數(shù)列的特征值法與不動點法

A=11A=11，于是aB=— 、2=1+2”—1.例2.2已知數(shù)列｛a｝滿足a1=1,a2=2,4a2=4a1—a(”eN*)，求數(shù)列｛a｝的通項a形如|氣2=pa心+qa”型的遞推式：用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列｛匕-an_｝的形式求解。方法為：設an+2-ka”+i=h(a”+i-ka”)，比較系數(shù)得h+k=p,_hk=q，可解得h、k，于是｛an+i—ka)是公比為h的等比數(shù)列，這樣就化歸為an+1=pa”+q型。設遞推公式為a”+i=pa”+qa_1,其特征方程為擔=px+q，即x方法二：作特征方程x2-3x+2=0,解得x=1,x2=2:.a方法二：作特征方程x2-3x+2=0,解得x=1,x2=2:.a=Axi+Bx”=A+B-2”1、 若方程有兩相異實根x牛x，則a=Axn+Bxn；1 2 n1 22、 若方程有兩相等實根x1=x2，則a”=(A+Bn)x”.其中A,B可由初始條件確定?！?a(neN*)，求數(shù)列｛a”｝的通項a”例2.1已知數(shù)列｛a—2a(neN*)，求數(shù)列｛a”｝的通項a”方法一：令a+Xa=p(a+Xa)；于是(* 七解得J1 ［或J2》n+2 ”+1'n+1 ”' g=_2 早=2早=1a_a =2(a_a)；Aia_a｝是以1為初項，2為公比的等比數(shù)列.TOC\o"1-5"\h\z”+2 ”+1 ”+1 ” ”+1 ”a_a=2n-1 ①a"'-2a=a_2a；A｛a_2a｝是以-1為初項，1為公比的等比數(shù)列(常數(shù)列).”+2 ”+1 ”+1 ” ”+1 ”a-2a=—1 ②①-②得a=1+2n-1”注：①式錯位相消亦可解出a”.=(A+Bn)%w-i=(A+1=(A+Bn)%w-i=(A+1=A+B=|(A+2B)，解得A=—之，于是"=B=3 ?3n-22口-1方法——：化簡?=a——a,令a+ka=日(。+人a),n+2 n+14n 〃+2 n+1 n+1nTOC\o"1-5"\h\z/ r1|lx—X=1X=X=—于是.1,解得方法二：作特征方程4x2-4x+1=0,解得尤=尤方法二：作特征方程4x2-4x+1=0,解得尤=尤1 2LlA= 14 =~〔122a -1" =l(ia :.[aa[是以，為初項」為公比的等比數(shù)列n+2 2〃+1 2 h+1 2nIn+2 2〃+lJ2 2a --a =— 2n+ia -2，s =3」2，s｝是以1為初項，3為公差的等差數(shù)列.n+2 2H+l2幾+1 n+2 n+1 n+12s=1+3〃,*=1+3〃,.*=3〃-2〃+i w+i2〃n2〃-i分式數(shù)列a=".七*b通項公式n+—1=En="「，""Nc—1=En="「，""N分式線性遞推數(shù)列a="氣+?(a,b,c,deR,c豐0),其特征方程為尤=監(jiān)+七n+1c-a+d cx+d即cx2+(d—a)x—b=0,1、若方程有兩相異實根x黃x/則[當二|成等比數(shù)列，其公比為；1 2 [a-x2J a—cxc成等差數(shù)列，其公差為 a—cx02、若方程有兩相等實根xc成等差數(shù)列，其公差為 a—cx0Vn0例.(1)設數(shù)列4｝滿足a=3,a= -,求a.n1 n+1a+4n. 7x—2 解:令x= ，解得尤=1,x=2. —1=7a-2—1=6(a-1)n+1 a+4a+4nna—2=7nna—2=7a；—2—2=5(a—2)n+1 a+4兩式相除得￡二=6a—251是以心[a—2J a—2 =2-(9)n—1,.，.aa—2 5n n a+4a—1a—2=2為首項，5為公比的等比數(shù)列.4-6n-1—5n-12-6n-1—5n-1(2)已知數(shù)列｛%｝滿足匕=2,a=2—1,neN*，求通項a..n—1解：a=2—]= ——-，令x=~-,解得尤=1naa x 0a—1= ——,取倒數(shù)得一-—=—^n——=1+—-—na a—1a—1a—1n—1即L一^^