排列組合與概率

億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載專題三：排列、組合及二項式定理一、排列、組合與二項式定理【基礎知識】1?分類計數(shù)原理(加法原理)N=m+m+???+m.12n2?分步計數(shù)原理(乘法原理)N=mxmm.12n3.排列數(shù)公式Am=3.排列數(shù)公式Am=n(n-1)…(n-m+1)=nn！(n-m)！(n，m^N*,且mWn).nn！且mWn).Amn(n—1)?…(n—m+1)且mWn).4?組合數(shù)公式Cm=l==(n,m^N*,nAm1x2x?…xmm!-(n-m)!m5?組合數(shù)的兩個性質(zhì)：Cm=Cn-m；nnCm+Cm-1=CmTOC\o"1-5"\h\znnn+1(3)Cr+Cr+Cr+卜Cr=Cr+1.rr+1r+2nn+16?排列數(shù)與組合數(shù)的關系是：Am=m!Cm?nn7.二項式定理：(a+b)n=C0an+C1an-1b+C2an-2b2+卜Cran-rbr+卜Cnbn;nnnnn二項展開式的通項公式：T=Cran-rbr(r=0,1,2-,n)?r+1n【題例分析】例1、從6名短跑運動員中選4人參加4X100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒,問共有多少種參賽方法？解法：問題分成三類：(1)甲乙二人均不參加，有A4種；(2)甲、乙二人有且僅有1人參加，有2C3(A4—A3)種；(3)甲、乙二人均參加，有C4(A4-2A3+A2)種，故共有252種.點評：對于帶有限制條件的排列、組合綜合題，一般用分類討論或間接法兩種.例2:有5個男生和3個女生，從中選取5人擔任5門不同學科的科代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：有女生但人數(shù)必須少于男生.某女生一定要擔任語文科代表.某男生必須包括在內(nèi),但不擔任數(shù)學科代表.某女生一定要擔任語文科代表,某男生必須擔任科代表,但不擔任數(shù)學科代表.解:(1)先取后排，有C3C2+C4C1種,后排有A5種，共有(C3C2+C4C1)A5=5400種.5353553535(2)除去該女生后先取后排：C74A44=840種.億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載億庫教育網(wǎng)億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載億庫教育網(wǎng)億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載億庫教育網(wǎng)億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載億庫教育網(wǎng)億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載（3）先取后排，但先安排該男生：C7C4A4二3360種.（4）先從除去該男生該女生的6人中選3人有C3種，再安排該男生有C1種，其余3人全63排有A3種，共C3C1A3=360種.3633例3、、有6本不同的書（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少種不同的分法？（2）分成3堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？（4）分給甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少種不同的分堆方法？（6）擺在3層書架上，每層2本，有多少種不同的擺法？解：（1）在6本書中，先取2本給甲，再從剩下的4本書中取2本給乙，最后2本給丙，共有C2-C2-C2=90（種）。642C2-C2（2）6本書平均分成3堆，用上述方法重復了A3倍，故共有64=15（種）TOC\o"1-5"\h\z3A33（3）從6本書中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做一堆，共有C1-C2-C3=60（種）653⑷在⑶的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有C6-C-C;-A33-360（種）C1-C1-（5）平均分堆要除以堆數(shù)的全排列數(shù)，不平均分堆則不除，故共有七亠=15（種）A22例4、如果在Jx+（6）本題即為6本書放在6個位置上，共有A6例4、如果在Jx+的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項。nn（n—1）解：展開式中前三項的系數(shù)分別為1，，一28nn（n—1）由題意得：2X=1+得n=8。28

116_3r設第r+l項為有理項，T+1二叮2；-x4，則r是4的倍數(shù)’所以r=o,4,So有理項為T1=有理項為T1=x4,T=35581256x2【鞏固訓練】選擇題：每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的，把它選出填在題后的括號內(nèi).1、設k=1,2,3,4,5,貝y（x+2）5的展開式中xk的系數(shù)不可能是A10B40C50D80.2、某賽季足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場,得3分；平一場,得1分；負一場,得0分.一球隊打完15場,積33分.若不考慮順序,該隊勝、負、平的情況共有A3種B4種C5種D6種.填空題：把正確答案填寫在題中的橫線上.3、將標號為1,2,…,10的10個球放入標號為1,2,…,10的10個盒子內(nèi),每個盒內(nèi)放一個球,則恰好有3個球的標號與其所在盒子的標號不一致的放入方法共有種.(以數(shù)字作答)4、設(x+1)4(x+2〉—a+a(x+3)+a(x+3》++a(x+3》+a+a+a+a+a+a+a>13579則(a+a+a+a+a02468解答題：（解答應寫文字說明,證明過程或演算步驟）5、（1）10個優(yōu)秀指標分配給6個班級,每班至少一個,共有多少種不同的分配方法？（2）10個優(yōu)秀名額分配到一、二、三3個班,若名額數(shù)不少于班級序號數(shù),共有多少種不同的分配方法？+ax+ax2+ax3+ax4，求(1)(a+a+a》一(a+a|aj+|aj的值。123402|aj+|aj的值。二、等可能事件的概率【基礎知識】m等可能性事件的概率P（A）—.n題例分析】億庫教育網(wǎng)億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載億庫教育網(wǎng)億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載億庫教育網(wǎng)億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載億庫教育網(wǎng)億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載億庫教育網(wǎng)億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載例1、某班有學生36人，血型分別為A型12人,B型10人,AB型8人,0型6人，現(xiàn)從中抽出2人，求這兩人血型不相同的概率.解:P(兩人血型相同)=P(兩人血型均為A型)+P(兩人血型均為B型)+P(兩人血型均為AB型)+P(兩人血型均為0型)=型)+P(兩人血型均為0型)=12108611C24536所以，P(兩人血型不同)=1—11=344545點撥:從四種血型中抽出2種有C2=6種，依次分類則情形較復雜，所以本題用間接法4較簡便.例2、從男、女學生共有36名的班級中,任意選出兩名委員,任何人都有同樣的機會當選,如果選得同性委員的概率等于2，求男、女相差幾名？解：設男生有X名，則女生有36—X名，選得2名委員都是男性的概率為￡1=叢口).選C236X3536得兩名委員都是女性的概率為^6^=(36—X)(35—X).C236X3536以上兩種選法是互斥的，所以選得兩名委員是同性委員的概率等于其概率和.依題意蟲已+(36二x)(35二衛(wèi)=丄.解得x=15或x=21.36X3536X352即該班男生有15名，女生有36—15=21人或者男生有21人，女生有36—21=15人，總之，男女相差6名.例3、在袋中裝30個小球，其中彩球有n個紅色，5個藍色,10個黃色，其余為白色，求：如果已經(jīng)從中取定了5個黃球和3個藍球，并將它們編上了不同的號碼后排成一排，那么使藍色小球不相鄰的排法有多少種？如果從袋中取出3個都是顏色相同的彩球(不含白色)的概率是旦，且n±2,406計算紅球有幾個？根據(jù)(2)的結(jié)論，計算從袋中任取3個小球至少有一個紅球的概率？解：(1)將5個黃球排成一排共有A5種排法，將3個藍球放在5個黃球所形成的6個空位5上，有A3種排法.???所求的排法為A5?A3=14400(種).656(2)取3個球的種數(shù)為C33(=4060,設“3個球全是紅色”為事件A,“3個球全是藍色”為事件B.“3個球都是黃色”為事件C,則P(B)=￡1=比，P(C)=C0=竺.C34060C340603030TA、B、C彼此互斥，??P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C),

即丄工=P(A)+」?+旦..??P(A)=O,即取3個球，是紅球的個數(shù)小于或等于2.40640604060又Tn22,故n=2.(3)記“3個球至少有一個是紅球”為事件D,則D為“3個球中沒有紅球”，則P(D)=1—P(D)=1-C8=竺.C314530例4、一種電器控制器在出廠時每四件一等品裝成一箱，工人在裝箱時不小心把兩件二等品和兩件一等品裝入一箱，為了找出該箱中的二等品，我們把該箱中產(chǎn)品逐一取出進行測試.求前兩次取出都是二等品的概率；求第二次取出的是二等品的概率；解：(1)四件產(chǎn)品逐一取出方式共有A4種不同方式.4前兩次取出都是二等品的方式共有A2?Al種不同方式.A2A21所以前兩次取出都是二等品的概率為：一2~2—TOC\o"1-5"\h\zA464(2)第二次取出是二等品共有：C1A3，23C1A31所以第二次取出是二等品的概率是：一2~3—A424【鞏固訓練】選擇題：每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的，把它選出填在題后的括號內(nèi).1、數(shù)字1，2，3，4，5，中，隨機抽取3個數(shù)字(允許重復)組成一個三位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于9的概率為()A、13125B、16U5A、13125B、16U5C、1815D、191252、將一顆質(zhì)地均勻的骰子(它是一種各面上分別標有點數(shù)1，2，3，4，5，6的正方體玩具)先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點向上和概率是(A)5216/、25⑻276(A)5216/、25⑻276/、31(C)216(D)91216填空題：把正確答案填寫在題中的橫線上.3、袋內(nèi)裝有10個相同的球，其中5個球標有數(shù)字0，5個球標有數(shù)字1，若從袋中摸出5個球，那么摸出的5個球所標數(shù)字之和小于2或大于3的概率是.億庫教育網(wǎng)億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載億庫教育網(wǎng)億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載4、一次二期課改經(jīng)驗交流會打算交流試點學校的論文5篇和非試點學校的論文3篇。若任意排列交流次序，則最先和最后交流的論文都為試點學校的概率是解答題：(解答應寫文字說明，證明過程或演算步驟)5、8支球隊中有3支弱隊，以抽簽的方式將這8支球隊分為A、B兩組，每組4支，求：(1)A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊的概率；(2)A組中至少有兩支弱隊的概率.6、有一個表面都涂有紅顏色的正方體，被均勻地鋸成了1000個小正方體,將這些正方體混合后，放入一個口袋內(nèi).從該袋中任抽取一個正方體，恰有兩個面涂有紅色的概率是多少?從袋中任取兩個正方體，其中至少有一個面上有紅色的概率是多少?三、互斥事件的概率【基礎知識】1、(1)互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫互斥事件.(2)對立事件：兩個事件必有一個發(fā)生的互斥事件叫對立事件.重點公式如果事件A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生(即A、B中有一個發(fā)生)的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推廣:P(A+A+-+A)=P(A)12n1+P(A)+-+P(A).2n對立事件的概率和等于1.P(P)+P(A)=P(A+A)=1.【題例分析】例1、甲、乙二人參加普法知識競賽，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個.甲、乙二人各抽一題：求甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率；求甲、乙兩人中至少一人抽到選擇題的概率.解：(1)甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的可能結(jié)果有C6?C1個，又甲、乙依次抽到一64題的可能結(jié)果有C10C9個，所以，所求概率為：場=15?109(2)甲、乙二人依次都抽到判斷題的概率為CCI,故甲、乙二人中至少有一人抽到選

C1C1109擇題的概率為：i-C4C3=1-12=i-2=13.C1C1901515109例2、某射手在一次射擊中命中9環(huán)的概率是0.28,命中8環(huán)的概率是0.19,不夠8環(huán)的概率是0.29.計算這個射手在一次射擊中命中9環(huán)或10環(huán)的概率.解：設這個射手在一次射擊中命中10環(huán)或9環(huán)為事件A,命中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)以及不夠8環(huán)的事件分別記為A、A、A、A.1234TA、A、A彼此互斥，234.??P(A+A+A)=P(A)+P(A)+P(A)=0.28+0.19+0.29=0.76.234234又TA=A+A+A,???P(A)=1—P(A+A+A)=1—0.76=0.24.12341234TA與A互斥，12.??P(A)=P(A+A)=P(A)+P(A)=0.24+0.28=0.52.1212

故這個射手在一次射擊中命中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.52.例3、袋中放有3個伍分硬幣，3個貳分硬幣和4個壹分硬幣，從中任取3個，求總值超過8分的概率.解：記“總值超過8分”為事件A,它應有四種情況：“取至到3個伍分硬幣”為事件歸“取至U2個伍分和一個貳分硬幣”為事件A2；“取到2個伍分和一個壹分硬幣”為事件A：；“取到一個伍分硬幣和2個貳分硬幣”為事件A.4貝叫)==丄.P(A)=C2C1=—.1C31202C3401010P(A^=CC101P(A^=CC10110P(A4)=4C1C2334=C3401031120依題意，A3、A。彼此互斥,3112012341234例4、經(jīng)統(tǒng)計，某大型商場一個結(jié)算窗口每天排隊結(jié)算的人數(shù)及相應的概率如下：排隊人數(shù)0—56—1011—1516—2021—2525人以上概率5每天不超過20人排隊結(jié)算的概率是多少？一周7天中，若有3天以上(含3天)出現(xiàn)超過15人排隊結(jié)算的概率大于0.75,商場就需要增加結(jié)算窗口，請問該商場是否需要增加結(jié)算窗口？億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載解：⑴每天不超過20人排隊結(jié)算的概率為：P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75,即不超過20人排隊結(jié)算的概率是0.75.1（II）每天超過15人排隊結(jié)算的概率為：0.25+0.2+0.05=2，一周7天中，沒有出現(xiàn)超過15人排隊結(jié)算的概率為Co（；）7；72一周7天中，有一天出現(xiàn)超過15人排隊結(jié)算的概率為C1（1）（1）6；722一周7天中，有二天出現(xiàn)超過15人排隊結(jié)算的概率為C2（1）2（1）5；722所以有3天或3天以上出現(xiàn)超過15人排隊結(jié)算的概率為：>0.75，1111199>0.75，1-[C7V+c7(2)(2)6+C7V(2)5]=128所以，該商場需要增加結(jié)算窗口.【鞏固訓練】一.選擇題：每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的，把它選出填在題后的括號內(nèi).1、如果A、B兩個事件互斥，那么（）A.A+B是必然事件B.A+B是必然事件c.a與B一定互斥d.A與B一定不互斥2、在第3、6、16路公共汽車的一個?？空?，假定這個車站只能?？恳惠v汽車，有一位乘客需5分鐘之內(nèi)趕到廠里，他可乘3路或6路車到廠里，已知3路車，6路車在5分鐘內(nèi)到此車站的概率分別為0.2和0.6，則此乘客在5分鐘內(nèi)能乘到所需車的概率為（）A.0.2B.0.6C.0.8D.0.12二.填空題：把正確答案填寫在題中的橫線上.TOC\o"1-5"\h\z3、甲、乙兩人下成和棋的概率為丄，乙獲勝的概率為丄，則乙不輸?shù)母怕蕿?234、有兩個口袋，甲袋中有3只白球，7只紅球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只紅球，9只黑球，現(xiàn)從兩袋中各取一只球，則兩球顏色相同的概率為.三?解答題：（解答應寫文字說明，證明過程或演算步驟）5、已知袋中裝有紅色球3個、藍色球2個、黃色球1個，從中任取一球確定顏色后再放回袋中，取到紅色球后就結(jié)束選取，最多可以取三次，求在三次選取中恰好兩次取到藍色球的概率.6、擲兩個骰子，出現(xiàn)點數(shù)之和為4點或5點或偶數(shù)點的概率是多少？億庫教育網(wǎng)億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載億庫教育網(wǎng)億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載億庫教育網(wǎng)億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載億庫教育網(wǎng)億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載四、獨立事件的概率【基礎知識】1?獨立事件A,B同時發(fā)生的概率P(A?B)=P(A)?P(B).2.n個獨立事件同時發(fā)生的概率P(A]?A2An)=P(A1)?P(A2)P(An).3.(不要求記憶)n次獨立重復試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率P(k)二CkPk(1-P)n-k.nn【題例分析】例1、某產(chǎn)品檢驗員檢查每一件產(chǎn)品時,將正品錯誤地鑒定為次品的概率為0.1,將次口錯誤地鑒定為正品的概率為0.2,如果這位檢驗員要鑒定4件產(chǎn)品,這4件產(chǎn)品中3件是正品,1件是次品,試求檢驗員鑒定成正品,次品各2件的概率.解：有兩種可能：將原1件次品仍鑒定為次品,原3件正品中1件錯誤地鑒定為次品;將原1件次品錯誤地鑒定為正品,原3件正品中的2件錯誤地鑒定為次品.概率為P=0.8xCix0.1x0.92+0.2xC2x0.12x0.9=0.199833例2、已知兩名射擊運動員的射擊水平,讓他們各向目標靶射擊10次,其中甲擊中目標7次,乙擊中目標6次,若在讓甲、乙兩人各自向目標靶射擊3次中,求：(1)甲運動員恰好擊中目標2次的概率是多少？(2)兩名運動員都恰好擊中目標2次的概率是多少？(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)解.甲運動員向目標靶射擊1次,擊中目標的概率為7/10=0.7乙運動員向目標靶射擊1次,擊中目標的概率為6/10=0.6甲運動員向目標靶射擊3次,恰好都擊中目標2次的概率是c2x0.72x(1-0.7)1=0.443(2)乙運動員各向目標靶射擊3次,恰好都擊中目標(2)乙運動員各向目標靶射擊3次,恰好都擊中目標2次的概率是12?0.72?(1-0.73)11L23?0.62?(1-0.6)丄0.19例3、冰箱中放有甲、乙兩種飲料各5瓶,每次飲用時從中任意取1瓶甲種或乙種飲料,取用甲種或乙種飲料的概率相等.(I)求甲種飲料飲用完畢而乙種飲料還剩下3瓶的概率;(II)求甲種飲料被飲用瓶數(shù)比乙種飲料被飲用瓶數(shù)至少多4瓶的概率.解：(I)P(5)=C5P5(1-P)2=-21.771283(II)P6(5)+P5(5)+P4(4)=C65P5(1—P)+C55P5+C44P4=1^例4、有一批產(chǎn)品出廠前要進行五項指標檢驗,如果有兩項指標不合格,則這批食品不能出廠,已知每項指標抽檢是相互獨立的,每項指標抽檢出現(xiàn)不合格品的概率都是0.2。億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載求這批產(chǎn)品不能出廠的概率(保留三位有效數(shù)學)求直至五項指標全部檢驗完畢，才能確定該批產(chǎn)品是否出廠的概率(保留三位有效數(shù)學)解答：(1)這批產(chǎn)品不能出廠的概率是：P二1-0.85-Cix0.84x0.2二0.2635五項指標全部檢驗完畢，這批食品可以出廠的概率是：P二Cix0.2x0.83x0.814五項指標全部檢驗完畢，這批食品不能出廠的概率是：P二Cix0.2x0.83x0.224由互斥事件有一個發(fā)生的概率加法可知：五項指標全部檢驗完畢才能確定這批產(chǎn)品是否可以出廠的概率是P=P+P=Cix0.2x0.83=0.4096i24【鞏固訓練】選擇題：每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的，把它選出填在題后的括號內(nèi).1、一臺X型號自動機床在一小時內(nèi)不需要工人照看的概率為0.8000,有四臺這中型號的自動機床各自獨立工作,則在一小時內(nèi)至多2臺機床需要工人照看的概率是()(A)0.i536(B)0.i808(C)0.5632(D)0.97282、種植兩株不同的花卉，它們的存活率分別為p和q,則恰有一株存活的概率為()(A)p+q－2pq(B)p+q－pq(C)p+q(D)pq填空題：把正確答案填寫在題中的橫線上.3、某射手射擊1次，擊中目標的概率是0.9.他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響.有下列結(jié)論：他第3次擊中目標的概率是0.9；他恰好擊中目標3次的概率是0.93X0.1；他至少擊中目標1次的概率是1-0.14.其中正確結(jié)論的序號(寫出所有正確結(jié)論的序號)4、某健美中心對第一期60人進行減肥訓練，結(jié)果40人達到減肥標準目的，按此比率，現(xiàn)有5人參加第二期該訓練，求：至少有4人沒有達到減肥目的的概率.。三?解答題：(解答應寫文字說明，證明過程或演算步驟)5、已知甲、乙兩人投籃的命中率分別為0.4和0.6．現(xiàn)讓每人各投兩次，試分別求下列事件的概率：(I)兩人都投進兩球；(II)兩人至少投進三個球.6、設每門高射炮命中飛機的概率為0.6，試求：兩門高射炮同時射擊一發(fā)炮彈而命中飛機的概率；若今有一飛機來犯，問需要多少門高射炮射擊，才能以至少99％的概率命中它？億庫教育網(wǎng)億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載億庫教育網(wǎng)億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載五、概率與期望【基礎知識】1、離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì)：(1)P>0(i=1,2,…)；(2)P+P+=1.i122、數(shù)學期望EE=xP+xP+…+xP+…1122nn3、數(shù)學期望的性質(zhì)：(1)E(ag+b)二aE(g)+b；(2)若g?B(n,p),貝卩Eg二np.(二項分布)(3)若g服從幾何分布，且P(g=k)=g(k,p),Eg=1/p.4、方差:Dg=(x-Eg)2-p+(x-Eg)2-p+???+(x-Eg)2-p+…1122nn5、標準差:或=\；Dg.6、方差的性質(zhì)：⑴D(ag+b)=a2Dg(2)g?B(n,p),貝JDg=np(1-p).(3)若g服從幾何分布，且P(g=k)=g(k,p),Dg=q/p27、抽樣方法n簡單隨機抽樣：概率P=其中n為樣本容量，N為個體總數(shù)Nnn分層抽樣：廿=n其中n為樣本容量，N為個體總數(shù)1n1為分層樣本容量，N1為分層個體總數(shù)【題例分析】例1:甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格.求甲答對試題數(shù)g的概率分布及數(shù)學期望；求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.解：(I)依題意，甲答對試題數(shù)g的概率分布如下：(II)設甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B,則億庫教育網(wǎng)億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載億庫教育網(wǎng)億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載億庫教育網(wǎng)億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載億庫教育網(wǎng)億庫教育網(wǎng)http://www.eku.cc百萬教學資源免費下載…八C2C1+C360+202TOC\o"1-5"\h\zP(A)=6—46==C3120310廠”、C2C1+C356+5614P(B)=_2==-C31201510因為事件A、B相互獨立，???甲、乙兩人考試均不合格的概率為2141P(A-B)=P(A)P(B)=(1-3)(1-話)=45???甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為144P=1-P(A-B)=1-=-454544答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為45例2.某射擊運動員每次射擊擊中目標的概率為p(O〈p〈l)。他有10發(fā)子彈，現(xiàn)對某一目標連續(xù)射擊，每次打一發(fā)子彈，直到擊中目標，或子彈打光為止。求他擊中目標的期望。解：射手射擊次數(shù)的可能取值為1,2,…，9,10。若=段),則表明他前次均沒擊中目標，而第k次擊中目標；若*=10,則表明他前9次都沒擊中目標，而第10次可能擊中也可能沒擊中目標。因此的分二［(1-刃社1(上二12九戈)布列為陀亙占二1減(1一刃°p+2x(l-p)p-hA+9x(l-^)s^+10x(l-j.)e=[1+2(1-刃+九+9(1_刃'山+10x(1_尹尸用倍差法，可求得1+2(1—尹)4A4-9Q-J-)8

昭［二￡廣.土巧尹+九匕3所以例3、9粒種子分種在3個坑內(nèi)，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為05,若一個坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個坑不需要補種，若一個坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽，則這個坑需補種假定每個坑至多補種一次,每補種1個坑需10元，用E表示補種費用，寫出E的分布列并求E的數(shù)學期望+（精確到001）丄1.17解：某坑需補種的概率為（懇）3=6，不需補種的概率為1-6=628887PG=0)=(§)7PG=0)=(§)3=8343512PC10)=C3抵"=黑噲20)=%)215H1512???E的分布列為:0102030P34314721151251251251234314721175.E,=0X5__+10X5__+20X5__+30X5__例4、.有紅藍兩粒質(zhì)地均勻的正方體形狀骰子，紅色骰子有兩個面是8,四個面是2,藍色骰子有三個面是7,三個面是1,兩人各取一只骰子分別隨機投擲一次，所得點數(shù)較大者獲勝?75⑴分別求出兩只骰子投擲所得點數(shù)的分布列及期望；⑵投擲藍色骰子者獲勝的概率是多少？18?解：（1）紅色骰子投擲所得點數(shù)為%是隨即變量，其分布如下:18212P——33匕12Eq=8?-+2?=4133藍色骰子投擲所得點數(shù)是隨即變量，其分布如下:2gc71211P一2211E卍=7?+1?=4匕E2=/2+12【鞏固訓練】選擇題：每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的，把它選出填在題后的括號內(nèi).1、某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150個、120個、180個、150個銷售點.公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況,需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調(diào)查為①：在丙地區(qū)中有20個特大型銷焦點，要從中抽取7個調(diào)查其銷售收入和售后服務情況，記這項調(diào)查為，則完成①、②這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是（A）分層抽樣，系統(tǒng)抽樣法（B）分層抽樣法，簡單隨機抽樣法（C）系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法（D）簡隨機抽樣法，分層抽樣法填空題：把正確答案填寫在題中的橫線上.3、某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2：3：5?，F(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本，樣本中A種型號產(chǎn)品有16件。那么此樣本的容量n二。4、設隨機變量E的概率分布為P憶=k）-,a為常數(shù)，k=l,2,、、、，則&=5k解答題：（解答應寫文字說明，證明過程或演算步驟）5、藍球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知某運動員罰球命中的概率為0.7,則他罰球1次得分g的期望、方差、標準差分別是多少？6、從一批有5個合格品與3個次品的產(chǎn)品中,一件一件地抽取產(chǎn)品,設各個產(chǎn)品被抽到的可能性相同?記g為直到取出的是合格品為止時所需抽取的次數(shù)，分別在下列三種情形下求出：（1）每次抽取的產(chǎn)品都不放回到這批產(chǎn)品中的g的分布列和所需平均抽取的次數(shù)；（2）每次抽取的產(chǎn)品都立即放回到這批產(chǎn)品中，然后再抽取一件產(chǎn)品的g的分布列；（3）每次抽取一件產(chǎn)品后，總將一件合格品放入這批產(chǎn)品中的g的分布列.專題三答案：一、排列與組合5解：（1）如果按指標的個數(shù)進行分類，討論比較復雜，可構(gòu)造模型，即用5個隔板插入10個指標中的9個空隙，即C5即為所求。9（2）先拿3個指標分別給二班1個，三班2個，則問題轉(zhuǎn)化為7個優(yōu)秀名額分給三個班每班至少一個’同⑴知C62即為所求。6、、【解析】：(1)在使用賦值法前，應先將G+a+a)2(a+a)2變形為：02413(a+a+a)2—(a+a)2=(a+a+a+a+a-a+a-a+a)024130123401234才能發(fā)現(xiàn)X應取什么特殊值：令x=—1,則Ca—a+a—a+a)=(+心3)TOC\o"1-5"\h\z01234令x=1則(a+a+a+a+a)=C—、廳)401234因此：C+a+a024)2—(a+a)2=(2+*3)?l—爲LI+壽)C2—*3)4=1

13因此：C+a+a024(2)因為|aj+|aJ+|a21+|aJ+，而I+laI+laI=(a-a+a-a(2)因為|aj+|aJ+|a21+|aJ+，