多元統(tǒng)計分析-第三章 多元正態(tài)分布

#D（XIX,X）=16.58<30.53二D（X）2'452D（XX,X）=23.71<39.86二D（X）31453利用條件協(xié)方差陣可以求出X和x的偏相關(guān)系數(shù)。ij定義3.8.：若X(2)給定時，X和X的偏相關(guān)系數(shù)為ijor=j.q+1,…,pij.q+1，…pooii.q+1,…,pj.q+1,…,p例6中，設(shè)X⑵=(X4,X5)，則-0.64r12.45=-0.038<16.7^16.58--0.64r12.45=-0.038<16.7^16.58-3.87r13.45<16.72<23^-0，194r23.4510.71=0.540(二)獨立性定理3.3：設(shè)X=G,…,X)?N(r,工)，工〉0，將X,卩，工做如下剖析1ppX二_X⑴一，卩二r⑴，工二「工11…工1.1kX(k)r（k）k1…工kk其中，X(j):Sx1，卩(j):Sx1，工：SxS(j二1,2,k)，則X⑴,…,X(k)相互獨jjjjjj立，當(dāng)且僅當(dāng)工..二0時，對于一切i豐j。ij第四節(jié)多元正態(tài)分布的參數(shù)估計在多元統(tǒng)計分析中,通常假定被研究的對象服從多元正態(tài)分布，但分布中的參數(shù)卩和Y往往是未知的，一般的做法是通過樣本指標對總體的參數(shù)進行估計。一、多元樣本的概念設(shè)從多元總體中隨機抽取n個個體X,X,…,X，若X,X,…,X相互獨(1)(2)(n)(1)(2)(n)

立，且與總體同分布，則稱X,X,…,X為該總體的一個多兀隨機樣本。每個(1)(2)(n)X=(X,X,…,X)(a=1,2,…,n)稱為一個樣品，X?為第a個樣品對第j個指標(a)a1a2apaj的觀測值，顯然每個樣品都是P維向量，將n個樣品對P個指標都進行觀測，得到如下一個隨機矩陣(觀測矩陣、樣本資料陣)：X=—X11X21X12X22…X—1P…X.2P=-X'「(1)X，(2)XX…XX，n1n2np(n)一旦樣本觀測值取定，隨機矩陣就是一個數(shù)據(jù)矩陣。多兀分析中的很多方法就是運用各種手段從觀測矩陣出發(fā)去提取有關(guān)信息。值得注意的是：1、多元樣本中的每個樣品，對p個指標的觀測值往往是有相關(guān)關(guān)系的，但不同樣品之間的觀測值一定是相互獨立的。2、多元分析所處理的多元樣本觀測數(shù)據(jù)一般都屬于橫截面數(shù)據(jù)，即在同一時間不同空間上的數(shù)據(jù)。二、多元樣本的數(shù)字特征定義3.9：設(shè)X,X，…,X為來自p元總體的樣本，則TOC\o"1-5"\h\z(1)(2)(n)1、樣本均值向量為：X=11X,X，…,X)n(a)i2pa二12、樣本離差陣為：s=工(x-X)(x-Xy(a)(a)pxpa=1(X-(X-X)2

al1_(X-X)(X-X)a22a11(X-X)(X-X)…a11a22(X-X)2…a22(X-X)(X-X)a1_1ap_p(X-X)(X-X)a22appa=1(X-X)(X-Xa=1(X-X)(X-X)1s11s21aps12s22a1s1ps2p(X-X)(X-X)…appa22(X-X)2appsp1sp2spp()jpxp3、樣本協(xié)差陣為：V=1S=1工(XpxV=1S=1工(Xpxpnna=1(a)(a)ijpxp三、卩和工的最大似然估計及基本性質(zhì)通過樣本來估計總體參數(shù)叫參數(shù)估計，參數(shù)估計有各種不同的方法，各有其適用的場合。這里用最常用的且具有很多優(yōu)良性質(zhì)的最大似然法給出卩和工的估計量。設(shè)X,X,…,X來自于正態(tài)總體N(卩，工)樣本容量為n的樣本，每個樣本觀察(1)(2)(n)pp個指標，根據(jù)樣本資料陣，用最大似然估計法求出卩和工的估計量分別為:1

工二亠S

n—1卩和口工的估計量具有如下性質(zhì)1、E(X)=卩，即X是卩的無偏估計；TOC\o"1-5"\h\z1n—11E(—S)=工，即一S不是工的無偏估計,nnnE(」S)=工，即丄S是工的無偏估計；n—1n—12、X、丄rS分別是卩和工的有效估計；n—13、X、-S或丄S分別是卩和工一致估計。nn—1第五節(jié)X和S的抽樣分布一、樣本均值向量X的分布1、正態(tài)總體設(shè)X?N(卩,Z)，X,…X是從總體中抽到的一個樣本，則樣本均值X的分布p(1)(n)服從正態(tài)分布，即X?N(卩丄工)n2、非正態(tài)總體在實際問題中，總體分布能夠作正態(tài)近似的畢竟是少數(shù)，更多的總體分布不能用正態(tài)近似，甚至我們對總體的情況一無所知，這時，可借助中心極限定理，給出X的抽樣分布。

中心極限定理：X…X是來自總體X的一個樣本，該總體有均值卩和有限協(xié)方（1）（n）差陣Z，則當(dāng)樣本容量“很大且n相對于p也很大時，樣本平均數(shù)的分布近似于正態(tài)分布,即X?N（卩，-工）n二、樣本離差陣S的分布樣本均值向量的分布服從正態(tài)分布，樣本離差陣的分布服從怎樣的分布呢？為解決這一問題，現(xiàn)給出維希特（Wishart）分布。維希特分布是統(tǒng)計學(xué)家Wishart在1928年推導(dǎo)出來的，維希特（Wishart）分布是用這位統(tǒng)計學(xué)家的名字命名的。定義3.10：設(shè)X=（XX…，X）'?N（卩，工）（a二1,2,…,n），且（a）a1a2appax、X、、…X，、相互獨立，則由X組成的隨機矩陣：TOC\o"1-5"\h\z（1）（2）（n）（a）W二工XX'（a）（a）a=1的分布稱為非中心Wishart分布，記為：其中，Z=￡卩『,卩=（卩，卩，卩）,卩為非中心參數(shù)，當(dāng)卩=0時稱為中aaaa1a2anaaa=1心Wishart分布，記為W（n,工）。p當(dāng)p=1時，Y=b2，此時有叫（〃,02）=Q2X2（n），可見Wishart分布是X2分布在p維正態(tài)情況下的推廣。Wishart分布的基本性質(zhì)：1、設(shè)X=（X,X,…，X）'?N（R,工）（a=1,2,…,n），且X，…，X（a）a1a2appa（1）（n）相互獨立，則樣本離差陣S=皿相互獨立，則樣本離差陣S=皿a=1(a)-X)(X(a)-X)'?WP(n-1，工)。2、若S?W（n，工）（i=1,…,k），且相互獨立，則￡s?W（￡n，工）iPiipii=1i=13、若X?W（n工）,C為非奇異矩，則CXC'?W（n,C工C'）PppxpPxP第六節(jié)上機操作

利用Excel的宏功能可以很方便的實現(xiàn)隨機向量協(xié)方差陣和相關(guān)系數(shù)矩陣的計算。在利用描述統(tǒng)計宏功能之前，首先要加載“宏”方法是：在Excel的“工具”菜單下，點擊“加載宏”出現(xiàn)加載宏對話框，在該對話框中，用鼠標選擇可用的加載宏，確定后，在“工具”菜單下出現(xiàn)了“數(shù)據(jù)分析”在數(shù)據(jù)分析對話框中，就可以實現(xiàn)隨機向量協(xié)方差陣和相關(guān)系數(shù)矩陣的計算。圖3-1加載宏對話框一、協(xié)方差陣的計算在Excel中實現(xiàn)以本章的例3.4為例加以說明。第一步：在Excel中輸入數(shù)據(jù)。圖3-2數(shù)據(jù)輸入第二步：在“工具”菜單下，單擊“數(shù)據(jù)分析”選項，在出現(xiàn)數(shù)據(jù)分析對話框，如圖3-3所示。圖3-3數(shù)據(jù)分析對話框

第三步：在“分析工具”中選擇“協(xié)方差”，確定后出現(xiàn)如圖3-4的對話框。圖3-4協(xié)方差對話框第四步：在協(xié)方差對話框的“輸入?yún)^(qū)域”輸入數(shù)據(jù)區(qū)域“2：E32”，在輸出選項中選擇“輸出區(qū)域”并輸入“f2”，表示在f2單元格輸出計算結(jié)果。待確定后，即可得出計算結(jié)果如圖3-5所示。圖3-6協(xié)方差的計算結(jié)果二、相關(guān)系數(shù)矩陣的計算在Excel中實現(xiàn)相關(guān)系數(shù)在Excel中實現(xiàn)的步驟如同協(xié)方差陣在Excel中實現(xiàn)，這里從略。三、均值陣（向量）的計算在SPSS中實現(xiàn)利用SPSS數(shù)據(jù)分析軟件計算隨機向量的均值陣的比Excel方便一些。（一）SPSS軟件的簡單介紹。SPSS的數(shù)據(jù)錄入和統(tǒng)計運算有窗口式和編程式兩種。窗口式直觀，與Excel的界面風(fēng)格相同，為一般用戶所熟悉，在這種方式下，可以實現(xiàn)絕大部分的統(tǒng)計運算和處理，后者則為高級用戶所知曉，通過它可以進行更為復(fù)雜或特殊的計算。本書僅在窗口方式下進行操作運算。建立SPSS數(shù)據(jù)文件的第一步就是定義變量，現(xiàn)仍以本章的例3.4為例加以說明。進入SPSS界面后，可以發(fā)現(xiàn)它有DataView（數(shù)據(jù)視窗）和VariableView（變量視窗）兩個界面。單擊VariableView來到變量視窗，如圖3-7。

圖3-7SPSS的變量視窗在Name（變量名稱）下輸入“公司名稱”單擊Type（變量類型），出現(xiàn)如圖3-8的變量類型對話框。圖3-8變量類型對話框在所列的Numeric（數(shù)值型）、Comma（帶逗號的數(shù)值型）、Dot（帶圓點的數(shù)值型）、Scientificnotat（科學(xué)計數(shù)法）、Data（日期型）、Dollar（帶美元符號的數(shù)值型）、Custumcurrency（自定義型）、String（字符串型）中，一般場合多使用Numeric和String。由于公司名稱要用漢字表示，所以，選擇變量是String，按OK即可。而主營業(yè)務(wù)利潤、營業(yè)利潤、利潤總額和凈利潤皆為Numeric的變量類型。圖3-9變量窗口對話框的內(nèi)容輸入對話框的Width（數(shù)據(jù)寬度）和Decimal（小數(shù)點位數(shù)）的缺省值分別為8和2,但可以改變數(shù)據(jù)寬度和小數(shù)點位數(shù)。接著可以定義Lable（變量標簽），因為SPSS的變量名長度為8個標準字符（4個漢字）,因此，為了醒目和閱讀的需要，可給出變量名更具體的說明，它就是變量標簽。

定義變量的下一個重要環(huán)節(jié)就是Values（變量值標簽）。變量值標簽實際上就是數(shù)據(jù)本身的含義，如果變量是主營業(yè)務(wù)利潤，其涵義自然就靠輸入的數(shù)值大小來表達，但若是性別之類的變量，如“性別”，為了錄入方便，就可以用“1”代表“男性”“0”代表女性，此時就需要定義變量值標簽，單擊該變量名稱后面的“Values”單元格，出現(xiàn)圖3-10對話框。圖3-10ValueLabels對話框在上方的Value框中輸入1,在下方的Value中輸入男性，單擊“Add”，在大方框中就出現(xiàn)1=“男性”，照此定義0=“女性”如果需要改變或刪除，單擊大方框中的輸入結(jié)果，分別選擇“Chang”和“Remove”即可。如果已經(jīng)定義了變量值標簽，在菜單“View”下選擇“ValueLable”起用變量值標簽即可。此外，定義變量還有Missing（缺失值）、Columns（變量的顯示寬度）、Align（數(shù)據(jù)的對齊格式）和Measure（變量的測量尺度）等內(nèi)容，一般按缺省即可。定義好變量后，把SPSS界面切換到DataView，輸入數(shù)據(jù)后即可進入分析。當(dāng)然，如果有現(xiàn)成的文檔，比如Excel.（*.xls）等可直接或略作修改后調(diào)用。（二）隨機向量均值陣在SPSS中實現(xiàn)第一步：定義變量、輸入數(shù)據(jù)。圖3-11SPSS的數(shù)據(jù)窗口第二步：沿著“Analyze—DescriptivesStatistics—Descriptives”進入如圖3-12對話框。圖3-12Descriptives對話框

第三步:將Descriptives對話框左列的四個指標移動到Variable窗口，單擊Options,出現(xiàn)如圖3-13對話框。圖3-13Descriptives：Options對話框第四步：在DescriptivesOptions對話框中勾住Mean，單擊Continue,返回到Descriptives對話框，單擊OK，就可得出如圖3-14的計算結(jié)果，圖3-14計算結(jié)果輸出表四、相關(guān)系數(shù)矩陣的計算在SPSS中實現(xiàn)相關(guān)系數(shù)矩陣的實現(xiàn)步驟是沿著“Analyze—Correlate—Bivariate”進入到BivariateCorrelations對話框，如圖3-15。將左列大個指標移到右列Variables窗口，選擇CorrelationCoefficients下的Pearson項，單擊OK即可得出如圖3-16的計算結(jié)果。圖3-15BivariateCorrelations對話框

匚叵I區(qū)IftOutputI-SP35匚叵I區(qū)IPali-E^l￥lmXnuvtJorThah口Cv?plbEUtLlitai-efitii^oh也】p事舊|列Bd由團J旅虛I創(chuàng)刮JjMM8SS□-囹DA￡Chplk?.二唸誕卜軻Mobs□-囹DA￡Chplk?.二唸誕卜軻MobsLyC^Mripti陽NFirrt口S-3<andAlkr￡怕TfcloSn*t?LyCan-AhDDTr；Com編tion*主站趕利同〔萬兀）壬1'|丙i：丹兀;i*t.r萬兀）苗禾彌王富業(yè)的掘町1上PbbtsoiCornsLstian1.A25*073*'9lg.(2-taled).000.□an.□a口N31313131營和潤〔萬元）PearsonCorgiatton.◎沖1.船".MS"Gq.i：2-tdkd).om.WOWON31313133利彳繪通〔萬兀）pft=rsonCctfelarton.925'1.036*M.QCO.K0.MD313131降和臨丙?！砅aasafiCareLatton.日73*.9S2*.936*1aig.i；2-?*?d；i.□□□.000.□anM31313131障CorRetationis環(huán)■匚arelationtsiorifc^ntAthe001level*|SFSSl