歷年高中數(shù)學聯(lián)賽真題分類匯編55復數(shù)

1/3備戰(zhàn)高中數(shù)學聯(lián)賽之歷年真題分類匯編(2015-2021)專題55復數(shù)第二緝1．【2016年福建預賽】已知z∈C.若關于x的方程x2?2zx+34+i=0【答案】1.【解析】設z=a+bi>i(a、b∈R)，x=x0為原方程的一個實根.則x?≥58+從而，|z|的最小值為1.2．【2016年安徽預賽】化簡i+12016【答案】2【解析】由i+12類似地，i?12016故i+120163．【2016年全國】設復z、w滿足z=3,z+wz?w【答案】65【解析】由運算性質(zhì)知:7+4i=z+由z2?z又z=3?則z+2w因此，z+2wz?2w4．【2016年上海預賽】復數(shù)z滿足z=1【答案】x【解析】因為z=1，所以，z設z2w=3cos消去θ，得點W所表示的曲線方程為x25．【2016年江蘇預賽】已知復數(shù)z1、z2滿足【答案】3520【解析】注意到，z=203=3520．①而當z1即z1=10+223因此，z16．【2016高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設復數(shù)z、w滿足|z|=3,(z+w)(z?w)=7+4i，其中i是虛數(shù)單位，z,w分別表示z、w【答案】65【解析】由運算性質(zhì)，7+4i因為|z|2與|w|故|z|又|z|=3，所以|w|從而(z+2w因此，(z+2w)(z7．【2015年全國】已知復數(shù)數(shù)列{zn}滿足z1=1，zn+1=【答案】2015+1007【解析】由已知得對一切正整數(shù)n，有zn+2=z故z2015故答案為：2015+10078．【2015年天津預賽】設復數(shù)z=cos4π7【答案】2【解析】由已知得z滿足方程z7由z7?1=z?1z6z1+z=1+=1+z分子為z==1+z+=21+z+故z1+9．【2015年四川預賽】已知復數(shù)z=4+2i【答案】3【解析】z10．【2015年安徽預賽】設z=x+yi（x?、??y∈R，【答案】3【解析】注意到，Re=?x?故滿足條件的點集為圓盤x?在實軸上方部分，計算得其面積為3π11．【2015年山東預賽】復數(shù)z滿足z=5,且3+4i【答案】z=±【解析】由已知得3+4iz?3+4i12．【2015年遼寧預賽】已知復數(shù)z=a+i(a∈R)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限,且z1+i>2.則實數(shù)【答案】a<?1【解析】由題意,知a<0.又z1+iz1+i?2a從而,a<?1.13．【2015年江蘇預賽】關于x的方程x2【答案】2?【解析】由x?a2又x2因為a<0，所以，a=2?14．【2015年湖南預賽】滿足使I=12【答案】3【解析】由I=1知所求n的最小值為3.15．【2015年福建預賽】在復平面內(nèi)，復數(shù)z1、z2、z3【答案】1,3【解析】設z1x1z1設復數(shù)z1+z由z1+z2?又OP=2，因此，2?1≤OZ3≤2+116．【2015高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】已知復數(shù)數(shù)列{zn}滿足z1=1,zn+1=zn+1+ni(n=1,2,?)，其中i為虛數(shù)單位，zn【答案】2015+1007【解析】由已知得，對一切正整數(shù)n，有zn+2于是z17．【2020年吉林預賽】設復數(shù)z1,z2在復平面上對應的點分別為A、B,且|z1|=4,4zA.83 B.43 C.63 【答案】A【解析】注意到,2z1則|z2|=8,z1故S=1218．【2019年吉林預賽】若復數(shù)z滿足|z|<1且z+1zA.45 B.34 C.12 【答案】C【解析】z+1z=z19．【2018年天津預賽】設復數(shù)z滿足z=1，i是虛數(shù)單位，則z+1A．42 B．43 C．52【答案】D【解析】注意z+1我們有z+1+i也就是說，它表示點z到3-4i的距離的2倍.由于z在單位圓上，易知上式的取值范圍是42故答案為：D20．【2017年天津預賽】設復數(shù)z滿足|z?|z+1||=|z+|z?1||,則下列判斷錯誤的是( )(A)z可能為純虛數(shù)(B)z可能為實數(shù)(C)z的實部小于2(D)z的輻角可能為π【答案】D【解析】提示：原式兩端平方,可得z?z+可整理得z+由此可見,要么z+z=0,即z為純虛數(shù);要么z+21．【2017年黑龍江預賽】復數(shù)z=2+i2(A)第一象限 (B)第二彖限 (C)第三象限 (D)第四象限【答案】B【解析】提示：根據(jù)復數(shù)運算法則可知,Z=?22．【2016年四川預賽】若復數(shù)z=32+A．-1B．?iC．iD．1【答案】D【解析】易得z3=i，則23．【2016年遼寧預賽】設復數(shù)z滿足|z|=1.則|zA．42B．33C．2【答案】B【解析】由條件不妨設z=a+bi．于是，a2+b故|z易知，當b=12時，上式取最大值27．從而，所求的最大值為24．【2021年全國高中數(shù)學聯(lián)賽A卷一試】已知復數(shù)zn滿足z1=32【答案】3【解析】對n∈N?an因此an又由z1=32知,進而bn+1即bn所以當n≥2時,于是z202125．【2019年全國】稱一個復數(shù)數(shù)列zn為“有趣的”，若|z1|=1，且對任意正整數(shù)n，均有4zn+12+2znzn+1【答案】3【解析】一方面，取z1=1,z則limm→∞z1另一方面，由條件可得zn+1=zn2ω±1，不失一般性，可不妨設z及z2=ω2（否則可用z設zn=ω記集合Ai并設A2=u則u1故uiz1=3≥Re=n∈=n∈≥3即Cmax26．【2019高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第01試）】稱一個復數(shù)數(shù)列{zn}為“有趣的”，若|z1|=1，且對任意正整數(shù)n，均有4zn+12+2znzn+1+【答案】3【解析】考慮有趣的復數(shù)數(shù)列{zn}.歸納可知zn≠0(n∈N+).由條件得4zn+1z因此zn+1故zn=z1進而有zn+zn+1記Tm當m=2s(s∈N+)時，利用②可得Tm當m=2s+1(s∈N+)時，由①、②可知z2s+1故Tm當m=1時，T1以上表明C=3另一方面，當z1=1,z2k此時lims→∞這表明C不能大于33綜上，所求的C為3327．【2019高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第01試）】設復數(shù)數(shù)列{zn}滿足:z1=1，且對任意正整數(shù)n，均有證明:對任意正整數(shù)m，均有z1【答案】證明見解析【解析】歸納可知zn≠0n∈解得zn+1因此zn+1zn=zn+1進而有zn+zn+1當m為偶數(shù)時，設m=2s(s∈N+).利用②可得z1當m為奇數(shù)時，設m=2s+1(s∈N).由①、②可知z2s+1故z1綜上結論獲證28．【2017高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第01試）】設復數(shù)z1,z2滿足Rez1>0,Rez(1)求Rez(2)求z1【答案】(1)2；(2)42【解析】(1)對k=1、2，設zk由條件知xk因此Re=?y又當z1=z這表明，Rez(2)對k=1、2，將zk對應到平面直角坐標系xOy中的點Pkxk,yk，記P2'是P設F1,F2分別是根據(jù)雙曲線的定義