2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標(biāo)ⅱ)

文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助歡迎下載支持。2018年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅱ）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5.00分）=（）A．iB．C．D．2．（5.00分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），則A中元素的個(gè)數(shù)為（）A．9B．8C．5D．43．（5.00分）函數(shù)f（x）=的圖象大致為（）A．B．C．D．4．（5.00分）已知向量，滿足||=1，=﹣1，則?（2）=（）A．4B．3C．2D．05．（5.00分）雙曲線=1（a＞0，b＞0）的離心率為，則其漸近線方程為（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x6．（5.00分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，則AB=（）1如有幫助歡迎下載支持文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助歡迎下載支持。A．4B．C．D．27．（5.00分）為計(jì)算S=1﹣+﹣+…+﹣，設(shè)計(jì)了如圖的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+48．（5.00分）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7+23．在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．9．（5.00分）在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為（）A．B．C．D．10．（5.00分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是減函數(shù)，則a的最大值是（）A．B．C．D．π11．（5.00分）已知=f（1+x），若f（1）=2，則A．﹣B．0C．2D．50f（x）是定義域?yàn)椋ī仭蓿?∞）的奇函數(shù)，滿足f（1﹣x）f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）5012．（5.00分）已知F，F(xiàn)2是橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，A是1C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，則C的離心率為（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5.00分）曲線y=2ln（x+1）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為．14．（5.00分）若x，y滿足約束條件，則z=x+y的最大值為．15．（5.00分）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，則sin（α+β）=．2如有幫助歡迎下載支持文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助歡迎下載支持。16．（5.00分）已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，若△SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根要求作答。（一)必考題：共60分。17．（12.00分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．18．（12.00分）如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位：億元）的折線圖．為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量y與時(shí)間變量t的兩個(gè)t的值依次為1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說明理由．19．（12.00分）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k（k＞0）的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．20．（12.00分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)．（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值．21．（12.00分）已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax2．（1）若a=1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)，求a．3如有幫助歡迎下載支持文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助歡迎下載支持。（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．（10.00分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）．（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），求l的斜率．[選修4-5：不等式選講]23．設(shè)函數(shù)f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范圍．2018年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅱ）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5.00分）A．iB．=（）C．D．【分析】利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可．【解答】解：==+．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基本知識(shí)的考查．2．（5.00分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），則A中元素的個(gè)數(shù)為（）A．9B．8C．5D．4【分析】分別令x=﹣1，0，1，進(jìn)行求解即可．【解答】解：當(dāng)x=﹣1時(shí)，y2≤2，得y=﹣1，0，1，當(dāng)x=0時(shí)，y2≤3，得y=﹣1，0，1，當(dāng)x=1時(shí)，y2≤2，得y=﹣1，0，1，4如有幫助歡迎下載支持文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助歡迎下載支持。即集合A中元素有9個(gè)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合元素個(gè)數(shù)的判斷，利用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．3．（5.00分）函數(shù)f（x）=的圖象大致為（）A．B．C．D．【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的定點(diǎn)的符號(hào)的特點(diǎn)分別進(jìn)行判斷即可．【解答】解：函數(shù)f（﹣x）==﹣=﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A，當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=e﹣＞0，排除D．當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，排除C，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)圖象的特點(diǎn)分別進(jìn)行排除是解決本題的關(guān)鍵．4．（5.00分）已知向量，滿足||=1，=﹣1，則?（2）=（）A．4B．3C．2D．0【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可．5如有幫助歡迎下載支持文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助歡迎下載支持?！窘獯稹拷猓合蛄?，滿足||=1，=﹣1，則?（2）=2﹣=2+1=3，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題5．（5.00分）雙曲線=1（a＞0，b＞0）的離心率為，則其漸近線方程為（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x【分析】根據(jù)雙曲線離心率的定義求出a，c的關(guān)系，結(jié)合雙曲線a，b，c的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵雙曲線的離心率為e==，則=====，即雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線漸近線的求解，結(jié)合雙曲線離心率的定義以及漸近線的方程是解決本題的關(guān)鍵．6．（5.00分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，則AB=（）A．4B．C．D．2【分析】值，利用余弦定理轉(zhuǎn)化求解即可．利用二倍角公式求出C的余弦函數(shù)【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，則AB====4．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的解法以及計(jì)算能力．7．（5.00分）為計(jì)算S=1﹣+﹣+…+﹣，設(shè)計(jì)了如圖的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+4【分析】模擬程序框圖的運(yùn)行過程知該程序運(yùn)行后輸出的S=N﹣T，6如有幫助歡迎下載支持文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助歡迎下載支持。由此知空白處應(yīng)填入的條件．【解答】解：模擬程序框圖的運(yùn)行過程知，該程序運(yùn)行后輸出的是S=N﹣T=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）；累加步長(zhǎng)是2，則在空白處應(yīng)填入i=i+2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了循環(huán)程序的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．8．（5.00分）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7+23．在不過超30的素?cái)?shù)中，是（）A．B．隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率C．D．【分析】利用列舉法先求出不超過30的所有素?cái)?shù)，利用古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：在不超過30的素?cái)?shù)中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10個(gè)，從中選2個(gè)不同的數(shù)有=45種，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3種，則對(duì)應(yīng)的概率P==，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型的概率的計(jì)算，求出不超過30的素?cái)?shù)是解決本題的關(guān)鍵．9．（5.00分）在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【分析】以D為原點(diǎn)，系，利用向量法能求出異面直線AD1與DB1所成角的余弦值．【解答】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)7如有幫助歡迎下載支持文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助歡迎下載支持。坐標(biāo)系，∵在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，∴A（1，0，0），D（0，0，），D（0，0，0），1B1（1，1，），=（﹣1，0，），=（1，1，），設(shè)異面直線AD與DB1所成角為θ，1則cosθ===，∴異面直線AD與DB1所成角的余弦值為．1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．10．（5.00分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是減函數(shù)，則a的最大值是（）A．B．C．D．π【分析】利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)f（x），由，k∈Z，得]，結(jié)合已知條件即可求出a的最大值．【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，k∈Z，取k=0，得（fx）的一個(gè)減區(qū)間為[，，由得，k∈Z，，k∈Z，取k=0，得f（x）的一個(gè)減區(qū)間為[，]，由f（x）在[﹣a，a]是減函數(shù)，8如有幫助歡迎下載支持文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助歡迎下載支持。得，∴．則a的最大值是．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的求值，屬于基本知識(shí)的考查，是基礎(chǔ)題．11．（5.00分）已知=f（1+x），若f（1）=2，則A．﹣50B．0C．2D．50【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期是性和奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：∵f（x）是奇函數(shù)，且f（1﹣x）=f（1+x），∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，則f（x+2）=﹣f（x），則f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），f（x）是4的周期函數(shù)，∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣f（x）是定義域?yàn)椋ī仭蓿?∞）的奇函數(shù)，滿足f（1﹣x）f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）4，結(jié)合函數(shù)的周期即函數(shù)周期為1）=﹣f（1）=﹣2，f（4）=f（0）=0，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵．12．（5.00分）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠9如有幫助歡迎下載支持文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助歡迎下載支持。F1F2P=120°，則C的離心率為（）A．B．C．D．【分析】求得直線AP的方程：根據(jù)題意求得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，即可求得橢圓的離心率．【解答】解：由題意可知：A（﹣a，0），F(xiàn)（﹣c，0），F(xiàn)（c，0），12y=（x+a），直線AP的方程為：由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，則P（2c，c），代入直線AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，∴題意的離心率e==．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)，直線方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5.00分）曲線y=2ln（x+1）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為y=2x．【分析】欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．【解答】解：∵y=2ln（x+1），∴y′=，當(dāng)x=0時(shí)，y′=2，∴曲線y=2ln（x+1）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為y=2x．故答案為：y=2x．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．14．（5.00分）若x，y滿足約束條件，則z=x+y的最大值為9．約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代作出可行域如圖，【分析】由入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由x，y滿足約束條件10如有幫助歡迎下載支持文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助歡迎下載支持?；繕?biāo)函數(shù)z=x+y為y=﹣x+z，由圖可知，當(dāng)直線y=﹣x+z過A時(shí)，z取得最大值，由，解得A（5，4），目標(biāo)函數(shù)有最大值，為z=9．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．15．（5.00分）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，則sin（α+β）=．【分析】把已知等式兩邊平方化簡(jiǎn)可得2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，再利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)為2sin（α+β）=﹣1，可得結(jié)果．【解答】解：sinα+cosβ=1，兩邊平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，cosα+sinβ=0，兩邊平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，∴2sin（α+β）=﹣1．∴sin（α+β）=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的求值，屬于基本知識(shí)的考查，是基礎(chǔ)題．16．（5.00分）已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，若△SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為40π．【分析】利用已知條件求出圓錐的母線長(zhǎng)，利用直線與平面所成角求解底面半徑，然后求解圓錐的側(cè)面積．【解答】解：圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，可得sin∠ASB==．△SAB的面積為5，11如有幫助歡迎下載支持文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助歡迎下載支持。可得sin∠ASB=5，即×=5，即SA=4．SA與圓錐底面所成角為45°，可得圓錐的底面半徑為：=2．則該圓錐的側(cè)面積：π=40π．故答案為：40π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征，母線與底面所成角，圓錐的截面面積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根要求作答。（一)必考題：共60分。17．（12.00分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a=﹣7，S3=﹣15．1（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．【分析】（1）根據(jù)a1=﹣7，S3=﹣15，可得a=﹣7，3a1+3d=﹣15，求出等差數(shù)列1{an}的公差，然后求出an即可；（2）由a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，得Sn===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，由此可求出Sn以及Sn的最小值．【解答】解：（1）∵等差數(shù)列{an}中，a=﹣7，S3=﹣15，1∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a=﹣7，d=2，1∴an=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；（2）∵a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，∴Sn==n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，∴當(dāng)n=4時(shí)，前n項(xiàng)的和Sn取得最小值為﹣16．=【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的項(xiàng)通公式，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和公式，屬于中檔題．18．（12.00分）如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位：億元）的折線圖．為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1，2，…，12如有幫助歡迎下載支持文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助歡迎下載支持。17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說明理由．【分析】（1）根據(jù)模型①計(jì)算t=19時(shí)的值，根據(jù)模型②計(jì)算t=9時(shí)的值即可；（2）從總體數(shù)據(jù)和2000年到2009年間遞增幅度以及2010年到2016年間遞增的幅度比較，即可得出模型②的預(yù)測(cè)值更可靠些．【解答】解：（1）根據(jù)模型①：計(jì)算t=19時(shí)，=﹣30.4+13.5×19=226.1；利用這個(gè)模型，求出該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值=﹣30.4+13.5t，是226.1億元；根據(jù)模型②：=99+17.5t，計(jì)算t=9時(shí)，=99+17.5×9=256.5；．利用這個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值是256.5億元；（2）模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠；因?yàn)閺目傮w數(shù)據(jù)是逐年上看，該地區(qū)從2000年到2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額升的，而從2000年到2009年間遞增的幅度較小些，從2010年到2016年間遞增的幅度較大些，所以，利用模型②的預(yù)測(cè)值更可靠些．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線性回歸方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．19．（12.00分）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k（k＞0）的直線l與C交于A，B兩，點(diǎn)|AB|=8．（1）求（2）求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．1）方法一：設(shè)直線AB的方程，代入拋物線方程，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)l的方程；【分析】（13如有幫助歡迎下載支持文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助歡迎下載支持。弦公式即可求得k的值，即可求得直線l的方程；方法二：根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式|AB|=，求得直線AB的傾斜角，即可求得直線l的斜率，求得直線l的方程；（2）根據(jù)過A，B分別向準(zhǔn)線l作垂線，根據(jù)拋物線的定義即可求得半徑，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求得圓心，求得圓的方程．【解答】解：（1）方法一：拋物線C：y=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），當(dāng)直線的斜率2不存在時(shí)，|AB|=4，不滿足；y=k（x﹣1），設(shè)A（x，y1），B（x，y2），12設(shè)直線AB的方程為：則，整理得：kx﹣2（k2+2）x+k2=0，則x1+x2=22，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k=1，則k=1，2∴直線l的方程y=x﹣1；方法二：拋物線C：y=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），設(shè)直線AB的傾斜角為θ，由拋物2線的弦長(zhǎng)公式|AB|===8，解得：sinθ=，2∴θ=，則直線的斜率k=1，∴直線l的方程y=x﹣1；（2）由（1）可得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為y﹣2=﹣（x﹣3），即y=﹣x+5，D（3，2），則直線AB的垂直平分線方程為x，y0），則，0解得：或，因此，所求圓的方程為（x﹣3）+（y﹣2）2=16或（x﹣11）+（y+6）=144．222【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的焦點(diǎn)弦公式，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查轉(zhuǎn)換思想思想，屬于中檔題．20．（12.00分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)．14如有幫助歡迎下載支持文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助歡迎下載支持。（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值．【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明PO⊥AC，PO⊥OB即可；（2）根據(jù)二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到結(jié)論．1）證明：連接BO，【解答】（∵AB=BC=2，O是AC的中點(diǎn)，∴BO⊥AC，且BO=2，又PA=PC=PB=AC=2，∴PO⊥AC，PO=2，則PB2=PO2+BO2，則PO⊥OB，∵OB∩AC=O，∴PO⊥平面ABC；（2）建立以O(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：A（0，﹣=（﹣2，2，0），設(shè)=λ=（﹣2λ，2λ，0），0＜λ＜1則=﹣=（﹣2λ，2λ，0）﹣（﹣則平面PAC的法向量為=（1，0，0），設(shè)平面MPA的法向量為=（x，y，z），則=（0，﹣2，﹣2），則?=﹣2y﹣2z=0，?=（2﹣2λ）x+（令z=1，則y=﹣，=（，﹣，1），2，0），P（0，0，2），C（0，2，0），B（2，0，0），2，﹣2，0）=（2﹣2λ，2λ+2，0），2λ+2）y=0x=，即15如有幫助歡迎下載支持文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助歡迎下載支持?！叨娼荕﹣PA﹣C為30°，∴cos30°=|=，即=，解得λ=或λ=3（舍），則平面MPA的法向量=（2，﹣，=（0，2，﹣2），PC與平面PAM所成角的正弦值sinθ=|cos＜，＞|=|1），|==．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間直線和平面的位置關(guān)系的應(yīng)用以及二面角，線面角的求解，建立坐標(biāo)系求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．21．（12.00分）已知函數(shù)（1）若a=1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，（2）若f（x）在（0，+∞）1）通過兩次求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可證明，f（x）=ex﹣ax2．f（x）≥1；a．只有一個(gè)零點(diǎn)，求【分析】（（2）方法離數(shù)參可得a=在（0，+∞）只有一個(gè)根，即函數(shù)y=a與G一、分只有一個(gè)交點(diǎn)．結(jié)合圖象即可求得（x）=的圖象在（0，+∞）a．方法二、：①當(dāng)a≤0時(shí)，②當(dāng)a≤0時(shí)，h（x）=1﹣ax2e﹣．x設(shè)函數(shù)（x）在（0，+∞）利用h′（x）=x（x﹣2）e，可得f（x）=ex﹣ax2＞0，f（x）在（0，+∞）沒有零點(diǎn)．．f（x）在（0，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)?h只有一個(gè)零點(diǎn)．h（x））在（h（x）圖象即可求得a．答】證明：（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=ex﹣x2．則f′（x）=ex﹣2x，令g（x）=ex﹣2x，則g′（x）=ex﹣2，0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，x﹣結(jié)合函數(shù)【解16如有幫助歡迎下載支持文檔從互聯(lián)網(wǎng)中收集，已重新修正排版，word格式支持編輯，如有幫助歡迎下載支持。令g′（x）=0，得x=ln2．當(dāng)x∈（∴g（x）≥g（ln2）=eln2﹣2?ln2=2﹣2ln2＞0，∴f（x）在[0，+∞）∴f（x）≥f（0）=1，2）方法一、，f（x）在（0，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)?方程ex﹣ax2=0在（0，ln2）時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x∈（ln2，+∞）g′（x）＞0，時(shí)，單調(diào)遞增，解：（0，+∞）只有一個(gè)根，?a=在（0，+∞）只有一個(gè)根，即函數(shù)y=a與G（x）=的圖象在（0，+∞）只有一個(gè)交點(diǎn)．G，當(dāng)x∈（G′（x）＜0，當(dāng)2，+∞）G′（x）＞0，∈（時(shí)，∴G（x）在（0，2）遞減，2，+∞）當(dāng)→0時(shí)，G（x）→+∞，當(dāng)→+∞時(shí)，G（x）→+∞，0，2）時(shí)，在（遞增，只有∴f（x）在（0，+∞）一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a=G（2）=．方法二：①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）=ex﹣ax2＞0，f（x）在（0，+∞）沒有零點(diǎn)．．②當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)函數(shù)h（x）=1﹣ax2e﹣x．f（x）在（（x）在（0，+∞）h′（x）=x（x﹣2）e，當(dāng)0，2）時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，0，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)?h只有一個(gè)零點(diǎn)．x∈（x﹣h′（x）＞0，∴h（x））在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，∴，（x≥0）．=1﹣＞0．h當(dāng)h（2）＜0時(shí)，即a，由于h（0）=1，x＞0時(shí)，e＞x，可得h