數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化方法

數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化方法問(wèn)題1：將一個(gè)人的體重和身高相加在一起有無(wú)什么意義？答：量綱(就是單位)不同的量相加是沒(méi)有意義的。不加處理就將兩個(gè)不同量綱的量相加這是數(shù)學(xué)建模的大忌！問(wèn)題2：如何將一個(gè)人的體重G和身高H這兩個(gè)指標(biāo)綜合為一個(gè)指標(biāo)用以評(píng)價(jià)一個(gè)人身材？答：通?？紤]加法模型和乘法模型。乘法模型在這里不太適合，故考慮加法模型，一般采用加權(quán)組合的方式，即P=wG+wH，這里w+w=1,但是這樣就犯了一個(gè)嚴(yán)重的錯(cuò)誤。1212因此需要先對(duì)G,H進(jìn)行預(yù)處理?無(wú)量綱化，也就是數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化方法。數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化方法主要有以下三種：規(guī)范化方法對(duì)序列x,x,???，x進(jìn)行變換：12nx-min{x}y—1Wj§njimax{x}一min{x}1§j§nj1§j§nj則新序列y,y,???，ye[0,1]且無(wú)量綱。一般的數(shù)據(jù)需要時(shí)都可以考慮先進(jìn)行規(guī)范化處TOC\o"1-5"\h\z12n理。正規(guī)化方法對(duì)序列x,x,???,x進(jìn)行變換：12ny—，這里；—-￡x,s——￡(x一；)2{sn°n一1：—1i—1則新序列y,y,???,y的均值為0，而方差為1，且無(wú)量綱。12n歸一化方法對(duì)正項(xiàng)序列x,x,???,x進(jìn)行變換：12nxy=—i￡nxi—1則新序列y,則新序列y,y,???,12ye[0,1]且無(wú)量綱，并且顯然有￡ny—1。i歸一化方法在確定權(quán)重時(shí)經(jīng)常用到。針對(duì)實(shí)際情況，也可能有其他一些量化方法，或者要綜合使用多種方法，總之最后的結(jié)果都是無(wú)量綱化。

例1：DVD分發(fā)問(wèn)題中滿(mǎn)意度的量化現(xiàn)有20種dvd要分發(fā)給100個(gè)會(huì)員,規(guī)定如果要向某人發(fā)放DVD,則一次發(fā)給3張，問(wèn)如何對(duì)這些DVD進(jìn)行分配，才能使會(huì)員獲得最大的滿(mǎn)意度?DVD編號(hào)DVD現(xiàn)有數(shù)量C0001C0002會(huì)員偏C0003DVD編號(hào)DVD現(xiàn)有數(shù)量C0001C0002會(huì)員偏C0003好C0004C0005D001D002D003D004D005122108002109D00640000007060000000450000注：表中的數(shù)字越小表示會(huì)員的偏愛(ài)程度越高，數(shù)字0表示對(duì)應(yīng)的DVD當(dāng)前不在會(huì)員的訂單中。解：我們考慮三種方法進(jìn)行變換，然后對(duì)它們進(jìn)行比較。利用公式f(x)=(11-x)/101利用公式f(x)=1/x2利用模糊數(shù)學(xué)中的隸屬函數(shù)的概念，選取合適的函數(shù)，對(duì)滿(mǎn)意度進(jìn)行量化f(x)=aln(11-x)+b,1<x<10，這里a,b為待定常數(shù)3令f(1)=1,f(10)=0.05代入可得a,b。33f(f(x)=0.41258ln(11-x)+0.05,1<x<103結(jié)論：方法1可行；方法2不太可??；方法3可行。注意：無(wú)論采用哪一種方法，對(duì)每一個(gè)會(huì)員的滿(mǎn)度度均需要作歸一化處理，使得每一個(gè)會(huì)員對(duì)選中的DVD的滿(mǎn)意度之和等于1，(算出的每人的滿(mǎn)意度或綜合滿(mǎn)意度都應(yīng)該介于0-1之間)。

例2：長(zhǎng)江水質(zhì)的定量綜合評(píng)價(jià)（2005年賽題）表是《地表水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》，給出了水質(zhì)類(lèi)別的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)。序號(hào)W準(zhǔn)值項(xiàng)目、\I類(lèi)II類(lèi)皿類(lèi)W類(lèi)V類(lèi)劣V類(lèi)1溶解氧（DO）三7.5（或飽和率90%）653202高錳酸鹽指數(shù)（CODMn）W2461015oo3氨氮（NH3-NW0.150.51.01.52.0oo4PH值（無(wú)量綱）69表給出了17個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的水質(zhì)情況。序號(hào)點(diǎn)位名稱(chēng)斷面情況主要監(jiān)測(cè)項(xiàng)目（單位:mg/L）水質(zhì)類(lèi)別pH*DOCODMnNH3-N本月1四川攀枝花干流7.66.80.20.1II2重慶朱沱干流（川-渝省界）7.638.412.80.34II3湖北宜昌南津關(guān)干流（三峽水庫(kù)出口）7.077.815.80.55III4湖南岳陽(yáng)城陵磯干流7.586.472.90.34II5江西九江河西水干流（鄂-贛省界）7.346.191.70.13II6安徽安慶皖河口干流7.526.543.20.22II7江蘇南京林山干流（皖-蘇省界）7.786.93.10.11II8四川樂(lè)山岷江大岷江（與大渡河匯合7.664.25.80.53IV9四川宜賓涼姜溝岷江（入長(zhǎng)江前）8.017.632.40.25II10四川瀘州沱江二沱江（入長(zhǎng)江前）7.634.023.61.06IV11湖北丹江口胡家丹江口水庫(kù)（庫(kù)體）8.6310.21.80.1I12湖南長(zhǎng)沙新港湘江（洞庭湖入口）7.426.454.30.99III13湖南岳陽(yáng)岳陽(yáng)樓洞庭湖出口7.736.261.40.21II14湖北武漢宗關(guān)漢江（入長(zhǎng)江前）86.432.40.17II15江西南昌滁槎贛江（鄱陽(yáng)湖入口）6.645.181.10.92III16江西九江蛤蟆石鄱陽(yáng)湖出口7.286.872.70.15II17江蘇揚(yáng)州三江營(yíng)夾江（南水北調(diào)取水7.296.91.60.15II分析水質(zhì)的類(lèi)別的確定可知口）它是由首要污染物決定的。請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)對(duì)長(zhǎng)江當(dāng)前的水質(zhì)情況做出定量的綜合評(píng)價(jià)。解：1、數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理溶解氧是極大型指標(biāo)（指標(biāo)越大，水質(zhì)越好），PH值是居中型指標(biāo)，其余兩種是極小型指標(biāo)，統(tǒng)一進(jìn)行極小型處理。1TOC\o"1-5"\h\z（1）溶解氧：P*=——,i=1,2,??.，17（共有17個(gè)觀測(cè)點(diǎn)）i1Pi1(2)PH值：P*=P一7,i=1,2,.??,17i4i4然后對(duì)P*,P*,P*,P*進(jìn)行規(guī)范化處理，即:i1i2i3i4P*一minx=~ji,i=1,2,?.?,17,j=1,2,3,4ijmax一miniiTOC\o"1-5"\h\z得到規(guī)范化矩陣X=（X），這里xG[0,1]且無(wú)量綱。i17X4ij2、確定四種指標(biāo)的權(quán)重（變權(quán)函數(shù)的確定）原則