新高考視角下的導(dǎo)數(shù)新授課：泰勒展開式及應(yīng)用

泰勒展開式及其在命題中的應(yīng)用本講主要研究以泰勒展開式為背景的導(dǎo)數(shù)命題模式.泰勒展開式應(yīng)該是高中導(dǎo)數(shù)命題中最常用的高等背景，以其為背景的一階導(dǎo)數(shù)（切線）放縮，二階放縮等活躍于高考試題和各地模考試題中.本節(jié)，我們將通過一些典型例題來展示其中的泰勒身影，探析其中常見的命題手法.一．基本命題原理泰勒展開式（泰勒級(jí)數(shù)）：多項(xiàng)式：公式：泰勒公式時(shí)的麥克勞林公式：幾個(gè)重要的不等式由泰勒公式，我們可以得到幾個(gè)重要的不等式：3.1；3.2；3.3.3.4，3.5.，二．命題手法展示1.不等式放縮與恒成立例1.（2013新課標(biāo)Ⅱ）已知函數(shù)（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求,并討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明．命題手法分析：第二問考察泰勒一階展開式：，所以可得：，這就是第二問的命題背景.例2.（2021八省新高考適應(yīng)考試）已知函數(shù)，.（1）略；（2）若，求.命題手法分析：由泰勒展開：將上述三個(gè)式子相加，甩掉二次以上的項(xiàng)，就可以得到不等關(guān)系：因此，此題的背景就出來了，結(jié)果就是.下面我們嘗試對(duì)對(duì)數(shù)的泰勒展開式進(jìn)行變形處理：將代入上式，可得：，這就是下面這道高考試題的命題背景.例3.已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．解析：（2）即,嘗試泰勒展開，有,化簡(jiǎn)得,所以.例4.已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為正整數(shù)．若函數(shù)在處取得極值，且．（1）求的極值；（2）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（參考數(shù)據(jù)：）解析：（2）問題轉(zhuǎn)化為時(shí),恒成立因?yàn)樵谔幍奶├照共⑹綖樵谔幍奶├照归_式為,故有,根據(jù)題意,得,故實(shí)數(shù)的范圍是例5.（2015北京）已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求證：當(dāng)時(shí)，；（3）設(shè)實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，求的最大值．由上述結(jié)論易得結(jié)論，此處不再贅述.2.泰勒展開處理極值問題下面我們?cè)儆锰├展絹矸治?018年全國(guó)三卷的命題背景，這道題目當(dāng)年是全國(guó)卷中最難的一道導(dǎo)數(shù)題目，現(xiàn)在用泰勒公式來加以分析.例6.（2018全國(guó)卷Ⅲ）已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）若是的極大值點(diǎn)，求．命題手法分析：由泰勒展開式可得[1]：①可以看到，在附近，的函數(shù)值變化主要依賴于展開式中3次項(xiàng)，于是可以得到近似估計(jì)：，這樣的話，欲使得在處取得極大值，就必須使得，否則，由可知，不是函數(shù)的極大值點(diǎn).此時(shí)，將代入①中可得：顯然，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，于是此題的結(jié)果就出來了.注：此做法如果清楚命題背景，那就應(yīng)該明白前兩次導(dǎo)函數(shù)在處為零，即三階以上的導(dǎo)數(shù)才能求得參數(shù).例7.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則的取值范圍是A．B． C． D．解析：知在零處的泰勒展開為即,因?yàn)槭堑囊粋€(gè)極大值點(diǎn),所以二次項(xiàng)系數(shù)必須小于零，即,在處（帶有佩亞諾余項(xiàng)）的泰勒展開式為,一般應(yīng)用前兩項(xiàng)即可.當(dāng)時(shí)，也滿足最低偶次項(xiàng)即系數(shù)小于零，所以故答案為故選.例8.已知函數(shù)，．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若是的極大值點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．解析：(1)由題意,易證,詳細(xì)證明請(qǐng)看切線章節(jié),所以,故原式得證;(2)由泰勒展開式得,當(dāng)時(shí),有,故,即,故3.比較大小例9.（2022全國(guó)甲卷）已知，試比較三個(gè)數(shù)的大小.解析：根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù).則可以看到：，由于較小，所以對(duì)上述三個(gè)函數(shù)在處進(jìn)行四階泰勒展開：；，.顯然，在時(shí)，，故.（公眾號(hào)：凌點(diǎn)數(shù)學(xué)）習(xí)題演練練習(xí)1.（2017清華領(lǐng)軍計(jì)劃）已知函數(shù)，且，恒成立.則的取值范圍為_______.解析：由于令，，故對(duì)進(jìn)行二階泰勒展開可得：故，在的右臨域內(nèi)，函數(shù)的性態(tài)由其一次項(xiàng)決定，若，那么在內(nèi)，與題干矛盾，故.（公眾號(hào)：凌點(diǎn)數(shù)學(xué)）練習(xí)2.（2021山東模擬）已知函數(shù).（1）證明：時(shí)，；（2）設(shè)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，求的值.解析：（2）記，注意到時(shí)，.由于恒成立，故即為函數(shù)的極小值點(diǎn)（最小值點(diǎn)）.下面我們將與進(jìn)行泰勒展開：，，代入的表達(dá)式，于是可得：，故在處的泰勒展開：.可以看到，若，則存在實(shí)數(shù)使得在的鄰域滿足，這與為函數(shù)的極小值點(diǎn)（最小值點(diǎn)）矛盾，故得到.練習(xí)3．已