空間中的平行與垂直證明技巧

空間中的平行與垂直證明技巧一.【學(xué)習(xí)目標(biāo)】熟練掌握線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)，會(huì)把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.學(xué)會(huì)應(yīng)用“化歸思想”進(jìn)行“線線問(wèn)題、線面問(wèn)題、面面問(wèn)題”的互相轉(zhuǎn)化.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.熟練掌握空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；運(yùn)用公理、定理證明或判定空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.不論何種“垂直”都能化歸到“線線垂直”二【知識(shí)點(diǎn)及方法歸納】1.直線與平面平行的判定判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線,那么這條直線和這個(gè)平面平行，即a〃b,a^a,buana〃a.如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行，則a〃“.2?直線與平面平行的性質(zhì)如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交；那么這條直線就和平面平行，即a//a，au",aO0=b，.3.直線與平面垂直的判定(定義)如果一條直線和平面內(nèi)任意一條直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直.(判定定理1)如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面?用符號(hào)語(yǔ)言表示為：若mua，nua，mCln=B,l丄m,l丄n,貝VIda.如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.用符號(hào)語(yǔ)言表示為：若a〃b,a丄a,貝9b丄a.(面面垂直的性質(zhì)定理)如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.(兩平面平行的性質(zhì)定理)如果兩個(gè)平面平行，那么與其中一個(gè)平面垂直的直線也與另一個(gè)平面垂直.如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.4??兩平面平行的判斷方法依定義采用反證法.依判定定理通過(guò)說(shuō)明一平面內(nèi)有兩相交直線與另一平面平行來(lái)判斷兩平面平行.依據(jù)垂直于同一直線的兩平面平行來(lái)判定.依據(jù)平行于同一平面的兩平面平行來(lái)判定.5?平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化程序線線平行」'線面平行I」'面面平行從上易知三者之間可以進(jìn)行任意轉(zhuǎn)化，因此要判定某一平行的過(guò)程就是從一平行出發(fā)不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程.在解題時(shí)要把握這一點(diǎn)，靈活確定轉(zhuǎn)化思路和方向.三【解題方法總結(jié)】?證明直線與平面平行和直線與平面垂直常運(yùn)用判定定理，即轉(zhuǎn)化為線線的平行與垂直關(guān)系來(lái)證明.?直線與平面平行的判定方法：aria=03a〃a(定義法)，a〃baCaPalla，bua>這里a表示平面，a，b表示直線.3.證明線面垂直的方法主要有：(以下A為點(diǎn)，m，n，1，a，b表示直線，a，0表示平面)利用線面垂直的定義：a與a內(nèi)任何直線垂直P(pán)a丄a；利用判定定理：m，nua,mAn=A!戶1丄a；1丄m，1丄n ‘利用第二判定定理：alb，a丄a，則b丄a；利用面面平行的性質(zhì)定理：a〃0，a丄a，則a丄0.利用面面垂直的性質(zhì)定理：a丄0，aA0=1，aua，a丄1，貝Ua丄0.4?面面垂直的證明方法：⑴利用定義：a和卩所成的二面角為直二面角Pa丄卩；(2)利用判定定理：若a丄卩，aua，則a丄卩.5?性質(zhì)定理的恰當(dāng)應(yīng)用：⑴若a丄卩，alH卩=1，aua，a丄1，則a丄卩，用來(lái)證明線面垂直，也用來(lái)確定點(diǎn)到平面的垂線段⑵若a丄卩，點(diǎn)P^a，P^a，a丄卩，則aua.5.垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化程序線線垂直□□口線面垂直□□口面面垂直.四.【典例分析及訓(xùn)練】（一）平面的性質(zhì)例1下列命題正確的是（ ）A?在空間中兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線平行—條直線與一個(gè)平面可能有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)C?經(jīng)過(guò)空間任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面D.若一個(gè)平面上有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行【答案】B【解析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)和空間中兩直線的位蠱關(guān)系，逐一判定，即可得到答案?！驹斀狻坑深}意，對(duì)于電中，在空間中兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線平行或異面，所以■不正確；對(duì)于E中，當(dāng)一條直線在平面內(nèi)時(shí)，此時(shí)直線與平面可能有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，所以是正確的，對(duì)于C中，經(jīng)過(guò)空間不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，所以是錯(cuò)誤的,對(duì)于D中，若一個(gè)平面上有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行或相交，所以不正確，故選瓦【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面的基本性質(zhì)和空間中兩直線的位置關(guān)系，其中解答中熟記平面的基本性質(zhì)和空間中兩直線的位置關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題。練習(xí)1.正三棱柱"丫兒"心中,所有棱長(zhǎng)均為2,點(diǎn)/丿分別為棱"八"I的中點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)"/作一截面，則截面的周長(zhǎng)為（）a2厲+抽 2^5+1^13 2需+字A? B? C? D?【答案】B【解析】在正三棱柱川丄中，延長(zhǎng)川?和；交于點(diǎn)M,連接劇,交"心于點(diǎn)'，分別連接則過(guò)點(diǎn)山川的截面為四邊形""，利用正三棱柱的結(jié)構(gòu)特征，分別利用勾股定理和余弦定理，即可求解【詳解】在正三棱柱川" 中，延長(zhǎng)川和：交于點(diǎn)m,連接加，交"心于點(diǎn)",分別連接⑴"，則過(guò)點(diǎn)■兒“的截面為四邊形W如圖所示，MFC]可得—MFC]可得—=2，TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"叫叫P52 4 2\o"CurrentDocument"=—==— PCq—一 —一則Y心.二，解得:，則r在直角^AAtF中，血1=甜嚴(yán)=1，則亦=嚴(yán)=、乎+〃*￡在直角AXFE中，朋=2月￡=1，貝嚴(yán)去=轟甘'+丘0=+公+ =半,在直角AE^EP中,在直角AE^EP中,4在碼FP中，屮為如片誠(chéng)PF2=C,F2+C,P2-2C.FC^PcosjlPC^F=12+(4)^-2X1x-cos6(fi=—由余弦定理可得1 1 J 1 J 3 M 9，PF=-—即 :，所以截面的周長(zhǎng)為'2 '，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何體的截面問(wèn)題，其中解答中根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用平面的性質(zhì)找出幾何體的截面的形狀是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題練習(xí)2.在空間四邊形川的各邊?；'?：?’'?■-上的依次取點(diǎn)"、/、&、"，若“所在直線相交于點(diǎn)廠，則（）點(diǎn)廠必在直線"上 B.點(diǎn)廠必在直線"上點(diǎn)廠必在平面"％外 D.點(diǎn)廠必在平面川M內(nèi)【答案】B【解析】由題意連接EH、FG、BD,則PWEH且PWFG，再根據(jù)兩直線分別在平面ABD和BCD內(nèi)，根據(jù)公理3則點(diǎn)P一定在兩個(gè)平面的交線BD上.【詳解】如圖：連接EH、FG、BD,?:EH、FG所在直線相交于點(diǎn)P,APGEH且PWFG,?:EHu平面ABD,FGu平面BCD,.?.PW平面ABD,且PW平面BCD,由?：平面ABDQ平面BCD=BD,：.PWBD,故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查公理3的應(yīng)用，即根據(jù)此公理證明線共點(diǎn)或點(diǎn)共線問(wèn)題，必須證明此點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，可有點(diǎn)在線上，而線在面上進(jìn)行證明.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間異面直線的位置關(guān)系，考查線面平行等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題練習(xí)2.已知兩條不同的直線⑺和兩個(gè)不同的平面〃，有如下命題:若Zua,mua,2||0,m||0，則all"；若皿,則口川；

若r1"，門(mén)"，貝?其中正確的命題個(gè)數(shù)為A.° B.1 C. D.彳【答案】B【解析】利用線面平行的性質(zhì)定理和判定定理對(duì)三個(gè)命題分別分析解答.【詳解】對(duì)于①，若兒"，「和J//",川//",貝卜與汙可能相交；故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若兒"，/億一"巴滿足線面平行的性質(zhì)定理，故億^;故②正確；對(duì)于③，若八",",如果兒"，則門(mén)二故③錯(cuò)誤；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是正確運(yùn)用定理進(jìn)行分析解答.（五）面面關(guān)系例5.已知〃是不同的平面，川川是不同的直線，貝y下列命題不正確的是（ ）A.A.若肌丄伉，m//n,nu"，貝嚴(yán)丄“C.若皿加，川」J貝胖1w若m/加，優(yōu)肌，貝卩比//伉，“//"若"」「，川I仔，貝卜/7“【答案】B【解析】由面面垂直的判定定理，判斷A；由線面位置關(guān)系判斷B；由線面垂直定理判斷C；由面面平行判斷D；【詳解】九由線面垂直定理、面面垂直定理，矢口：若用-4瑜臚：」匚久貝強(qiáng)_耳故為正確：E若ggar 貝収匚心必或n//a?nc久或心化」”為故E錯(cuò)；由線面垂直定理,知：若m//n,用_心貝\\nla,（垂直于同一個(gè)面的兩條直線互相平行）故C正確;由面面平行定理,知：若加丄叭也丄伏貝惟”①〔垂直于同一條線的兩個(gè)平面互相平行）故D正確因此選E【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中線面、面面位置關(guān)系，需要考生熟記線面平行于垂直、面面平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理，難度不大.練習(xí)1.設(shè)"兒為三個(gè)不同的平面，川為兩條不同的直線，貝g下列命題中假命題是（）A.當(dāng)"1/時(shí)，若川卄,則八1 B.當(dāng)八1"時(shí)，若""，則曲九c.當(dāng)小4""時(shí)，若，貝嚴(yán)川是異面直線 D.當(dāng)曲”，”，，若—，貝F【答案】C【解析】對(duì)于A，根據(jù)平面與平面平行、垂直的性質(zhì)，可得正確；對(duì)于B,根據(jù)平面與平面平行、線面垂直的性質(zhì)，可得正確；

對(duì)于C,川可能異面，也可能平行，故錯(cuò)誤；對(duì)于D,由心汕,，可知川畀，又小”，所以/J,可得正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了空間線面垂直、面面垂直、面面平行的性質(zhì)定理和判定定理的運(yùn)用；牢固掌握運(yùn)用定理是關(guān)鍵.練習(xí)2.設(shè)“心為兩兩不重合的平面，匚m為兩兩不重合的直線，給出下列四個(gè)命題：①若，貝卜“；②若/c /，“「，⑷/汗，"仔，則/ “；③若"“，兒"，貝卩“；④若o" 「，“門(mén)f 川，“2 ”，r『，則川”其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】對(duì)于①，②可在正方體中舉例說(shuō)明它們錯(cuò)誤即可。對(duì)③利用面面平行的定義即可判斷其正確，對(duì)于④利用線面平行的性質(zhì)來(lái)證明即可?！驹斀狻繉?duì)照下圖，對(duì)于①,平面力打?qū)τ冖?平面力打DD=仔平面彳BB'/T=y滿足'* 鳥(niǎo)但是二與介不平行。所以①錯(cuò)誤。對(duì)于②，令平面4BCD=優(yōu)，平面力BCD=“，=n^'^'=m滿足小J"一，曲/"，"，但是:與汀不平行，所以②錯(cuò)誤。對(duì)于③，利用面面平行的定義即可判斷③正確，tc/?對(duì)于④，詢 ，同理可得："加，所以肌也，所以④正確。故選：B?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了面面平行的判斷及線面平行的判斷，還考查了線面平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。（六）線面平行的判定EF=-例6.如圖，正方體，V" -'■；■"的棱長(zhǎng)為1,線段〃八上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)卜：、卜，且 》，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

rfriT■ 1 k:\人1■1R 'C?——Ju-'■L■k??A.」必 B.三棱錐月W的體積為定值"〃平面川工" D.△川/的面積與的面積相等【答案】D【解析】；川在平面川兀"的投影所在直線為由三垂線定理可以得到皿「圧，故正確」，由幾何體的性質(zhì)及圖形可知，故可得三棱錐以為底面，點(diǎn)A到面川 的距離為的高，△11 1 y/2必"的面積'!，點(diǎn)A到面的距離為 ：，則三棱錐月"以的體積為定值,故正確；由正方體可得平面wm平面‘m八，又必’平面兒"心仏，則八〃平面川故正確由題可知，△川八兒為等腰三角形，到線段廠的距離為△川八兒的高，'點(diǎn)到線段八的距離為恥,a/5亍陰1=1亍陰1=1；°；也EEF=二工I旳X1故△川丁的面積與△必"的面積不相等，故錯(cuò)誤。故選二St.AEF^^區(qū)卩1x_ys【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中線面的關(guān)系，運(yùn)用線面平行、垂直來(lái)解答，在解答體積問(wèn)題時(shí)注意高的取值，屬于中檔題練習(xí)1如圖是幾何體的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABCD為正方形,E,F分別為PA,PD的中點(diǎn)，在此幾何體中,給出下面4個(gè)結(jié)論：①直線BE與直線CF共面；②直線BE與直線AF異面；③直線EF〃平面PBC； ④平面BCE丄平面PAD.其中正確的有（）A.1個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.4個(gè)

【答案】B【解析】①連接EF,由E、F分別為PA、PD的中點(diǎn)，可得EF〃AD,從而可得E,F,B,C共面，故直線BE與直線CF是共面直線；根據(jù)EW平面PAD,AFu平面PAD,E年AF,B年平面PAD,可得直線BE與直線AF是異面直線；由①知EF〃BC,利用線面平行的判定可得直線EF〃平面PBC；由于不能推出線面垂直，故平面BCE丄平面PAD不成立.【詳解】【詳解】連接EF,貝yTE、F分別為PA、PD的中點(diǎn)，??.EF〃AD,TAD〃BC,???EF〃BC,???E,F,B,C共面,???直線BE與直線CF是共面直線，故①正確；VEG平面PAD,AFu平面PAD,E年AF,B年平面PAD,?直線BE與直線AF是異面直線，故②正確；由①知EF〃BC,TEFQ平面PBC,BCu平面PBC,?直線EF〃平面PBC,故③正確；由于不能推出線面垂直，故平面BCE丄平面PAD不成立.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查空間線面位置關(guān)系，考查異面直線的判定，考查線面平行，屬于中檔題.練習(xí)2.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體"'■■■：'；：中，"皿分別是棱川川「5的中點(diǎn)，"是底面山"內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線"（與平面"皿不存在公共點(diǎn)，貝0三角形的面積的最小值為A. B.1 C. D.【答案】C【解析】延展平面“5可得截面以G"川,其中"、隊(duì)用分別是所在棱的中點(diǎn)，可得；'平面必皿"，再證明平面平面川川護(hù),可知"在爲(wèi)上時(shí)，符合題意，從而得到"與重合時(shí)三角形的面積最小,進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】延展平面必5可得截面上?"小,其中“、。、尺分別是所在棱的中點(diǎn)，直線""與平面不存在公共點(diǎn)，所以"f'7平面川川卩,由中位線定理可得心汕卜；“在平面卜匸（川（小內(nèi)，山在平面門(mén)外，所以山平面卜川川QR,因?yàn)閺S"與皿在平面"匚內(nèi)相交，所以平面"小"平面人?"小，所以住鳥(niǎo)上時(shí)，直線:F與平面"口不存在公共點(diǎn)，因?yàn)榇ㄘc窪垂直，所以"與:重合時(shí)刖最小，PBB 計(jì)”-\；2此時(shí)，三角形一的面積最小，最小值為： ，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理、面面平行的判定定理，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面（七）面面平行的判定例7.如圖，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD丄平面ABCD，NB丄平面ABCD,且MD=NB=1,E為MC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（ ）A.平面皿上'平面ABN b. 1兒、C.平面KJ平面AMN D.平面平面AMN【答案】C【解析】分別過(guò)A，C作平面ABCD的垂線AP,CQ,使得AP=CQ=1,連接PM,PN,QM,QN,將幾何體補(bǔ)成棱長(zhǎng)為1的正方體.練習(xí)1.a,b,c為三條不重合的直線，a,卩，y為三個(gè)不重合的平面，給出的下列命題中，正確的個(gè)數(shù)為A.1二 伉//c]a〃A.1二 伉//c]a〃b；③"川」D.4a〃卩;優(yōu)//￡④ a〃卩.【答案】Ba//c「 a//—【解析】①由平行公理4知—a〃b正確.②w"a〃b或a與b相交或異面均可，故不正確;?IIq 作〃XI與③訂「na〃卩或a，卩相交，不正確；④―門(mén)’a〃卩，由面面平行的性質(zhì)知正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及平面與平面平行的判定，同時(shí)考查了對(duì)定理的理解,屬于綜合題.練習(xí)2.幾何體ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，M、N分別是下底面棱A1B1>B1C1的中點(diǎn)，P是a上底面棱AD上底面棱AD上的一點(diǎn),yf2a 2y/2aA. B.'TOC\o"1-5"\h\z'，過(guò)P、M、N三點(diǎn)的平面交上底面于PQ,Q在CD上，則PQ等于（ ）yf2a aC.' D.【答案】B【解析】???平面ABCD〃平面A1B1C1D1，MNu平面人嚴(yán)&卩]AMN〃平面ABCD,又卩0=面PMNA平面ABCD,?：MN〃PQ.???M、N分別是???M、N分別是A”］、B1C1的中點(diǎn) ???MN〃A］C1〃AC,aAP=-又:,ABCD-A1B1C1D］是棱長(zhǎng)為a的正方體,2aDP=DQ=—從而'',.??PQ〃AC,aCQ=-

丄3PQ=^Q2+DP2= +學(xué)故選B.【點(diǎn)睛】本題考查平面與平面平行的性質(zhì)，是立體幾何中面面平行的基本題型，本題要求靈活運(yùn)用定理進(jìn)行證明.（十）例10?如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA丄平面ABC,則下列結(jié)論正確的是（）A.PB丄AD B.平面PAB丄平面PBC C.直線BC〃平面PAE D.直線CD丄平面PAC【答案】D【解析】因?yàn)锳D與PB在平面ABC內(nèi)的射影AB不垂直，所以A答案不正確.過(guò)點(diǎn)A作PB的垂線，垂足為H,若平面PAB丄平面PBC,則AH丄平面PBC,所以AHIBC.又PA丄BC,所以BC丄平面PAB,則BC丄AB,這與底面是正六邊形不符，所以B答案不正確.若直線BC〃平面PAE,則BC〃AE,但BC與AE相交，所以C答案不正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查線面位置關(guān)系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型：（1）證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；（2）證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；（3）證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.練習(xí)1.如圖，在正方形ABCD中，E,F分別是BC,CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE,AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B,C,D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H,那么，在這個(gè)空間圖形中必有A.AG丄平面EFH B.AH丄平面EFH C.HF丄平面AEFD.HG丄平面AEF【答案】B【解析】分析折疊前與折疊后位置關(guān)系、幾何量的變與不變，可得HA、HE、HF三者相互垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理，進(jìn)而可判斷.【詳解】分析折疊前與折疊后位置關(guān)系、幾何量的變與不變，可得HA、HE、HF三者相互垂直，???AH丄平面EFH,B正確；?.?過(guò)A只有一條直線與平面EFH垂直，?A不正確；TAG丄EF,EF丄AH,?EF丄平面HAG,?平面HAG丄AEF,過(guò)H作直線垂直于平面AEF,—定在平面HAG內(nèi)，??C不正確；.HG不垂直于AG,?HG丄平面AEF不正確，D不正確.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題了考查直線與平面垂直的判定，一般利用線線O線面O面面，垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化判斷，屬于中檔題.練習(xí)2.如圖，四棱柱"：；；!-；：中，以分別是小、的中點(diǎn)，下列結(jié)論中，正確的是（）￡￡A.EF丄B.肋丄平面肌5叭 C.麗//平面久必 D."http://平面MC/i【答案】D【解析】連接八交氷于"，由于四邊形必「山是平行四邊形，對(duì)角線平分，故"是八'的中點(diǎn)?因?yàn)槎?的中點(diǎn)，所以⑺是三角形山必的中位線，故W所以必打平面故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和平面的位置關(guān)系，考查棱柱的側(cè)面是平行四邊形這一幾何性質(zhì)，還考查了三角形的中位線以及線面平行的證明.兩條直線平行，在直觀圖中，這兩條直線是平行的，通過(guò)直觀感知"uw,再根據(jù)線面平行的判定定理即可得出正確的選項(xiàng)?屬于基礎(chǔ)題.（十^一）面面垂直例11.如圖，在三棱錐Lm中，平面F川八平面川nw為等邊三角形，山m 其中"詡分別為w啲中點(diǎn)，則三棱錐匚的體積為（）

a/3 a/3 a/3 a/3A.Y B.】 C.「D.1【答案】D【解析】在等腰直角三角形為CE中,AC=3C=y2,.\^=2,0C=1,等邊三角形VAB的邊長(zhǎng)為2,%才王?■Q同分別為A3,VA的中點(diǎn)■?理"=遼噸=壬又T平面附日-平面加匚平面廠加「平面加匸=腫又0C丄A3:.'.OC丄平面VAB,?■?三棱錐= 二汀套X：=1故選二n亠 —X【點(diǎn)睛】本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查體積的計(jì)算，正確運(yùn)用平面與平面垂直的性質(zhì)定理是關(guān)鍵，是中檔題.練習(xí)1?如圖所示，四棱錐的底面方正方形，側(cè)面山"為等邊三角形，且側(cè)面宀"I底面川江",點(diǎn)洞在底面正方形川H"內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且滿足仲\江，則點(diǎn)訶在正方形川的軌跡一定是（ ）B.C.ffB.C.ff【答案】B【解析】先確定軌跡是2個(gè)平面的交線，PC的中垂面a和正方形ABCD的交線，再確定交線的準(zhǔn)確位置,即找到交線上的2個(gè)固定點(diǎn).【詳解皿，???點(diǎn)"在匕的中垂面:上，???點(diǎn);在正方形川工"內(nèi)的軌跡一定是平面:和正方形川《廠的交線.???川憶"為正方形，側(cè)面山"為等邊三角形，???〃 取二的中點(diǎn)"，有"I■.取川,'的中點(diǎn)二易知又?:皿，1平面"/爪，即平面;”與平面川爪重合.???點(diǎn)"在正方形川工"內(nèi)的軌跡一定是線段〃"?故選B.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的性質(zhì)，軌跡的確定方法練習(xí)2.如下圖，梯形川“"中，川）〃/工皿1,川門(mén)川/工"］「，將八川⑴沿對(duì)角線"折起.設(shè)折起后點(diǎn)'的位置為円，并且平面」平面必"?給出下面四個(gè)命題：a/2?」從；②三棱錐4%"的體積為??；③I平面W;④平面.1必丨平面川"?其中正確命題的序號(hào)是（）A.①②B.③④C.①③ D.②④【答案】B【解析】利用折疊前四邊形川中的性質(zhì)與數(shù)量關(guān)系，可證岀川八"「，然后結(jié)合平面川⑴I平面必”，2丄■癥/遲二退可得m八平面?、?從而可判斷①③；三棱錐月必"的體積為'：心 “：：，可判斷②；因?yàn)椤蛊矫姘伺f）,從而證明，再證明J平面，工,然后利用線面垂直證明面面垂直.【詳解】①■『丄HMD=9。=AU =Zj!/?.D=45ADfjRCfRCB=45二打廠丨」丁平面門(mén)刃；_l平面h「一「，且平面門(mén)〃/；n平面qu二⑴；1，。。?！?；］平面‘if0（平面?"■"""，故八"卜乩不成立，故①錯(cuò)誤；②棱錐月血"的體積為?冷?屈乎蟹32 2b,故②錯(cuò)誤；③由①知「"I平面故③正確；④由①知G八平面川川,又“八平面小"，.*.CDLAB，乂ABLAD,^ADCDc.平面4DC, =Dn平面川"「，又川兒平面月弘，平面AH（- 1平面川"「，故④正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題通過(guò)折疊性問(wèn)題，考查了面面垂直的性質(zhì)，面面垂直的判定，考查了體積的計(jì)算，關(guān)鍵是利用好直線與平面、平面與平面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，也要注意利用折疊前后四邊形中的性質(zhì)與數(shù)量關(guān)系.(十二)平行垂直綜合例12.如圖，四邊形ABCD是圓柱OO啲軸截面，點(diǎn)P在圓柱OO,的底面圓周上，圓柱OO,的底面圓的半徑OA=1,側(cè)面積為2n,ZAOP=60°.求證：PB丄平面APD；是否存在點(diǎn)G在PD上，使得AG丄BD；并說(shuō)明理由.求三棱錐D-AGB的體積.【解析】(1)由川為圓的直徑，可得"IPA,再由川八平面幾川,得川八川然后利用線面垂直的判定可得⑴門(mén)平面川⑴;存在，當(dāng)點(diǎn)是"中點(diǎn)時(shí)，皿”.由側(cè)面積公式求得川‘-進(jìn)一步得到川‘川；由是廠"的中點(diǎn)，可得皿I川)，再由(1)得"」皿，由線面垂直的判定可得皿I平面則3“直接利用等積法求三棱錐"川川的體積.【詳解】(1)證明：TAB為圓O的直徑，?：PB丄PA,TAD丄平面PAB,?：PB丄AD,又PAnAD=A,?：PB丄平面APD；(2)解：存在.當(dāng)點(diǎn)G是PD中點(diǎn)時(shí)，AG丄BD.事實(shí)上，由題意可知，2nxlxAD=2n,解得AD=1.由ZAOP=60°，可得△AOP為等邊三角形，得到AP=OA=1.在Rt^PAD中,TAD=AP,G是PD的中點(diǎn),則AG丄PD.由(1)得PB丄AG,PDnPB=P,?\AG丄平面PBD，貝VAG丄BD；【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與直線，直線與平面間位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題.練習(xí)1如圖，幾何體EF-ABCD中，四邊形CDEF是正方形，四邊形ABCD為直角梯形，AB〃CD,AD丄DC,AACB是腰長(zhǎng)為新的等腰直角三角形，平面CDEF丄平面ABCD.（1） 求證：BC丄AF；（2） 求幾何體EF-ABCD的體積.16【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）推導(dǎo)出FC丄CD,FC丄BC,AC±BC，由此BC丄平面ACF,從而B(niǎo)C丄AF.（2）推導(dǎo)出AC=BC=2?,AB=「宀一心°=4,從而AD=BCsinZABC=2e、D2,由V幾何體EF-ABCD=V幾何體ACDEF+V幾何體FACB,能求出幾何體EF-ABCD的體積?幾何體A-CDEF幾何體F-ACB【詳解】（1）因?yàn)槠矫鍯DEF丄平面ABCD，平面CDEFA平面ABCD=CD,又四邊形CDEF是正方形，所以FC丄CD,FC平面CDEF,所以FC丄平面ABCD，所以FC丄BC.因?yàn)锳ACB是腰長(zhǎng)為2歩的等腰直角三角形，所以AC丄BC.又ACACF=C，所以BC丄平面ACF.所以BC丄AF.(2)因?yàn)锳ABC是腰長(zhǎng)為2/的等腰直角三角形，所以AC=BC=W^,AB= 「 ？：=4,所以AD=BCsinZABC=2戲'“從=2,CD=AB=BCcosZABC=4-W^cos45°=2,ADE=EF=CF=2,由勾股定理得AE=廣::匚，因?yàn)镈E丄平面ABCD,所以DEIAD.又AD丄DC,DEADC=D，所以AD丄平面CDEF.所以V ”亍V ”小“+V 一小幾何體EF-ABCD幾何體A-CDEF幾何體F-ACB11,111,,..f四盅昭匚eef-川。^abc■°F-xCDxDExAD-x-x4CxHCxCb=■=■+■1x2x2x2+1x1x2v.'2x2vr2x2— ■【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)

系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.練習(xí)2.如圖，在四棱錐八R「川中，川門(mén)％,底面％”為直角梯形，小門(mén))心分別為"中點(diǎn),且沖丹=人匚二￡D=2/?E=2,衛(wèi)卩=禍j廣…——>B小平面弘“;CP若廠為線段「"上一點(diǎn)，且z平面川"，求”的值；求四棱錐的體積.1【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)；；(3)【解析】(1)連結(jié)",利用勾股定理逆定理可證明"，又易證山JM：可證明"」平面必皿(2)連接八，根據(jù)皿打平面川"可得(川W進(jìn)而(丿U/M,利用'"為〃中點(diǎn)可得結(jié)論(3)OA是棱錐的高，求底面直角梯形的面積即可代入體積公式計(jì)算.【詳解】(1)證明：連結(jié)w：' -，:為必的中點(diǎn).?.041BC，旦BC=2富，0C=yf2乂???zBO)=90°，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，CD=2，:'OF~J(?嚴(yán)+CF2-屈由已知力卩=NF，=0A2+OF，.?CM且必，("是平面弘“內(nèi)兩條相交直線平面以」川.(2)連接八,由已知底面血刃為直角梯形，二)"卜:必以"則四邊形刃以為平行四邊形所以R卜小川OPci因?yàn)?丿巴T平面川川， .平面宓必，平面川川門(mén)平面必，所以(丿⑴/?所以(丿兒屮〃

TOC\o"1-5"\h\zCP_1 CP_1因?yàn)闉樨乐悬c(diǎn)，所以"為I中點(diǎn)，所以,又因?yàn)辄c(diǎn)‘為J的中點(diǎn).所以(3)由(1)平面必""得山為四棱錐八卜；門(mén)川的高，且⑷啟又因?yàn)檠?是直角梯形n「一宀一…：-\\o"CurrentDocument"2+1 _ 弓5= xBC— x2J2=3yi2所以直角梯形必必的面積為 : 己、'則四棱錐川血“的體積【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直、平行的判定和性質(zhì)，棱錐的體積，屬于中檔題1/=1S04-13盤(pán)-^2-2則四棱錐川血“的體積【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直、平行的判定和性質(zhì)，棱錐的體積，屬于中檔題練習(xí)3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形.點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)，平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.于點(diǎn)F.(1)求證：AB〃EF；(2)若PA=AD,且平面PAD丄平面ABCD,求證：AF丄平面PCD.【解析】(1)證明：底面ABCD是正方形，AB^CD,又ABQ平面PCD，CDu平面PCD,AB〃平面PCD,又A，B，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，且平面ABEFO平面PCD=EF,AB^EF;(2)證明：在正方形ABCD中，CD丄AD,又平面PAD丄平面ABCD,且平面P4DA平面ABCD=AD，CDu平面ABCD,CDQ平面PADCD丄平面PAD，又AFu平面PAD,CD丄人尸，由(1)可知，AB〃EF,又AB//CD,C,D,E,F在同一平面內(nèi)，CDHEF,點(diǎn)E是棱PC中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱P