“雙減”背景下高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的探索與實踐 論文

“雙減”背景下高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的探索與實踐摘要：隨著“雙減”政策的落地，高中數(shù)學(xué)的教學(xué)更加注重學(xué)生能力和素養(yǎng)的提高。本文基于“四個理解”，探索數(shù)學(xué)建模課程融入課堂教學(xué)的切入點，以動態(tài)的眼光、生動的案例，探究數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實施路徑，厘清數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動的落實不僅能全面綜合地提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，還能在構(gòu)建深度學(xué)習(xí)過程，培養(yǎng)學(xué)生的必備品質(zhì)和關(guān)鍵能力，讓學(xué)生形成用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、理解世界甚至改造世界的愿望和能力，切實做到“減負(fù)增效”的育人功能。關(guān)鍵詞：雙減；數(shù)學(xué)建模；四個理解；深度學(xué)習(xí)引言：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2020年修訂版）》指出，數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)的知識與方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)[1]。隨著高中新課程標(biāo)準(zhǔn)的頒布，數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)已發(fā)生變化，在內(nèi)容上強(qiáng)化了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究活動，把它作為提升學(xué)生實踐和創(chuàng)新能力的載體；“雙減”政策出臺的主要目的是減輕當(dāng)下普遍存在的學(xué)生低效甚至無效的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，提升教育教學(xué)質(zhì)量，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的質(zhì)量和效果，滿足學(xué)生多樣化的需求。因此，中學(xué)數(shù)學(xué)建模教育的良好開展是提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的最有效的抓手，是減負(fù)增效的最有效的途徑，是多維度教學(xué)評價體系落實的先決條件和基礎(chǔ)。自此，數(shù)學(xué)建模成為高中數(shù)學(xué)課程展開的主線之一。中國科學(xué)院院士李大潛指出：“毫無疑問，數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用的橋梁，是數(shù)學(xué)通往應(yīng)用的必經(jīng)之路”。如何在高中開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動，切實推進(jìn)數(shù)學(xué)課程改革，落實高中課程標(biāo)準(zhǔn)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力，是廣大一線數(shù)學(xué)教師普遍關(guān)心的問題。從2017年11月至今，我校積極致力于高中數(shù)學(xué)建模教育的推廣和落實，成立了以青年骨干教師為核心的建模指導(dǎo)團(tuán)隊，組建建模社團(tuán)，研發(fā)和開設(shè)數(shù)學(xué)建模實驗室課程，指導(dǎo)學(xué)生參加數(shù)學(xué)建?；顒樱M織學(xué)生參加各類數(shù)學(xué)建模競賽、建模論文寫作，取得了優(yōu)異成績。一、四個理解章建躍教授在《核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)改革》一文中提出數(shù)學(xué)教學(xué)的“四個理解”---理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)、理解技術(shù)，提高對數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識，注重數(shù)學(xué)知識與實際的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和能力，促進(jìn)學(xué)生“會學(xué)習(xí)”，實現(xiàn)“學(xué)以致用”、“用以致學(xué)”。理解數(shù)學(xué)，就是用數(shù)學(xué)的概念、性質(zhì)及定理正確解答數(shù)學(xué)問題，特別是要深入理解內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法,要對一些統(tǒng)攝性的“一般觀念”有深人理解并能自覺應(yīng)用；理解學(xué)生,就是要全面了解學(xué)生的思維規(guī)律,把握學(xué)生的認(rèn)知特點；理解教學(xué),就是把握教學(xué)的基本規(guī)律,按教學(xué)規(guī)律辦事；理解技術(shù),就是要懂得如何有效利用技術(shù)幫助學(xué)生的學(xué)和教師的教。理解學(xué)生、理解教學(xué)、理解技術(shù)的水平是教師專業(yè)水平和育人能力的集中體現(xiàn),是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和效益的決定性因素,也是有效地提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的必備條件[2]。數(shù)學(xué)建模的實踐有利于學(xué)生深刻地理解數(shù)學(xué)，有利于老師如何更好地教會學(xué)生，有利于老師開展深度教學(xué)，掌握教學(xué)方法，有利于老師融合先進(jìn)的信息技術(shù)，將數(shù)學(xué)建模融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，潛心研究，力爭把數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)準(zhǔn)確地傳遞給我們的學(xué)生，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，最終實現(xiàn)立德樹人。數(shù)學(xué)建模不應(yīng)該游離于數(shù)學(xué)的課程標(biāo)準(zhǔn)之外，而應(yīng)該反映在數(shù)學(xué)的日常教學(xué)中。為此，我們一線教師要依托教材，回歸基礎(chǔ)，回歸教材，領(lǐng)會“雙減”政策的意義，切實提升教師自身的數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)建模教學(xué)能力，遵循新課標(biāo)理念，深入理解教材，做好數(shù)學(xué)建模案例的選取，豐富拓展教材的資源，能夠借助信息技術(shù)，及時做好數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)模型建立所需要的各種數(shù)據(jù)，積極踐行“四個理解”，構(gòu)建讓深度學(xué)習(xí)真實發(fā)生的新型課堂活動，不斷增強(qiáng)學(xué)生解決問題的能力，培育遷移應(yīng)用能力，促進(jìn)思維進(jìn)階，以此落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，達(dá)成“三會”。二、明晰在中學(xué)做數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究的意義在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（2020修訂版）》中指出，數(shù)學(xué)建模不僅是構(gòu)建了現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)之間的橋梁和紐帶，也是數(shù)學(xué)知識應(yīng)用與現(xiàn)實世界的基本形式，是進(jìn)一步推動數(shù)學(xué)發(fā)展的外部驅(qū)動力，是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實問題的基本手段。[1]由梁貫成、賴明治、喬中華、陳艷萍教授編譯的《數(shù)學(xué)建模教學(xué)與評估指南》一書對建模的意義有如下表述：數(shù)學(xué)建模應(yīng)當(dāng)在學(xué)生數(shù)學(xué)教育的每一個階段都被教授……數(shù)學(xué)建模能夠用于激勵課程的要求，并且在解決重要問題時能夠突出數(shù)學(xué)的重要性和相關(guān)性，它還能幫助學(xué)生獲得通用技能，如跨學(xué)科的思維習(xí)慣。我們看到數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究活動進(jìn)入中小學(xué)的課程是一種趨勢，在很多國家都發(fā)展得非常迅速。我們從現(xiàn)在開始著手?jǐn)?shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)，正是適應(yīng)了國際數(shù)學(xué)教育發(fā)展的趨勢和要求?！皵?shù)學(xué)建?！背蔀榱鶄€核心素養(yǎng)之一，課程標(biāo)準(zhǔn)給出了相應(yīng)的課時和課程落實的要求，還提出了評價的水平劃分和層次要求，明確了中學(xué)數(shù)學(xué)建模教與學(xué)涉及內(nèi)容的性質(zhì)、目標(biāo)、功能的認(rèn)識和把握，數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源和教學(xué)策略的選擇和開發(fā)。在數(shù)學(xué)建?；顒又?，特別是數(shù)學(xué)模型形成的過程中，學(xué)生可以真實得體驗如何通過數(shù)學(xué)的“眼光”來觀察和分析現(xiàn)實世界，提出并利用數(shù)學(xué)的語言來描述和分析世界，最后能數(shù)學(xué)化地形成比較合理的假設(shè)、目標(biāo)問題等，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)是現(xiàn)實的是有用的，從而理解數(shù)學(xué)的價值，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣[3]。因而，數(shù)學(xué)建模和探究比其他任何數(shù)學(xué)課程都更強(qiáng)調(diào)學(xué)生對實際活動過程的親歷和體驗。當(dāng)學(xué)生能夠在面對學(xué)習(xí)和生活中遇到的各種現(xiàn)象和問題時主動地調(diào)用其掌握的數(shù)學(xué)思想方法來觀察、分析和表達(dá)時，該生就具備了良好的數(shù)學(xué)思維。學(xué)生在通過使用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識搭建數(shù)學(xué)模型來解決現(xiàn)實問題，就可以加強(qiáng)對發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力的培養(yǎng)，進(jìn)而實現(xiàn)“用以致學(xué)”。面對我國2035和2050兩個重要的戰(zhàn)略時間節(jié)點，以及當(dāng)前復(fù)雜多變的國際環(huán)境，我們就要培養(yǎng)出“知其若不然”的創(chuàng)新型人才，這也正是高中階段數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)的目的。實踐證明，數(shù)學(xué)建模是提升學(xué)生基本學(xué)科素養(yǎng)和綜合創(chuàng)新能力的有效辦法，也是科技創(chuàng)新教育的根本目的。三、探索數(shù)學(xué)建模教學(xué)的開展數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型，求解結(jié)論，驗證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實際問題。數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的提出和融入課程內(nèi)容是一項新的課程改革舉措，也是能有效地、與時俱進(jìn)地改變教學(xué)方式和學(xué)生學(xué)習(xí)方式的一種新教育理念和路徑。在教學(xué)實踐中，狹義的數(shù)學(xué)建模指教師基于數(shù)學(xué)學(xué)科教材中提供的數(shù)學(xué)建模問題情境，運(yùn)用自己已有的數(shù)學(xué)建模知識，依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動。廣義的數(shù)學(xué)建模教育指的是教師遵循數(shù)學(xué)建模的方法和過程，對數(shù)學(xué)學(xué)科教材中綜合實踐活動開展的教學(xué)活動。而從更加廣泛的意義看，數(shù)學(xué)建模教育是指一切依據(jù)數(shù)學(xué)建模的思想理念和方法開展的日常教育教學(xué)活動?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2020年修訂版）》指出，數(shù)學(xué)建模活動的課程定位是“作為基于數(shù)學(xué)思維運(yùn)用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動”，教學(xué)要“以課題研究的形式開展，課題研究的過程包括選題、開題、做題、結(jié)題四個環(huán)節(jié)”，常規(guī)的教學(xué)活動難以讓學(xué)生經(jīng)歷較為完整的數(shù)學(xué)建?；顒舆^程，必須通過設(shè)置專門的數(shù)學(xué)建模專題活動才能落實課程目標(biāo)。張文平院士強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)建模教育需要分階段、成系統(tǒng)并持之以恒地開展”。我們分三個階段開展數(shù)學(xué)建?；顒?，整體布局，循序漸進(jìn)。初期階段，引導(dǎo)學(xué)生主動閱讀數(shù)學(xué)建模的典型范例，初步了解數(shù)學(xué)建模的主要步驟，引導(dǎo)學(xué)生初步實踐數(shù)學(xué)建模?？梢岳妹恐艿男１菊n或校級建模社團(tuán)活動，讓學(xué)生從不知道什么是數(shù)學(xué)建模，開始走近數(shù)學(xué)建模，了解這些模型是如何用數(shù)學(xué)語言刻畫實際背景中的問題的。例如，以學(xué)習(xí)“哥尼斯堡七橋”問題，引領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)學(xué)家眼光的犀利、獨到和深遠(yuǎn)。這一時期主要是讓學(xué)生以閱讀體驗為主要目的，充分利用教材上設(shè)計安排的教學(xué)案例和學(xué)習(xí)內(nèi)容相關(guān)的實際問題為載體，不斷變換問題情境，利用相同或相似模型解決實際問題，提高學(xué)好數(shù)學(xué)建模的興趣與信心。第二階段，主要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的基本步驟，數(shù)學(xué)建?；顒拥闹饕h(huán)節(jié)。開展以“問題引領(lǐng)、小組討論、操作實踐、體驗建?！睘橹饕卣鞯恼n堂教學(xué)。當(dāng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建?；静襟E時，以交通路口汽車的通行問題，以數(shù)學(xué)小組的形式開展活動，利用周末或課外活動時間，學(xué)生自主制定小組活動方案，觀察、收集、整理數(shù)據(jù)、建立模型，在課堂上匯報建模活動成果。這一時期，老師可以不斷提出新的假設(shè)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，驗證數(shù)據(jù)，逐步優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建深度學(xué)習(xí)環(huán)境，用心體會數(shù)學(xué)建模的步驟及應(yīng)用價值。第三階段，數(shù)學(xué)建?；顒与A段，引領(lǐng)學(xué)生知道怎樣選題、開題、做題、結(jié)題。這一時期，要給學(xué)生留出足夠的時間，比如一個寒假或一個暑假，甚至一個學(xué)期的時間，鼓勵所有的學(xué)生都參與到實踐數(shù)學(xué)建?；顒又?，確保每一個數(shù)學(xué)建?；顒佣寄軓娜?、深入、完整地開展，并鼓勵學(xué)生撰寫建模論文，對于有條件的學(xué)生積極參加各類數(shù)學(xué)建模競賽，使得學(xué)生的建模能力螺旋式提升。這一時期的數(shù)學(xué)建?；顒油枰嗳撕献?，從選題開始，不論是獨立研究還是小組研究，都要多方論證：選的題有沒有新意，有沒有價值，有沒有可行性；在調(diào)查研究時，往往以團(tuán)隊的形式展開。在數(shù)學(xué)建模整體方向的把握上，在數(shù)學(xué)建模基本環(huán)節(jié)的指導(dǎo)上，在數(shù)學(xué)模型的正確選取上，在整理成果、撰寫論文的具體落實上，教師或者學(xué)校建模指導(dǎo)團(tuán)隊都非常重要。讓學(xué)生親歷建模的苦與樂，在“做數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”的過程中，讓深度學(xué)習(xí)真實發(fā)生，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神，培養(yǎng)應(yīng)用意識和實踐能力，提升對數(shù)學(xué)學(xué)科價值的理解，實踐師生的“做中學(xué)，學(xué)中做”，把教與學(xué)融為一體，切實推進(jìn)數(shù)學(xué)課程改革，最終提升可持續(xù)發(fā)展所學(xué)要的素養(yǎng)[4]。四、積極探索和實踐高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動的設(shè)計充分依托教材，循序漸進(jìn)地開展數(shù)學(xué)建模活動，讓學(xué)生逐步感受數(shù)學(xué)建模的價值。1.建模初期教學(xué)模式在開展建模活動的初期階段，教師要選取課題的背景是學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)建模案例，或選擇身邊貼近學(xué)生生活的實際問題。在課堂教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，嘗試解決問題，引導(dǎo)學(xué)生自主探究建立合適的數(shù)學(xué)模型、求解模型，讓學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)建模的主要步驟和基本環(huán)節(jié)。案例1消防車的調(diào)配問題（哥尼斯堡七橋）問題情境現(xiàn)有六個村落，只有三輛消防車，消防車應(yīng)該停放在哪些村落？問題1：歐拉解決七橋問題的過程與方法對你有什么啟發(fā)？學(xué)會運(yùn)用抽象的思維，簡單極致的把實際問題轉(zhuǎn)化為樸素的數(shù)學(xué)問題。問題2：確定消防車位置的最優(yōu)目標(biāo)是什么？“發(fā)生火災(zāi)后，消防車應(yīng)該在最短時間內(nèi)到達(dá)失火村落”作為最優(yōu)目標(biāo)。問題3：確定消防車位置需要考慮哪些因素的影響？村落間平均到達(dá)的時間；村落的人口；城市消防站建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)（國家標(biāo)準(zhǔn)）：消防站的布局一般應(yīng)以接到出動指令后5分鐘內(nèi)消防隊可以到達(dá)轄區(qū)邊緣為原則確定。村落ABCDEFA1712141516B716181616C1291.51064D161441912E181610425F161841252圖表1村落間平均到達(dá)時間（單位：分鐘）圖表2各村落人口（單位：位）問題4：有哪些停放方案可以實現(xiàn)8分鐘全覆蓋？問題5：如何確定最優(yōu)目標(biāo)的評價指標(biāo)？以人口為權(quán)數(shù)的平均救援時間：t 6

=? i=1ti×pip，其中是第個村落的救援時間，itip為第個村落的人口，p是6個村落的總?cè)丝?圖表-4問題6：將消防車停放在A、B、E村落的方案平均救援時間最短，但從實際出發(fā)，該方案存在什么問題？D、E、F村落共有1100人，只能被E村落的消防車覆蓋，一旦有兩個村落同時發(fā)生火災(zāi)，就會發(fā)生無法按時求援的情況。模型優(yōu)化問題7：模型中還有那些因素沒有考慮？消防車實際需要增加并要預(yù)留出消防車，以應(yīng)對復(fù)雜情況發(fā)生。這些都可以是我們進(jìn)一步優(yōu)化模型的方向。模型推廣問題7：我們建立的模型還能應(yīng)用在哪些場景？指向深度學(xué)習(xí)，引領(lǐng)遷移創(chuàng)新，有解題教學(xué)指向解決問題，發(fā)展高階思維能力。2.建模推廣時期教學(xué)模式在建?；顒拥耐茝V體驗階段，更要以實際問題為載體，選擇數(shù)學(xué)建模中的核心問題，如作出假設(shè)，模型的建立，模型檢驗等。學(xué)生圍繞具體問題展開自學(xué)討論，匯總展示討論的結(jié)果，初步了解了數(shù)學(xué)建模的主要步驟，感受了數(shù)學(xué)模型的價值。案例2十字路口汽車通行問題問題情境在一個十字路口，每次亮綠燈的時長為15秒，那么，每次綠燈亮?xí)r，在一條直行道路上能有多少汽車通過十字路口？問題1：解決這個問題，我們要明確這個問題是讓我們“求”什么?綠燈亮15秒，可以通過多少輛汽車。問題2：解決這個問題的“目標(biāo)”是什么？確定“最多”能有多少輛汽車通過！問題3：影響汽車通過的“相關(guān)因素”是什么？車道數(shù)，車速，車加速度，延遲啟動時間，車到路口距離，車長，車距，…問題4：“通過”的數(shù)學(xué)定義？Sn記交通燈的紅燈變綠燈開始的時刻為t=0,在時間第n輛車的位置為Stn()，則當(dāng)(15)>0時,表明在第15秒第n輛車已通過路口，否則，結(jié)論相反.問題5：如何用數(shù)學(xué)表達(dá)式來刻畫汽車“通過”路口的含義？用x軸表示車輛行駛的道路,原點O表示交通燈下的停止線的位置，x軸的正方向是汽車行駛的方向,汽車車頭在道路上所處的位置表示汽車的位置。只要汽車在時刻t時，汽車行駛的位置在原點O的右側(cè)，即表明該輛汽車通過路口。作出假設(shè)1.通過路口的車輛都相同，并且都是從靜止?fàn)顟B(tài)勻加速啟動；2.紅燈時等待的每相鄰兩輛車之間的距離相等，且第一輛車車頭恰好停在停止線處；3.前一輛車啟動后，下一輛車啟動的延遲時間相等；4.所有車輛都是直行穿過馬路，且僅考慮馬路一側(cè)或單行線上的車輛；5.十字路口的車輛穿行秩序良好，不會發(fā)生堵塞。為此，我們引入以下參數(shù)和變量：1.參數(shù)：L表示汽車的長度，D表示紅燈時等待的相鄰兩輛車之間的距離，a表示表示相鄰兩輛汽車啟動的延遲時間。汽車的加速度，T2.變量：表示時間，nt表示第n輛汽車開始啟動的時間，Stn()表示時刻時第n輛汽車所在的位置。3.模型的參數(shù)值：經(jīng)過實際調(diào)查，我們?nèi)=5米，D=2米，a=2ms2，T=1秒。（問題中涉及的數(shù)據(jù)需要建模者收集）注：我們將要討論的交通路口通過汽車的數(shù)量的問題，就變?yōu)榍鬂M足條件Sn(15)>0的最大n的問題.它已經(jīng)是個數(shù)學(xué)問題了！【建立數(shù)學(xué)模型】圖表-6由假設(shè)1和假設(shè)2，汽車啟動之前停車的位置可以表示為（數(shù)學(xué)模型）：nS(0)=-(n-1)(L+D)。tt>tn)的位置為：由假設(shè)3，汽車啟動時間表示為（數(shù)學(xué)模型）：nt=nT。由假設(shè)1，汽車啟動時應(yīng)該按照勻加速的規(guī)律運(yùn)動，汽車啟動時刻Stn()=Sn(0) a+2(t-tn)2。綜合分析，我們就得到了汽車在道路上行駛的位置與時間的關(guān)系為（數(shù)學(xué)模型）：求解數(shù)學(xué)模型當(dāng)t=15時，第n輛汽車的位置為nS(15)=-7(n-1) 2

+×(152-n)2>0，解得n<8或n>29(舍去)。所以，此時最多由7輛汽車通過十字路口！此時，第7輛汽車通過路口的速度為v=at=′72=14ms=50.4kmh。模型優(yōu)化問題6：同學(xué)們，結(jié)合我們的生活常識，對上述模型還有沒有需要補(bǔ)充或完善的？實際問題背景：城市車輛行駛限速！生活常識告訴我們，在城市的每條道路上行駛的汽車都有一個最高時速的限制，不允許無限制的提高車速。我們給定這條道路上的最高限速為vms，汽車在路上必須要限速行駛。學(xué)生調(diào)查結(jié)果，最高限速:1.校園內(nèi)：v￠=10kmh?2.7ms；2.市內(nèi)主干道路：v￠=40kmh?11.1ms；3.環(huán)城路上：v￠=60kmh=17ms。這樣我們還需要再附加一個假設(shè)：綠燈亮后汽車將勻加速啟動一直到可能的最高限速，達(dá)到最高限速后，車輛應(yīng)停止加速,并以這個速度勻速地向前行駛，按最高限速運(yùn)動穿過路口，則這時汽車做勻加速運(yùn)動的時間應(yīng)該是：tn￠=v￠+tan，其中nt￠是第n輛汽車到達(dá)限速的時刻。由模型參數(shù)值，易知tn￠=v￠+=n 5.5a+n。由上面分析可以得到，綠燈亮后汽車穿過十字路口行駛的模型是Stn()ì

?=??í????Sn(0),),22+vt-tn￠),0￡<tn,Sn(0) a+2(t-tntn￡<tn￠,Sn(0) a+2(tn￠-tn)t3tn￠.求解數(shù)學(xué)模型對于本節(jié)問題，由計算可得：Sn(15)=-7(n-1)+5.52+11(15-5.5-n)>0，得n￡7，且t*=7 5.5+=12.5<15.模型計算結(jié)果:該路口最多通過7輛汽車。根據(jù)這些參數(shù)，我們還可以計算出綠燈亮至15秒紅燈再次亮?xí)r每輛汽車的位置如下表所示。汽車序號12345678位置/m124.6106.588.470.352.234.116.0-2.1圖表-7從上表可見，當(dāng)綠燈亮至15秒時，第7輛汽車已經(jīng)駛過紅綠燈16.0米，而第8輛車還距離交通燈2.1米，不能通過.因此15秒的綠燈可以通過7輛汽車。檢驗?zāi)Ｐ停?.實際觀測數(shù)據(jù)檢驗請同學(xué)們課后到交通路口進(jìn)行實地調(diào)查，收集若干個路口綠燈亮的時間和通過路口的汽車數(shù)量，檢驗上述模型的正確性，并進(jìn)一步完善這個模型。指導(dǎo)學(xué)生可以從以下幾個方面完成：調(diào)查一個路口有關(guān)紅綠燈的數(shù)據(jù)驗證模型是否正確。①位置，走向，車道數(shù)，時間。綠燈時間，通過的車數(shù)（至少三次），分析每次數(shù)據(jù)不同的原因。②模型的假設(shè)與實際是否一致；模型的參數(shù)與實際是否一致。③模型的計算結(jié)果與觀測結(jié)果是否一致？不一致時，如何修改模型。2.參數(shù)的靈敏度檢驗（參數(shù)值變化對結(jié)果的影響）數(shù)學(xué)模型是否有價值，最好的辦法就是實踐，在實際生活中去檢驗它。模型應(yīng)用如果這個模型經(jīng)檢驗與實際情況沒有明顯的不同，那么就可以使用這個模型對這個十字路口的車流量的情況進(jìn)行更深入的分析，提取進(jìn)一步信息.這也恰好是我們組建這個模型的目的。O我們可以考慮每一輛汽車到達(dá)交通路口停止線的時間.令第n輛汽車到達(dá)坐標(biāo)原點的時刻為otn()，這時應(yīng)該有Stn()o=0。根據(jù)模型在停止線處將有如下關(guān)系：Sn(0) a+2(t-tn)2=0,to￡t*，SnonSn(0) a+2(tn*-tn)2+V*(to-tn*)=0,to>tn*.注意到前面我們構(gòu)建的模型：nS(0)=-(n-1)(L+D)，nt=nT，tn*=V*a+tn中關(guān)于(0)，nt和nt*的表達(dá)式，并將ot解出來，可以得到：tno()ì

??

=í?

??(2(n-1)(L+D)+nT,,to￡tn*,an-1)(L+D)+nTv*+2at>tn*.v*o由此，我們就可以計算出汽車通過停止線的時間與汽車到達(dá)最高限速的時間，如下表：汽車序號n12345678達(dá)限速nt*6.57.58.59.510.511.512.513.5到路口otn()14.66.748.5810.2911.9313.5715.2圖表-8從上表可以看到，第8輛車要在綠燈亮后15.2秒才到達(dá)停止線.這時已經(jīng)超過了綠燈的時限了，因此第8輛車是不能穿過路口的。這與前面的結(jié)果是一致的。問題7：同學(xué)們，你們對這個路口紅綠燈時長的設(shè)置有什么評價？我們還可以發(fā)現(xiàn)能夠穿過路口的這7輛車當(dāng)中，對于前5輛汽車有tno()￡t*n。這就意味著，在還沒有到達(dá)最高限速之前就已經(jīng)進(jìn)入路口了，真正以最高限速穿過路口的汽車只有最后兩輛。顯然，這樣的交通燈控制策略對于路口的利用率是不高的。問題8:請同學(xué)們考慮，這是什么原因引起的？原因就在于15秒的綠燈時間設(shè)置太短了。師：如何利用這個模型制定最佳的路口利用策略，這就是老師留給你們的課后作業(yè)，請有興趣的同學(xué)進(jìn)一步研究這個問題，及時把你的成果和大家一起分享！這一時期，老師可以適時鼓勵學(xué)生對這一類問題深入研究，嘗試撰寫建模論文。3.數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模融合模式在建?；顒拥娜诤想A段，學(xué)生以小組為單位，利用課外活動或節(jié)假日，集體參與制定活動方案，分配任務(wù)，分工收集整理數(shù)據(jù)、撰寫建模論文等。小組全員參與活動，在實踐活動中增強(qiáng)團(tuán)隊合作意思與協(xié)調(diào)能力，積累實踐活動的經(jīng)驗。這一時期，需要數(shù)學(xué)理論支撐，更需要學(xué)生對數(shù)據(jù)收集、分析和處理的能力，要求信息技術(shù)介入使用等，對學(xué)生的能力提出挑戰(zhàn)，這也是高中數(shù)學(xué)建模教育的最終價值體現(xiàn)。案例3利用概率推測新同學(xué)的性別問題描述下面是我教的兩個教學(xué)班42位同學(xué)的身高（單位：厘米）、體重（單位：斤）、鞋碼（單位：厘米）和性別的統(tǒng)計信息，這些信息是同學(xué)們根據(jù)自己的印象填寫，會有少量的誤差。過幾天該班級將要來一位新同學(xué)，僅知道其身高、體重和鞋碼分別為172cm、82kg、26.5cm，但不知道其性別，請推斷該同學(xué)更可能是男生還是女生。圖表-9某班同學(xué)的身高、體重、鞋碼和性別信息序

號身高

（cm）體重

（kg）鞋碼

（cm）性別

（男/女）序

號身高

（cm）體重

（kg）鞋碼

（cm）性

別

（男/女）11727026男221666024女21838026男2318010528男31837226男241758526.5男41806528.5男251725126男51706526.5男261906826.5男61837628.5男271878026.5男71877029男281826727男81757026.8男291857726.5男91786826.8男301807027.5男101826228.5男311746726.5男111786027男3217562.526.5男121727027男331817227.5男131655524男341805726.5男141675024女351735424.5女151604523女361594723.5女161705524女371554222女171584222女381545523女181626326.5女391606024女191695424女401615124女201737525女411605224女211695324.5女421644924女問題分析：1.數(shù)據(jù)預(yù)處理因為數(shù)據(jù)帶有誤差，所以采用等級化的辦法將身高分為高、中、低三檔，將體重分為高、中、低三檔，將鞋碼分為大、中、小三檔，根據(jù)常識將分檔標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定如下表所示：圖表-10身高、體重、鞋碼分檔標(biāo)準(zhǔn)身高

單位：厘米高中低平均值身高≥180180>身高>169身高≤169172.6體重

單位：公斤高中低平均值體重≥7070>體重>59體重≤5963.1鞋碼

單位：厘米大中低平均值鞋碼≥2727>鞋碼>24鞋碼≤2425.7以上述確定分檔原則，圖表-9中的數(shù)據(jù)分檔結(jié)果如圖表-11所示序

號身高

（cm）體重

（kg）鞋碼

（cm）性別

（男/女）序

號身高

（cm）體重

（kg）鞋碼

（cm）性

別

（男/女）1中高中男22低中低女2高高中男23高高高男3高高中男24中高中男4高中高男25中低中男5中中中男26高中中男6高高高男27高高中男7高高高男28高中高男8中高中男29高高中男9中中中男30高高高男10高中高男31中中中男11中中高男32中中中男12中高高男33高高高男13低低低男34高低中男14低低低女35中低中女15低低低女36低低低女16中低低女37低低低女17低低低女38低低低女18低中中女39低中低女19低低低女40低低低女20中高中女41低低低女21低低中女42低低低女2.設(shè)出事件，推導(dǎo)貝葉斯分類器新同學(xué)的身高、體重和鞋碼分別對應(yīng)中、高、中檔。設(shè)事件如下所示，1A：身高中，：2體重高，：鞋碼中；3B=AAA1 2 3；C1：性別男，C2：性別女。PCB( 2)的大為了判斷新同學(xué)是男同學(xué)還是女同學(xué)，只需要計算并比較PCB( 1)和小。3.基本假設(shè)各位同學(xué)的身高、體重、鞋碼之間相互獨立。根據(jù)乘法公式及全概率公式（或貝葉斯公式），可得：同理可得：PBC(2)(PC2)=PAAAC( 1 2 32)=PAC( 12)(PAC22)(PAC32)，（4）根據(jù)數(shù)據(jù)計算求解，得到分類結(jié)果根據(jù)表格圖表-10，根據(jù)古典概型可得到把數(shù)據(jù)帶入（3）、（4）可得實際上，根據(jù)公式（1）和（2）可以計算新同學(xué)為男生或女生的概率分別為4.模型的分析問題1：模型的準(zhǔn)確性受哪些因素的影響？原始數(shù)據(jù)填寫的誤差大小、分檔規(guī)則、數(shù)據(jù)的完備性（大量性、多樣性、及時性），以及基本假設(shè)中對身高、體重、鞋碼之間相互獨立關(guān)系的假設(shè)是否正確。問題2：如何研究分檔規(guī)則對結(jié)果的影響？通過做實驗的方法，改變分檔規(guī)則，分析作為結(jié)果的概率值有什么變化。如果分檔規(guī)則的細(xì)微變化就能引起結(jié)果的大幅變化，這個模型就是可以推廣的模型；反之，入如果結(jié)果受分檔規(guī)則變化的影響并不敏感，這個模型就是比較好的可以應(yīng)用的模型。5.教學(xué)反思及建議（1）數(shù)學(xué)推導(dǎo)路徑的選擇學(xué)生對條件概率和事件獨立性的理解不夠自然和深刻；直接選擇古典概型計算，對全概率公式的理解不夠深入。（2）教學(xué)建議：教師在教學(xué)過程中，不要急于糾正學(xué)生存在的問題，最好是選擇學(xué)生充分暴露出問題后，對其背后的原理進(jìn)行點評，或讓學(xué)生自己思考造成結(jié)果的原因，進(jìn)而讓學(xué)生深刻理解全概率公式、先驗和后驗的深層次含義，這在非數(shù)學(xué)建模課上基本不可能挖掘和實施，而此處正是“用以致學(xué)”的集中體現(xiàn)。6.教學(xué)的評估與反饋課前發(fā)放學(xué)生的問卷：（下面呈現(xiàn)自評問卷的部分問題，僅供參考?。?）問卷設(shè)計1.學(xué)習(xí)目標(biāo)維度自評：請選出如下角度對自己上完這節(jié)課后的評價。完全達(dá)到部分達(dá)到完全沒達(dá)到能提出合理基本假設(shè)〇〇〇能夠?qū)?shù)據(jù)進(jìn)行合理預(yù)處理〇〇〇能夠合理設(shè)出各變量〇〇〇能夠確定各變量之間的邏輯關(guān)系（誰是條件？誰是目標(biāo)？）〇〇〇2.學(xué)習(xí)目標(biāo)維度2自評：請選出在如下角度對自己上完這節(jié)課后的評價。完全達(dá)到部分達(dá)到完全沒達(dá)到能夠正確推導(dǎo)出公式并使用基本假設(shè)〇〇〇能夠?qū)⒄_的數(shù)據(jù)代入公式相應(yīng)位置〇〇〇能夠解釋模型結(jié)果的現(xiàn)實意義〇〇〇能夠說出模型的局限性和適用性〇〇〇3.通過本節(jié)課對數(shù)學(xué)建模解決問題的基本步驟是否有初步理解？〇是，具有了初步理解〇否，完全無法理解4.和傳統(tǒng)方式的做練習(xí)、講練習(xí)型課堂的收獲相比，數(shù)學(xué)建模式的課堂教學(xué)帶給你的收獲是什么？請簡述。5.你認(rèn)為你們小組中誰的表現(xiàn)最佳？請寫下他/她的名字，可以自薦。（2）作業(yè)設(shè)計針對課上的建模問題，如果改變分