得，由得，∴，∴，又，得，所以，由的唯一性可得：即，由，得，解得，所以當(dāng)時(shí)，使成立.【變式7-4】（2022秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)）在某一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)圖象列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表xx30000（1）求出的解析式，并寫出上表中的x1；（2）將的圖象向右移個(gè)單位得到的圖象，若總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1），；（2）【解析】（1）由題意，，解得，所以，；（2）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到的圖象，所以，所以若總存在，使得成立即為總存在，使得成立，設(shè)，則，且在有解，令，，當(dāng)，即時(shí)，，所以；當(dāng)，即時(shí)，，所以，與相矛盾，舍去.綜上，.【變式7-5】（2023·陜西安康·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.當(dāng)時(shí)，方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍以及的值.【答案】（1）；（2），【解析】（1）由圖示得：，解得：，又，所以，所以，所以.又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，即，所以，解得，又，所以，所以.（2）圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到，當(dāng)時(shí)，，令，則，令，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，,所以時(shí)，.當(dāng)時(shí)，方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.因?yàn)橛腥齻€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，則，兩式相加得：，即，所以.考點(diǎn)八三角函數(shù)在幾何中的應(yīng)用【例8】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了研究鐘表秒針針尖的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)秒針針尖位置為點(diǎn)．若初始位置為點(diǎn)，秒針從（規(guī)定此時(shí)）開(kāi)始沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y，，則時(shí)t的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為，由題意可得，初始位置為，即初相為，故可得，，則，．又函數(shù)周期是60（秒）且秒針按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，即，所以，即，．令，則，解得．故選：B【變式8-1】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理．如圖，一個(gè)半徑為4m的筒車按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)2圈，筒車的軸心O距離水面的高度為2m．設(shè)筒車上的某個(gè)盛水桶P到水面的距離為d（單位：m）（在水面下記d為負(fù)數(shù)），若從盛水筒P剛浮出水面時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，則（）A．當(dāng)筒車轉(zhuǎn)動(dòng)5秒時(shí)，盛水桶距離水面4mB．盛水桶出水后至少經(jīng)過(guò)10秒就可到達(dá)最高點(diǎn)C．盛水桶第二次距離水面4m時(shí)用時(shí)15秒D．盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面【答案】ABC【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于水面為軸，垂直于水面為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則m，則，故，筒車按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)2圈，故筒車轉(zhuǎn)1圈的時(shí)間為30秒，即，解得，因?yàn)?，故?dāng)秒時(shí)，筒車第一次到達(dá)最高點(diǎn)，此時(shí)，故B正確；同理可得，當(dāng)秒時(shí)，筒車第一次到達(dá)最低點(diǎn)，此時(shí)，設(shè)，則，解得，故，又當(dāng)時(shí)，，故，解得，取，故，A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)筒車轉(zhuǎn)動(dòng)5秒時(shí)，盛水桶距離水面4m，A正確；C選項(xiàng)，令，當(dāng)時(shí)，盛水桶第二次距離水面4m，解得，故盛水桶第二次距離水面4m時(shí)用時(shí)15秒，C正確；D選項(xiàng)，令，解得，，故盛水桶入水后至少需要10秒才可浮出水面，D錯(cuò)誤.故選：ABC【變式8-2】（2022秋·安徽合肥·高三?？茧A段練習(xí)）水車是一種利用水流的動(dòng)力進(jìn)行灌溉的工具，工作示意圖如圖所示．設(shè)水車(即圓周)的直徑為米，其中心（即圓心）到水面的距離為米，逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)一圈的時(shí)間是秒．水車邊緣上一點(diǎn)距水面的高度為單位；米，水車逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)間為單位：秒當(dāng)點(diǎn)在水面上時(shí)高度記為正值；當(dāng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到水面以下時(shí)，點(diǎn)距水面的高度記為負(fù)值．過(guò)點(diǎn)向水面作垂線，交水面于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)從水車與水面交于點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，設(shè)，水車逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)秒轉(zhuǎn)動(dòng)的角的大小記為．（1）求與的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)雨季來(lái)臨時(shí)，河流水量增加，點(diǎn)到水面的距離減少了米，求的大小精確到；（3）若水車轉(zhuǎn)速加快到原來(lái)的倍，直接寫出與的函數(shù)解析式．參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）依題意，設(shè)，，，有，，則，由給定的圖形知，，是銳角，即有，，，解得，所以與的函數(shù)解析式是；（2）河水上漲米，水面仍在圓心O的下方，則有，所以；（3）水車轉(zhuǎn)速加快到原來(lái)的倍，則周期變?yōu)樵瓉?lái)的一半，即，，所以與的函數(shù)解析式．【變式8-3】（2023·廣東·珠海市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢的往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周的景色（如圖1）某摩天輪的最高點(diǎn)距離地面的高度為90米，最低點(diǎn)距離地面10米，摩天輪上均勻設(shè)置了36個(gè)座艙（如圖2），開(kāi)啟后摩天輪按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，游客在座艙離地面最近時(shí)的位置進(jìn)入座艙，摩天輪轉(zhuǎn)完一周后在相同的位置離開(kāi)座艙摩天輪轉(zhuǎn)一周需要30分鐘，當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開(kāi)始計(jì)時(shí)．

（1）經(jīng)過(guò)t分鐘后游客甲距離地面的高度為H米，已知H關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式滿足（其中），求摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的解析式；（2）問(wèn)：游客甲坐上摩天輪后多長(zhǎng)時(shí)間，距離地面的高度恰好為30米？【答案】（1）（2）游客甲坐上摩天輪5分鐘或25分鐘時(shí)，距離地面的高度恰好為30米【解析】（1）由題意知：，解得，因?yàn)?，且，解得，故，又因?yàn)?，整理得，且，則，因此，即.（2）令，可得，因?yàn)?，則，所以或，解得或25，故游客甲坐上摩天輪5分鐘或25分鐘時(shí)，距離地面的高度恰好為30米．【變式8-4】（2023春·上?！じ呷嗥指呒?jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一年之計(jì)在于春，春天正是播種的好季節(jié)．小林的爺爺對(duì)自己的一塊正方形菜園做了一些計(jì)劃．如圖，是邊長(zhǎng)為米的正方形菜園，扇形區(qū)域計(jì)劃種植花生，矩形區(qū)域計(jì)劃種植蔬菜，其余區(qū)域計(jì)劃種植西瓜．分別在上，在弧上，米，設(shè)矩形的面積為（單位：平方米）．（1）若，請(qǐng)寫出（單位：平方米）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）平方米【解析】（1）延長(zhǎng)交于，則米，米，則米，米，.（2）由（1）得：，令，則，，，，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，矩形面積的最小值為平方米．【變式8-5】（2023秋·浙江寧波·高三期末）如圖，是一個(gè)邊長(zhǎng)為的有部分腐蝕的正方形鐵皮，其中腐蝕部分是一個(gè)半徑為的扇形，其他部分完好可利用.鐵匠師傅想在未被腐蝕部分截下一個(gè)長(zhǎng)方形鐵皮（是圓弧上的一點(diǎn)），以用于制作其他物品.（1）當(dāng)長(zhǎng)方形鐵皮為正方形時(shí)，求此時(shí)它的面積；（2）求長(zhǎng)方形鐵皮的面積的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）連接，設(shè)，延長(zhǎng)交于E，當(dāng)長(zhǎng)方形鐵皮為正方形時(shí)，顯然，此時(shí)，所以；（2）由（1）設(shè)，得所以，其中，，令，則，所以，因?yàn)椋?，所以，所以?dāng)時(shí)，得，即長(zhǎng)方形鐵皮的面積的最大值為.考點(diǎn)九三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用【例9】（2022秋·江西贛州·高三校聯(lián)考期中）在西雙版納熱帶植物園中有一種原產(chǎn)于南美熱帶雨林的時(shí)鐘花，其花開(kāi)花謝非常有規(guī)律.有研究表明，時(shí)鐘花開(kāi)花規(guī)律與溫度密切相關(guān)，時(shí)鐘花開(kāi)花所需要的溫度約為，但當(dāng)氣溫上升到時(shí)，時(shí)鐘花基本都會(huì)凋謝.在花期內(nèi)，時(shí)鐘花每天開(kāi)閉一次.已知某景區(qū)有時(shí)鐘花觀花區(qū)，且該景區(qū)6時(shí)時(shí)的氣溫（單位：）與時(shí)間（單位：小時(shí)）近似滿足函數(shù)關(guān)系式，則在6時(shí)時(shí)中，觀花的最佳時(shí)段約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A．時(shí)時(shí)B．時(shí)時(shí)C．時(shí)時(shí)D．時(shí)時(shí)【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增.設(shè)花開(kāi)?花謝的時(shí)間分別為.由，得，解得時(shí)；由，得，解得時(shí).故在6時(shí)時(shí)中，觀花的最佳時(shí)段約為時(shí)時(shí).故選：C【變式9-1】（2023春·湖北·高三華中師大一附中?？计谥校ǘ噙x）科學(xué)研究已經(jīng)證實(shí)：人的智力、情緒和體力分別以天、天和天為周期，均可按進(jìn)行變化．記智力曲線為，情緒曲線為，體力曲線為，則（）A．第天時(shí)情緒曲線處于最高點(diǎn)B．第天到第天時(shí)，智力曲線與情緒曲線不相交C．第天到第天時(shí)，體力曲線處于上升期D．體力曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】AC【解析】設(shè)人的智力曲線、情緒曲線和體力曲線用，，，所以，，.A項(xiàng)：第天時(shí)，，故處于最高點(diǎn)，A正確；B項(xiàng)：設(shè)，因?yàn)?，，故利用零點(diǎn)存在定理可得存在，使得，故此時(shí)智力曲線與情緒曲線相交，B錯(cuò)誤；C項(xiàng)：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以根?jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得此時(shí)單調(diào)遞增，故處于上升期，C正確；D項(xiàng)：因?yàn)?，所以，體力曲線不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，D錯(cuò).故選：AC.【變式9-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）心臟跳動(dòng)時(shí)，血壓在增加或減小血壓的最大值和最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為和，血壓計(jì)上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)值．記某人的血壓滿足函數(shù)式，其中為血壓，t為時(shí)間，其函數(shù)圖像如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）．A．B．收縮壓為C．舒張壓為D．每分鐘心跳80次【答案】BCD【解析】由題圖知，，所以，可得，故選項(xiàng)A不正確；所以，由題圖知在一個(gè)周期內(nèi)最大值為120，最小值為70，所以收縮壓為，舒張壓為，故選項(xiàng)BC正確；每分鐘心跳數(shù)為頻率，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.【變式9-3】（2023·安徽安慶·安慶一中?？寄M預(yù)測(cè)）某港口在一天之內(nèi)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，其中為水深（單位：米），為時(shí)間（單位：小時(shí)），該函數(shù)圖像如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有米的安全間隙（船底與水底的距離），則該船一天之內(nèi)至多能在港口停留多久？【答案】（1）；（2）8小時(shí)【解析】（1）由圖知，，，，所以，將點(diǎn)代入得，結(jié)合解得，所以函數(shù)的解析式.（2）貨船需要的安全水深為米，所以當(dāng)時(shí)貨船可以停留在港口.由得，得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以該船一天之內(nèi)至多能在港口停留小時(shí).【變式9-4】（2022秋·河南·高三安陽(yáng)一中校聯(lián)考階段練習(xí)）某港口水深y（米）是時(shí)間（單位：小時(shí)）的函數(shù)，下表是水深數(shù)據(jù)：t（小時(shí)）03691215182124y（米）根據(jù)上述數(shù)據(jù)描成的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)的圖象．（1）試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出的表達(dá)式；（2）一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于米是安全的，如果某船的吃水度（船底與水面的距離）為7米，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？（忽略離港所用的時(shí)間）【答案】（1）；（2）該船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全進(jìn)港，若欲于當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)16小時(shí)【解析】（1）根據(jù)圖表數(shù)據(jù)可得：，∴，，函數(shù)周期，∴，∴函數(shù)的表達(dá)式為；（2）由題意知：若船舶航行時(shí)船是安全的，則，即，∴，∴，解得，又，∴或.故該船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全進(jìn)港，若欲于當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)16小時(shí)．【變式9-5】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）如圖，某地一天中6~14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足（，，）.（1）求出這段曲線的函數(shù)解析式；（2）某行業(yè)在該地經(jīng)營(yíng)，當(dāng)溫度在區(qū)間之間時(shí)為最佳營(yíng)業(yè)時(shí)間，那么該行業(yè)在6~14時(shí)，最佳營(yíng)業(yè)時(shí)間有多少小時(shí)？【答案】（1），；（2）4（小時(shí)）.【解析】（1）由題圖知，，，得，于是.把，代入上式，得，所以這段曲線的函數(shù)解析式為，；（2）由題意，得，即，解得，，進(jìn)而得，.因?yàn)?，取，得，所以最佳營(yíng)業(yè)時(shí)間有（小時(shí)）.【變式9-6】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某地區(qū)的一種特色水果上市時(shí)間11個(gè)月中，預(yù)測(cè)上市初期和后期會(huì)因供不應(yīng)求使價(jià)格呈連續(xù)上漲態(tài)勢(shì)，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價(jià)格連續(xù)下跌，現(xiàn)有三種價(jià)格模擬函數(shù)：①；②；③（以上三式中均為常數(shù)．）（1）為準(zhǔn)確研究其價(jià)格走勢(shì)，應(yīng)選哪種價(jià)格模擬函數(shù)，為什么？（2）若，求出所選函數(shù)的解析式（注：函數(shù)的定義域是，其中表示1月份，表示2月份，??，以此類推），為保證果農(nóng)的收益，打算在價(jià)格在5元以下期間積極拓寬外銷渠道，請(qǐng)你預(yù)測(cè)該水果在哪幾個(gè)月份要采用外銷策略？【答案】（1）選擇③，理由見(jiàn)解析；（2）應(yīng)在1月份、6月份、7月份、8月份、9月份采用外銷策略．【解析】（1）應(yīng)選，∵①是單調(diào)函數(shù)且不具有先升后降再升的特點(diǎn)，②同樣不具有先升后降再升的特點(diǎn)，③有多個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間和減區(qū)間，具有先升后降再升的特點(diǎn)；（2）由，，所以解得：；所以所以當(dāng)時(shí)，需采用外銷策略，則此時(shí)，即，又，由函數(shù)得在內(nèi)，，得或，即或，即或，又表示1月份，故應(yīng)在1月份、6月份、7月份、8月份、9月份采用外銷策略．考點(diǎn)十三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用【例10】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）三相交流電是我們生活中比較常見(jiàn)的一種供電方式，其瞬時(shí)電流（單位：安培）與時(shí)間（單位：秒）滿足函數(shù)關(guān)系式：（其中為供電的最大電流，單位：安培；表示角頻率，單位：弧度/秒；為初始相位），該三相交流電的頻率（單位：赫茲）與周期（單位：秒）滿足關(guān)系式．某實(shí)驗(yàn)室使用5赫茲的三相交流電，經(jīng)儀器測(cè)得在秒與秒的瞬時(shí)電流之比為，且在秒時(shí)的瞬時(shí)電流恰好為1安培，若，則該實(shí)驗(yàn)室所使用的三相交流電的最大電流為（）A．2