投入產(chǎn)出模型

投入產(chǎn)出模型第9章投入產(chǎn)出模型投入產(chǎn)出模型對(duì)于研究分析國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門(mén)之間的數(shù)量依存關(guān)系，制定國(guó)民經(jīng)濟(jì)的計(jì)劃與規(guī)劃等都具有十分重要的作用。根據(jù)投入產(chǎn)出模型的原理與方法，現(xiàn)介紹其建模與應(yīng)用分析的具體方法步驟。第1節(jié)投入產(chǎn)出模型概述1.1概念投入產(chǎn)出模型是指在馬克思主義經(jīng)濟(jì)理論指導(dǎo)下，利用數(shù)學(xué)方法和電子計(jì)算機(jī)技術(shù)來(lái)研究各種經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的投入與產(chǎn)出之間的數(shù)量依存關(guān)系，特別是研究與分析國(guó)民經(jīng)濟(jì)各個(gè)部門(mén)在產(chǎn)品的生產(chǎn)與消耗之間的數(shù)量依存關(guān)系所建立的一種數(shù)學(xué)模型，其主要含義如下：1）投入產(chǎn)出模型的指導(dǎo)思想是馬克思主義經(jīng)濟(jì)理論；2）投入產(chǎn)出模型的理論基礎(chǔ)是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，集中體現(xiàn)在投入產(chǎn)出方法的原理與方法；3）投入產(chǎn)出模型的關(guān)鍵任務(wù)是直接消耗系數(shù)與列昂節(jié)夫逆矩陣的求算；4）投入產(chǎn)出模型的主要方法是數(shù)學(xué)方法與計(jì)算機(jī)技術(shù)的應(yīng)用，集中體現(xiàn)在投入產(chǎn)出模型數(shù)學(xué)模型的建立及運(yùn)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行矩陣運(yùn)算的求解應(yīng)用；5）投入產(chǎn)出模型的最終目的是研究與分析各個(gè)經(jīng)濟(jì)部門(mén)之間的數(shù)量依存關(guān)系，為社會(huì)主義經(jīng)濟(jì)建設(shè)中的科學(xué)決策服務(wù)。主要用途是用于研究與分析國(guó)民經(jīng)濟(jì)各個(gè)部門(mén)在產(chǎn)品的生產(chǎn)與消耗之間的數(shù)量依存關(guān)系，反映各個(gè)部門(mén)之間的直接與間接的經(jīng)濟(jì)聯(lián)系及各個(gè)部門(mén)之間的綜合平衡問(wèn)題。目前，已拓展到用于研究與分析各個(gè)地區(qū)，各個(gè)企業(yè)內(nèi)部及之間的各種經(jīng)濟(jì)聯(lián)系。1.2作用1）編制國(guó)民經(jīng)濟(jì)計(jì)劃。2）經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的預(yù)測(cè)。3）經(jīng)濟(jì)政策研究，研究重要經(jīng)濟(jì)政策對(duì)經(jīng)濟(jì)建設(shè)的影響。4）專題研究，研究專門(mén)的社會(huì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。5）編制區(qū)際經(jīng)濟(jì)計(jì)劃。1.3發(fā)展概況投入產(chǎn)出法產(chǎn)生于20世紀(jì)30年代,是由俄國(guó)出生的美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家瓦。列昂節(jié)夫（w.Leontif）首先提出于1931年開(kāi)始研究“投入產(chǎn)出分析法”來(lái)分析研究美國(guó)的經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，隨后發(fā)表了不少的論文和論著，在1944年他編制了美國(guó)經(jīng)濟(jì)部門(mén)的1939年投入產(chǎn)出表，它可稱是世界上第一個(gè)“投入產(chǎn)出表”當(dāng)時(shí)，引起了美國(guó)政府的重視,此后，美國(guó)先后又編制了1947年，1958年，1963年，和1966年的投入產(chǎn)出表。在20世紀(jì)50年代初期，西方各國(guó)曾經(jīng)出現(xiàn)了編制投入產(chǎn)出表的熱潮。到了20世紀(jì)50年代末期，蘇聯(lián)和東歐國(guó)家也開(kāi)始重視這一方法。后來(lái)，發(fā)展中國(guó)家也紛紛編制了投入產(chǎn)出表。據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，1950年以前，只有7個(gè)國(guó)家編制了投入產(chǎn)出表，其后，已有100余個(gè)國(guó)家編制了投入產(chǎn)出表。于1968年，聯(lián)合國(guó)統(tǒng)計(jì)局正式規(guī)定“投入產(chǎn)出”為國(guó)民經(jīng)濟(jì)核算的一個(gè)重要組成部分，并制定了編制投入產(chǎn)出表的標(biāo)準(zhǔn)部門(mén)分類目錄，指標(biāo)解釋和計(jì)算方法。我國(guó)在20世紀(jì)60年代初期,中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所與經(jīng)濟(jì)研究所組織成立了專業(yè)小組，對(duì)“投入產(chǎn)出法”進(jìn)行過(guò)探索、研究和介紹，但是，后來(lái)由于左的思想干擾，投入產(chǎn)出法被當(dāng)作資產(chǎn)階級(jí)和修正主義的東西加以批判，使這方面的研究和應(yīng)用中斷了一段時(shí)間。從1972年，我國(guó)才有少數(shù)同志逐漸恢復(fù)和堅(jiān)持了這方面的研究工作o1974年一1976年期間，在中國(guó)科學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)研究所的倡議下，在我國(guó)計(jì)委、國(guó)家統(tǒng)計(jì)局的領(lǐng)導(dǎo)和支持下，編制了1973年全國(guó)61種產(chǎn)品的實(shí)物型投入產(chǎn)出表，這是我國(guó)第一個(gè)全國(guó)性的投入產(chǎn)出表，（1944年一1973年29年）。1981年又編制了全國(guó)146種產(chǎn)品的實(shí)物型投入產(chǎn)出表和26個(gè)部門(mén)的價(jià)值型投入產(chǎn)出表。還編制了山西省廣東省上海市上海市黑龍江省北京市等地區(qū)的投入表。另外，還編制了鞍山鋼鐵公司企業(yè)型的投入產(chǎn)出表。為了提高我國(guó)社會(huì)主義經(jīng)濟(jì)宏觀管理水平，國(guó)務(wù)院決定，今后每5年進(jìn)行一次投入產(chǎn)出調(diào)查，并編制出全國(guó)投入調(diào)查表。1.類型投入模型的類型很多，其分類的標(biāo)準(zhǔn)不同，類型也不同，目前主要有以下幾種。1靜態(tài)投入產(chǎn)出模型和動(dòng)態(tài)投入產(chǎn)出模型

以分析時(shí)期不同可分為：1）靜態(tài)投入產(chǎn)出模型是分析和研究某一特定時(shí)期的再生產(chǎn)過(guò)程及聯(lián)系。2）動(dòng)態(tài)投入產(chǎn)出模型是分析和研究連續(xù)變化若干時(shí)期的再生產(chǎn)過(guò)程及各時(shí)期的相互聯(lián)系。2價(jià)值投入產(chǎn)出模型和實(shí)物投入產(chǎn)出模型以計(jì)量單位不同可分為：1）價(jià)值投入產(chǎn)出模型是投入產(chǎn)出表中所有指標(biāo)都以產(chǎn)品價(jià)格單2）實(shí)物投入產(chǎn)出模型是投入產(chǎn)出表中所有指標(biāo)都以產(chǎn)品實(shí)物單位度:=J位度:=JHl3區(qū)域投入產(chǎn)出模型以投入產(chǎn)出表中所用數(shù)據(jù)資料范圍不同可分為：1）世界投入產(chǎn)出模型2）國(guó)家投入產(chǎn)出模型3）地區(qū)投入產(chǎn)出模型4）部門(mén)投入產(chǎn)出模型5）企業(yè)投入產(chǎn)出模型4報(bào)告期投入產(chǎn)出模型和計(jì)劃期投入產(chǎn)出模型1）報(bào)告期投入產(chǎn)出模型是所用數(shù)據(jù)資料都是報(bào)告期的實(shí)際數(shù)據(jù),反映報(bào)告期投入與產(chǎn)出的綜合平衡情況。2）計(jì)劃期投入產(chǎn)出模型是所用數(shù)據(jù)資料都是計(jì)劃期的計(jì)劃數(shù)據(jù)，反映計(jì)劃期或預(yù)測(cè)計(jì)劃期國(guó)民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展情況。1.2投入產(chǎn)出表1概念投入平衡表簡(jiǎn)稱投入產(chǎn)出表，它是指能夠把國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門(mén)之間所有產(chǎn)品的投入與產(chǎn)出關(guān)系都表現(xiàn)出來(lái)的統(tǒng)計(jì)表格。它是建立投入模型的基礎(chǔ)。2類型主要根據(jù)所要建立的投入產(chǎn)出模型的類型而定，其類型有價(jià)值型和實(shí)物型兩種，價(jià)值型投入產(chǎn)出表實(shí)物型投入產(chǎn)出表中的所用的數(shù)據(jù)資料都是以產(chǎn)品的價(jià)格單位度量。中的所用的數(shù)據(jù)資料都是以產(chǎn)品的實(shí)物單位度量。最常用的是價(jià)值型投入產(chǎn)出表。2投入產(chǎn)出表的編制1）確定投入產(chǎn)出表的類型主要根據(jù)所研究的目的和要求來(lái)確定投入產(chǎn)出表的類型?，F(xiàn)以價(jià)值型投入產(chǎn)出表為例，如列昂節(jié)夫的第一個(gè)投入產(chǎn)出表是研究全美國(guó)的經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的，他編制了全美國(guó)十大部門(mén)價(jià)值型投入產(chǎn)出表。在如表中是五個(gè)部門(mén)的投入產(chǎn)出表，即，農(nóng)業(yè)、采礦業(yè)、制造業(yè)、電力工業(yè)、運(yùn)輸業(yè)。

表7.4五個(gè)部門(mén)的投入產(chǎn)出表部門(mén)中間用途最終用途農(nóng)業(yè)采礦業(yè)制造業(yè)電力工業(yè)運(yùn)輸業(yè)中間總需求量消費(fèi)投資非投資性開(kāi)發(fā)出口最終總需求量總產(chǎn)出量(1)⑵⑶(4)⑸(6)(7)(8)(9)(10)農(nóng)業(yè)⑴1502001045351053080125采礦業(yè)⑵0000000100304040制造業(yè)⑶100251555515205545100電力工業(yè)(4)51515015505101002575運(yùn)輸業(yè)⑸51015053558201550中間總投入量352575153518560582265205390進(jìn)口(6)150103056055001070納稅⑺20537237(35)00(20)(55)92支付工資(8)40565258101201371投資消耗(9)535124290000029自然資源(10)102162210000021增加價(jià)值90152560152051012013218總投入量(11)125401007550390666334652186082)編制投入產(chǎn)出表根據(jù)調(diào)查和統(tǒng)計(jì)資料，編制投入產(chǎn)出表，以表示在指定年度內(nèi)各部門(mén)之間的相互聯(lián)系、相互影響、相互制約、相互交流的情況，如表所示。投入產(chǎn)出表的基本結(jié)構(gòu)是四個(gè)象限：第一象限為物質(zhì)交流象限從1—5行，1—5列，表示投入與產(chǎn)出的關(guān)系。第二象限為最終用途象限從1—5行，6—9列，表示最終需求關(guān)系。第三象限為增加價(jià)值象限從6—10行，1—5列，表式增加價(jià)值關(guān)系。第四象限為直接購(gòu)買(mǎi)象限從6—10行，6—9列，表式直接購(gòu)買(mǎi)要素關(guān)系。3扌殳入產(chǎn)出表的作用投入產(chǎn)出表的作用有以下點(diǎn)：1）顯示各部門(mén)間的數(shù)量依存關(guān)系由表中可知，其行（I）為產(chǎn)出部門(mén)，列（J）為投入部門(mén)。對(duì)于每一行的諸元素，表明了報(bào)告期的一個(gè)特定部門(mén)的總產(chǎn)出,例如：在第一行農(nóng)業(yè)總產(chǎn)出量125個(gè)單位中：15個(gè)單位用于農(nóng)業(yè)本身；20個(gè)單位用于制造業(yè);10個(gè)單位用于運(yùn)輸業(yè)；釆礦業(yè)與電力工業(yè)均未投入。用于中間用途的全部農(nóng)產(chǎn)品45個(gè)單位，即用于進(jìn)一步再生產(chǎn)的農(nóng)產(chǎn)品共有45個(gè)單位。最終需求量80個(gè)單位，包括：消費(fèi)者投資非投資性開(kāi)支出口等項(xiàng)就是農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的總產(chǎn)出125個(gè)單位的去向。對(duì)每一列的諸元素，表明了報(bào)告期的一個(gè)特定部門(mén)的總投入量的來(lái)向，例如：由第一列可知，為了生產(chǎn)125個(gè)單位的總產(chǎn)出，農(nóng)業(yè)消耗自身15個(gè)單位的產(chǎn)品，如用去部分種子。為了生產(chǎn)125個(gè)單位的總產(chǎn)出，農(nóng)業(yè)消耗制造業(yè)10個(gè)單位的產(chǎn)品，如化肥、殺蟲(chóng)劑等。為了生產(chǎn)125個(gè)單位的總產(chǎn)出，農(nóng)業(yè)消耗電力5個(gè)單位的產(chǎn)品,如開(kāi)動(dòng)噴水機(jī)等。為了生產(chǎn)125個(gè)單位的總產(chǎn)出，農(nóng)業(yè)消耗運(yùn)輸業(yè)5個(gè)單位的產(chǎn)品，如產(chǎn)品運(yùn)往市場(chǎng)等。這樣，農(nóng)業(yè)向國(guó)內(nèi)各部門(mén)投入的全部中間產(chǎn)品共計(jì)35個(gè)單位。此外，農(nóng)業(yè)進(jìn)口15個(gè)單位的中間產(chǎn)品，如進(jìn)口小麥等，向政府納稅20個(gè)單位，支付工資40個(gè)單位，投資5個(gè)單位，購(gòu)買(mǎi)其他自然資源10個(gè)單位。由此可知，農(nóng)業(yè)的總產(chǎn)出價(jià)值恰好等于總投入價(jià)值，都是125個(gè)單位。用同樣的方法可分析表中的所有經(jīng)濟(jì)部門(mén)的投入產(chǎn)出結(jié)構(gòu)。2）求算直接消耗系數(shù)直接消耗系數(shù)是投入產(chǎn)出應(yīng)用分析研究最重要的指標(biāo)?？稍谕度氘a(chǎn)出表的基礎(chǔ)上求算直接消耗系數(shù)，它可顯示出各個(gè)部門(mén)在生產(chǎn)中的技術(shù)經(jīng)濟(jì)聯(lián)系。3）求算間接消耗系數(shù)求出直接消耗系數(shù)后，可通過(guò)算術(shù)運(yùn)算推求出間接消耗系數(shù)。4）建立投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型在投入產(chǎn)出表的基礎(chǔ)上，可以很方便的建立多種形式的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型，以應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)和計(jì)劃工作。第2節(jié)投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型所謂投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型就是指用數(shù)學(xué)方法來(lái)表示投入產(chǎn)出表中所反映的經(jīng)濟(jì)部門(mén)內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型，具體用數(shù)學(xué)方程組來(lái)表示。現(xiàn)介紹如何將投入產(chǎn)出表轉(zhuǎn)化為實(shí)用的數(shù)學(xué)模型。2.1產(chǎn)出平衡方程組即分配平衡方程組從表的行來(lái)看，每一個(gè)生產(chǎn)部門(mén)分配給各個(gè)部門(mén)再生產(chǎn)性產(chǎn)品加上該部門(mén)的最終需求產(chǎn)品，就等于該部門(mén)的總產(chǎn)品，于是可得產(chǎn)出平衡方程組：從表中按行可得其產(chǎn)出平衡方程組的一般形式為：x=x+x+x+x+x+y111121314151x=x+x+x+x+x+y221222324252<x=x+x+x+x+x+y331323334353x=x+x+x+x+x+y441424344454x=x+x+x+x+x+yl551525354555可簡(jiǎn)寫(xiě)為：x=2x+yi=1,2,3,A,nijij=1即得數(shù)據(jù)形式為：'125=15+0+20+0+10+8040=0+0+0+0+0+40<100=10+0+25+15+5+4575=5+15+15+0+15+2550=5+10+15+0+5+152.2投入產(chǎn)出平衡方程組即消耗平衡方程組從表的列來(lái)看，每一個(gè)生產(chǎn)部門(mén)來(lái)說(shuō)，各個(gè)部門(mén)為其投入的產(chǎn)品加上該部門(mén)的新創(chuàng)造的價(jià)值，就等于該部門(mén)的總投入量?jī)r(jià)值，于是可得投入平衡方程組：x=x+x+x+A+x+z1112131n11x=x+x+x+A+x+z2122232n22x=x+x+x+A+x+z3132333n33MMMMAMMx=x+x+x+A+x+zIn1孑i2n3nnnn可簡(jiǎn)寫(xiě)為:x=￡x+zj=1,2,3,A,njijji=1從表中按列可得其投入平衡方程組的一般形式為:x=x+x+x+x+x+z111213141511x=x+x+x+x+x+z212223242522<x=x+x+x+x+x+z313233343533x=x+x+x+x+x+z414243444544x=x+x+x+x+x+zl515253545555即得數(shù)據(jù)形式為：'125=15+0+10+5+5+9040=0+0+0+15+10+15<100=20+0+25+15+15+2575=0+0+15+0+0+6050=10+0+5+15+5+152.3直接消耗系數(shù)平衡方程組1直接消耗系數(shù)1）概念直接消耗系數(shù)是指第J部門(mén)每生產(chǎn)單位產(chǎn)品所消耗第I部門(mén)產(chǎn)品的單位消耗量，稱第J部門(mén)對(duì)第I部門(mén)的直接消耗系數(shù)。它表示生產(chǎn)因素和產(chǎn)品之間的生產(chǎn)技術(shù)比例，故又稱技術(shù)系數(shù)。2）求算直接消耗系數(shù)可從“投入產(chǎn)出表”中直接求出，即xa=—kjn=1,2,3,A,n;j=1,2,3,A,nijXj于是：x=axijijj其中，X表示J部門(mén)實(shí)際投入I部門(mén)產(chǎn)品的數(shù)量，即位于投入ij產(chǎn)出表中第I行第J列的數(shù)字。x表示第J部門(mén)的總投入量，即投入產(chǎn)出表中第J列最后一個(gè)j數(shù)字。由此可求算出表中各個(gè)部門(mén)的直接消耗系數(shù)，如表所示。2直接消耗系數(shù)平衡方程組將x=ax代入產(chǎn)出平衡方程組，可得直接消耗系數(shù)平衡方ijijj程組：x=ax+ax+ax+A+ax+y1111221331nn1x=ax+ax+ax+A+ax+yTOC\o"1-5"\h\z2112222332nn2<x=ax+ax+ax+A+ax+y3113223333nn3MMMMAMMx=ax+ax+ax+A+ax+yJnn11n22n33nnnn可簡(jiǎn)寫(xiě)為：x=2ax+yi=1,2,3,A,nijjij=1設(shè)A為直接消耗系數(shù)矩陣，X為總投入列矩陣，Y為最終需求矩陣，它們分別為：

aaaAa1112131naaaAa2122232naaaAa3132333nMMMAMaaaAan1n2n3nn-A=丿(x)12xXx3M<x丿n則可得矩陣形式:X二A-X+Y或(E-A)-X=Y這就是最常用的矩陣形式投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型，即矩陣形式地直接消耗系數(shù)投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型。而矩陣(E-A)被稱為列昂節(jié)夫矩陣。兩上式兩邊同除(E-A)，即可得：X二(E-A)-1-Y式中(E-A)-1稱為列昂節(jié)夫逆矩陣。由上式可知，若求出列昂節(jié)夫逆矩陣，即可進(jìn)行經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)和計(jì)劃制定。3舉例例1若已知A矩陣，Y矩陣，求X矩陣。本例以上述五個(gè)部門(mén)投入產(chǎn)出表中數(shù)據(jù)為例，試證總產(chǎn)出量X并掌握應(yīng)用方法。1)求A、X、Y矩陣由五個(gè)部門(mén)的投入產(chǎn)出表可求得直接消耗系數(shù)A、X、Y矩陣為:

rx)i"25[ry)J1(80'x240y240X=x3—100Y—y3—45x475y425Ix5J<50丿Iy5J<15丿'0.120'0.12000A=0.0800.040.375、0.040.250.2000.20、0000.250.200.100.1500.300.1500.10丿2)求列昂節(jié)夫矩陣(E—A)本例由上述直接消耗系數(shù)A可得列昂節(jié)夫矩陣為:0.880—0.200—0.20、01.0000E—A——0.0800.75—0.20—0.10—0.04—0.375—0.151.0—0.30、—0.04—0.25—0.1500.90丿3)求列昂節(jié)夫逆矩陣(E—A)-i進(jìn)而可求得列矩陣(E-A)-1為：(1.190.110.400.080.34「(E—A)-1—01.000000.160.191.500.300.300.100.500.321.060.41、0.080.310.270.051.18丿4)求總產(chǎn)出矩陣X已知Y矩陣即:r1.190.110.400.080.34、'80、‘124.7、01.000004040X—(E—A)—1Y—0.160.191.500.300.304599.90.100.500.321.060.4125750.080.310.270.051.18?<15j<49.9丿

由此得已試證，整個(gè)模型合理，可應(yīng)用于投入產(chǎn)出分析。例2若已知A矩陣，Ay=0,Ay=0,Ay=10,Ay=0,Ay=0,12345那么五個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)出量各增加多少？即求AX。⑴、(2)、(3)同前。(4)求總產(chǎn)出增量AX‘4.0、0153.2<2?7丿r0]0AX二(E-‘4.0、0153.2<2?7丿0因此可知，當(dāng)制造業(yè)的最終需求增長(zhǎng)10個(gè)單位時(shí)，農(nóng)業(yè)總產(chǎn)出X1增加4個(gè)單位；采礦業(yè)的總產(chǎn)出x2不變；制造業(yè)總產(chǎn)出X3增加15個(gè)單位；電力工業(yè)總產(chǎn)出x4增加3.2個(gè)單位，運(yùn)輸業(yè)總產(chǎn)出x5增加2.7個(gè)單位。2.4完全消耗系數(shù)平衡方程組我們知道，國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門(mén)之間除了發(fā)生直接聯(lián)系，產(chǎn)生直接消耗外，還存在著間接聯(lián)系，產(chǎn)生間接消耗。1完全消耗系數(shù)1)概念(1)間接消耗系數(shù)間接消耗系數(shù)是指第J部門(mén)每生產(chǎn)單位所間接消耗第I部門(mén)產(chǎn)品的單位消耗量，稱第J部門(mén)對(duì)第I部門(mén)的間接消耗系數(shù);(2)完全消耗系數(shù)完全消耗系數(shù)是指第J部門(mén)每生產(chǎn)單位產(chǎn)品所直接消耗和間接

消耗第I部門(mén)產(chǎn)品的單位消耗量和，稱第J部門(mén)對(duì)第I部門(mén)的完全消耗系數(shù)，即直接消耗系數(shù)和間接消耗系數(shù)之和，就稱為完全消耗系數(shù)?？捎胋來(lái)表示。ij2）求算根據(jù)上述概念可直接求得，即:b=a+Eb-ai,j=1,2,3,A,nijijikkjk=1于是可得完全消耗系數(shù)平衡方程組:x=bx+bx+bx+A+bx+y1111221331nn1TOC\o"1-5"\h\zx=bx+bx+bx+A+bx+y2112222332nn2<x=bx+bx+bx+A+bx+y3113223333nn3MMMMAMMx=bx+bx+bx+A+bx+yInn11n22n33nnnn可簡(jiǎn)寫(xiě)為:x=￡bx+yi=1,2,3,A,niijjij=1設(shè)B為直接消耗系數(shù)矩陣，X為總投入列矩陣，Y為最終需求矩陣，它們分別為:(bb11(bb1112bb2122B=bb3132MMbbn1n2rx)1x2X=x3M<x丿nbAb)131nbAb232nbAb333nMAMbAb‘n3nn丿p11y2Y=y3M<y丿n則可得矩陣形式：X二B-X+Y或(E-B)-X=Y將兩上式兩邊同除(E-B)，即可得：X二(E-B)-1-Y由上式可知，必須先求出完全消耗系數(shù)b矩陣，才可進(jìn)行經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)和計(jì)劃制定。這樣直接求算卻很麻煩，因此，可利用(E-A)-1來(lái)求完全消耗系數(shù)。其推求方法是：完全消耗系數(shù)的矩陣形式為：B=A+B-AB-B-A=AB(E-A)=A兩邊同右乘(E-A)-i，則得：B=A(E-A)-i=(E-E+A)(E-A)-1=[E-(E-A)](E-A)-i=E(E-A)-i-(E-A)(E-A)-i=(E-A)-i-E此式可告訴我們，只要根據(jù)直接消耗系數(shù)矩陣A,求出列昂節(jié)夫逆矩陣(E-A)-i，再?gòu)闹袦p去安慰矩陣E，就可求得完全消耗系數(shù)矩陣BTo2完全消耗系數(shù)平衡方程組由直接消耗系數(shù)模型的矩陣形式可得：X二(E-A)-iY因?yàn)?，B二(E-A)-i-E所以，(E-A)-i二B+E

代入上式可得完全消耗系數(shù)模型的矩陣形式為：若求出完全消耗系數(shù)，即可用于經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)和計(jì)劃制定。3舉例1）求完全消耗系數(shù)已知直接消耗系數(shù)矩陣A'0.20.2<'0.20.2<00.20.10.20、0.10.1丿解:第一步求（E-A解:第一步求（E-A）‘0.8(E-A)=-0.2<0-0.20.9-0.20、-0.10.9丿第二步求（E-A）-1(E-A(E-A)-1='1.32550.3020、0.06710.30201.20810.26850.0336、0.13421.1409丿第三步求BBB=(E-A)-1-E='0.32550.3020、0.06710.30200.20810.26850.0336、0.13420.1409丿由此可知，完全消耗系數(shù)一定大于或等于直接消耗系數(shù)。2）求總產(chǎn)出量綜上所述，完全消耗系數(shù)既反映了國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門(mén)之間的直接聯(lián)系，也反映了國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門(mén)之間的間接聯(lián)系。國(guó)民經(jīng)濟(jì)中任何一個(gè)部門(mén)的生產(chǎn)都以各種途徑與其它部門(mén)聯(lián)系著。在經(jīng)濟(jì)分析與計(jì)劃管理上，人們都要確切地掌握這種經(jīng)濟(jì)情報(bào)，但是，只有科學(xué)地建立了經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型和使用計(jì)算機(jī)之后，這種愿望才能變成現(xiàn)實(shí)！第3節(jié)投入產(chǎn)出模型的應(yīng)用3?1投入產(chǎn)出模型的建立第一步求算投入產(chǎn)出平衡表在投入產(chǎn)出模型理論的指導(dǎo)下，通過(guò)調(diào)查研究和對(duì)已有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加工整理，并認(rèn)真進(jìn)行綜合分析，即可求得投入產(chǎn)出平衡表,具體可參考相關(guān)資料。本例為五個(gè)部門(mén)的投入產(chǎn)出平衡表，如表7.4所示。第二步建立投入產(chǎn)出模型主要建立直接消耗系數(shù)投入產(chǎn)出模型和完全消耗系數(shù)投入產(chǎn)出模型。1、建立直接消耗系數(shù)投入產(chǎn)出模型(1)求算直接消耗系數(shù)A由五個(gè)部門(mén)的投入產(chǎn)出表可求得直接消耗系數(shù)A為：‘0.1200.2000.2000000A=0.0800.250.200.100.040.3750.1500.30、0.040.250.1500.10(2)建立直接消耗系數(shù)模型由上述直接消耗系數(shù)A可得其投入產(chǎn)出模型的矩陣形式為:X=AX+Y其中：rx)i"25[ry)J1(80、x240y240X=x3—100Y—y3—45x475y425Ix5JQO‘Iy5J<15丿2、建立完全消耗系數(shù)投入產(chǎn)出模型(1)求算完全消耗系數(shù)B由完全消耗系數(shù)的概念可得其矩陣形式為：B=A+BAB—BA=AB(E-A)=AB=A(E-A)-1B=(E-A)-1-E本例由上述直接消耗系數(shù)A可得列昂節(jié)夫矩陣為:'0.880—0.200—0.2001.0000E—A——0.0800.75—0.20—0.10—0.04—0.375—0.151.0—0.30、—0.04—0.25—0.1500.90進(jìn)而可求得到昂節(jié)夫逆矩陣(E-A)-i為:((1.190.110.400.080.3401.0000.160.191.500.300.300.100.500.321.060.4110.080.310.270.160.191.500.300.300.100.500.321.060.4110.080.310.270.051.18丿故本例的完全消耗系數(shù)B故本例的完全消耗系數(shù)B為:B=(E_A)_i_E(0.190.110.400.080.340.160.190.500.300.300.100.500.320.060.411(0.190.110.400.080.340.160.190.500.300.300.100.500.320.060.4110.080.310.270.050.18丿(2)建立完全消耗系數(shù)模型由于直接消耗系模型X=AX(2)建立完全消耗系數(shù)模型由于直接消耗系模型X=AX+YX_AX=YX(E_A)=YX=(E_A)_1Y因?yàn)锽=(E_A)_1_E所以B+E=(E_A)_1于是可得完全消耗系數(shù)模型的矩陣形式為:X=(B+E)Y其中:3.2投入產(chǎn)出模型的應(yīng)用例1若已知A矩陣，Y矩陣，求X矩陣。本例以上述五個(gè)部門(mén)投入產(chǎn)出表中數(shù)據(jù)為例，試證總產(chǎn)出量X并掌握應(yīng)用方法。⑴求A矩陣同前⑵求列昂節(jié)夫矩陣(E—A)同前⑶求列昂節(jié)夫逆矩陣(E-A)-1同前⑷求總產(chǎn)出矩陣X已知Y矩陣同前1.190.110.400.080.34、/80、‘124.7、01.000004040X=(E—A)-1Y=0.160.191.500.300.304599.90.100.500.321.060.4125750.080.310.270.051.18丿<15丿<49.9丿由此得已試證，整個(gè)模型合理，可應(yīng)用于投入產(chǎn)出分析。例2若已知A矩陣，Ay=0,Ay=0,Ay=10,Ay=0,Ay=0,12345那么五個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)出量各增加多少？即求AX。⑴、(2)、(3)同前。/4.0、015/4.0、0153.2<2?7丿/0、0AX二(E-A)jAY=(E-A)-1100因此可知,當(dāng)制造業(yè)的最終需求增長(zhǎng)10個(gè)單位時(shí),農(nóng)業(yè)總產(chǎn)出x1增加4個(gè)單位；采礦業(yè)的總產(chǎn)出x2不變；制造業(yè)總產(chǎn)出x3增加15個(gè)單位；電力工業(yè)總產(chǎn)出x4增加3.2個(gè)單位，運(yùn)輸業(yè)總產(chǎn)出x5增加2.7個(gè)單位。例3設(shè)有一經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)只有三個(gè)部門(mén)，其直接消耗系數(shù)矩陣A為：/0.20.20、A=0.20.10.1.00.20.1,若下一個(gè)生產(chǎn)周期三個(gè)部門(mén)的最終需求分別是y1=90>y2=70、y3=160。試問(wèn)各部門(mén)總產(chǎn)出要達(dá)到多少，才能滿足計(jì)劃的要求？根據(jù)題意需要運(yùn)用完全消耗系數(shù)模型求各部門(mén)的總產(chǎn)出才能滿足計(jì)劃要求。(1)求完全消耗系數(shù)B已知直接消耗系數(shù)a,貝y：列昂節(jié)夫矩陣為：<0.8—0.20E—A=—0.20.9—0.1.0—0.20.9列昂節(jié)夫逆矩陣為:/1.32550.30200.0336、

（E—A）-1=0.30201.20810.13420.06710.26851.1409,完全消耗系數(shù)矩陣B為：‘0.32550.30200.0336、B=（E—A）-1—E=0.30200.20810.13420.06710.26850.1409丿(2)求總產(chǎn)出X矩陣

已知y1=90，y2=70，y3=160。由完全消耗系數(shù)模型可得：/1.32550.3020X=（/1.32550.3020X=（B+E）Y=0.30201.20810.06710.26850.0336"90\0.1342701.1409人160丿/145.8、133.2.207.4丿故三個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)出分別為X]=145?8、x2=133?2、x3=207?4時(shí),即可滿足計(jì)劃要求。例4如果例3中將最終需求y1=100，即"[=10,y2，y3不變,試問(wèn)各部門(mén)的總產(chǎn)出應(yīng)為多少，才能滿足計(jì)劃的要求？⑴求AX已知:Ay1=10,Ay2=0,Ay3=0，貝Q：'1.3255AX=（B'1.3255AX=（B+E）AY=0.30200.06710.30201.20810.26850.0336Y10\0.134201.1409人0丿"3.3、=3.0<°7丿⑵求X+AX'145.8、‘13.3、X+AX=132.2+3.0、207.4丿<°7丿/159.1、136.2.208.1丿由此可知，當(dāng)最終需求y增加10個(gè)單位，y、y不變時(shí)，總產(chǎn)123出x=159.1、x=136?2、x=208?1時(shí)，才能滿足計(jì)劃要求。123

3.2投入產(chǎn)出模型的實(shí)習(xí)指導(dǎo)1、步驟。2、巧。31、步驟。2、巧。3、鞏固投入產(chǎn)出分析法的基本原理及方法掌握投入產(chǎn)出分析程序的使用方法及技求取投入產(chǎn)出模型的直接消耗系數(shù)，完全消耗系數(shù)，列昂節(jié)夫矩陣及列昂節(jié)夫逆矩陣并應(yīng)用于國(guó)民經(jīng)濟(jì)部門(mén)管理決策。4、掌握投入產(chǎn)出分析程序的變換應(yīng)用方法。3?2?2實(shí)習(xí)內(nèi)容1、標(biāo)識(shí)符說(shuō)明N產(chǎn)出部門(mén)數(shù)X（N,N+2）存放投入產(chǎn)出平衡表數(shù)據(jù)A(N,B(N,A(N,B(N,R(N,D(N)N）存放完全消耗系數(shù),=jN）存放列昂節(jié)夫逆矩陣存放最終產(chǎn)品增長(zhǎng)率,=j2、程序10REMThisIsTheProgramOfInput&OutputMethed20Matrix”P(pán)rint“InputTheOrderOfTheINPUT“經(jīng)濟(jì)部門(mén)數(shù)N=”；NDIMX(N,N+2),A(N,N),R(N,N),X1(N),D(N),V(N)50304060PRINTPRINT“TheListOfI/O”70FORI=1TON8090100110120FORJ=1TON+2READX(I,J)PRINTTAB(8*(J—1));X(I,J);NEXTJPRINT130NEXTI140150FORJ=1TONFORI=1TON160170A(I,J)=X(I,J)/X(J,N+2)NEXTI180190MatrixA”NEXTJPRINT“OutputTechnicalCoefficiant200FORI=1TON210FORJ=1TON220PRINTA(I,J)，230NEXTJ240PRINT250NEXTI260PRINT270PRINT280FORI=1TON290FORJ=1TON300IFJ=IGOTO330310R(I,J)=-A(I,J)320GOTO340330R(I,J)=1-A(I,J)340NEXTJ350NEXTI360PRINT“OuputLeontifMatrixR=I—A”370FORI=1TON380FORJ=1TON390PRINTR(I,J)，400NEXTJ410PRINT420NEXTI430REMComputingTheLeontifInverseMatrixRt450FORK=1TON460FORI=1TON470FORJ=1TON480IFI=KTHEN520490IFJ=KTHEN510500R(I,J)=R(I,J)-R(I,K)*R(K,J)/R(K,K)510NEXTJ520NEXTI530FORI=1TON540IFI=KTHEN570550R(K,I)=R(K,I)/R(K,K)560R(I,K)=-R(I,K)/R(K,K)570NEXTI580R(K,K)=1/R(K,K)590NEXTK860PRINT“OutputInverseMatrixR-1”870FORI=1TON880FORJ=1TON890PRINTR(I,J)，900NEXTJ：PRINT910NEXTIFORI=1TONFORJ=1TONIFI=JTHENB(I,J)=R10(I,J)-1:GOTO15925B(I,J)=R10(I,J)NEXTJNEXTI928PRINT"B:"930FORI=1TON932FORJ=1TON-1PRINTB(I,J);",";NEXTJ:PRINTB(I,N)938NEXTI940FORI=1TON970READD(I)980NEXTI990PRINT995PRINT1000PRINT“AY%”，“NewY”，“NewX”，“AX”，“AX%”1005PRINT1010FORI=1TON1020X1(I)=01030FORJ=1TON1040X1(I)=X1(I)+R(I,J)*X(J,N+1)*(1+D(J)/100)1050NEXTJ1065PRINTD(I),X(I,N+1)*(1+D(I)/100),X1(D,X1(!)—X(I,N+2),(X1(I)-X(I,N+2))/X1(I)*1001070NEXTI1080END1090DATA15,0,20,0,